1、第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系1命题 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.在本章中，我们只讨论具有“若 p，则 q”这种形式的命题，通常把这种形式的命题中的 p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.注意：（1）一个数学命题要么是真命题，要么是假命题，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假.数学中的定义、定理、公理都是真命题.（2）有一些语句，虽然目前还不能判断它的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假.我们把这一类语句也算作命题，如“神农架野人” ，虽然目前还不
2、能确定有没有野人，但是随着时间的推移，人们是能够考察清楚的.（3）数学中有一些命题虽然表面上不是“若 p，则 q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若 p，则 q”的形式.关键是分清命题的条件和结论.2四种命题（1）原命题与逆命题一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.也就是说，如果原命题为“若 p，则 q”，那么它的逆命题为“若 q，则 p”.（2）否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_，我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫
3、做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题.也就是说，如果原命题为“若 p，则 q”，那么它的否命题为“若 p，则 q”.（3）逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的_，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题.也就是说，如果原命题为“若 p，则 q”，那么它的逆否命题为“若 q，则 p”.注意：在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或重复.3四种命题间的相互关系一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示：一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情
4、况：原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真真 假 假 真假 真 真 假假 假 假 假由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们有_真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_.注意：（1）互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.（2）在四种形式的命题中，真命题的个数只能是 0，2，4.K 知识参考答案：1陈述句2 （1）结论和条件 （2）条件的否定和结论的否定 （3）结论的否定和条件的否定3 （1）相同的
5、（2）没有关系K重点 四种命题及其关系，命题真假的判断K难点 涉及命题真假判断的多选型试题K易错 对于含有大前提的命题，改写时，易忽略大前提一、命题的概念及真假判断判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一，是否是“陈述句” ；第二，是否“可以判断真假” ，这两个条件缺一不可疑问句、祈使句、感叹句均不是命题命题真假的判断方法：（1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.（2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.另外
6、，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断.下列语句是命题的序号为_.风景这边独好； 求证 6是无理数；函数 2()fx=是 R上的偶函数； 火星上有水；若 一定成立，而 2ab+表示两个正数的算术平均数，表示两个正数的几何平均数，所以此命题是真命题.【名师点睛】 “若 p，则 q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若 p，则 q”这种形式给出的，这时，需要把这个命题补充完整，确定命题的条件和结论.即对于不是“若 p，则 q”形式的命题，一般先找到条件和结论，然后加上“若”和“则” ，即可写成“若 p，则 q”的形式，从而判断命题的真假.二、四种命题由原
7、命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论.（1）将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题.（2）将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题.否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词.（3）先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题.也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假：负数小于零.在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行.【解析】原命题：若一个数是负数，则它小于零.是真命题.逆命题：若一个数小于零，则它是负
8、数.是真命题.否命题：若一个数不是负数，则它不小于零.是真命题.逆否命题：若一个数不小于零，则它不是负数.是真命题.原命题：在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行.是假命题.逆命题：在空间中，若两条直线平行，则它们平行于同一个平面.是假命题.否命题：在空间中，若两条直线不平行于同一个平面，则这两条直线不平行.是假命题.逆否命题：在空间中，若两条直线不平行，则它们不平行于同一个平面.是假命题.【名师点睛】对于， “小于”的否定是“不小于” ，而不是“大于” ，因为“不小于”包括了“大于和等于”.三、四种命题间的相互关系由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命
9、题为真命题较困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.已知奇函数 ()fx是定义在 R上的增函数， ,abR，若 ()0fab+，求证：0ab+.【解析】若 0ab+，则 或C若 ab或 -，则 ab2D若 或 5给定下列命题：“若 0k，则方程 20xk+-=”有实数根；若 ab， cd，则 acbd；对角线相等的四边形是矩形；若 0xy=，则 ,y中至少有一个为 0.其中真命题的序号是A B C D6已知命题“若直线 与平面 垂直, 则直线 与平面 内的任意一条直线垂直” ，则其逆命ll题、否命题、逆否命题中, 真命题的个数是A B C D01237命题“若实数
10、 a满足 3，则 29a， 0b，则2()0ab-”的条件为_，结论为_.9已知 2():0pxm+-，如果 (1)p是假命题， (2)p是真命题，则实数 m的取值范围为_.10写出命题“若 ”的逆命题、否命题、逆否命题，1,)(2yxy且则并判断它们的真假.11判断命题“已知 ,ax为实数，如果关于 x的不等式 22(1)0ax+的解集非空，那么 1”的逆否命题的真假.12 “若 1x，则 p”为真命题，那么 p 不能是A - B 0xC D 213若 的否命题是命题 的逆否命题，则命题 是命题 的 pqpqA逆命题 B否命题C逆否命题 D 与 是同一命题14有下列四个命题：（1） “若 2
11、0xy+=，则 xy”的否命题； （2） “若 xy，则 2”的逆否命题；（3） “若 ，则 26-”的否命题； （4） “对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是A0 B1C2 D315已知命题 若 ，则关于 的方程 有实根， 是 的逆命题，下面:p0mx20xmqp结论正确的是A 真 假 B 假 真qpC 真 真 D 假 假p q16已知 A： 51xa-，B： 1x，请选择适当的实数 a，使得利用 A，B 构造的命题“若p，则 q”为真命题.17已知 p：方程 210xm+=有两个不相等的负实数根；q：方程24()10xmx+-=无实数根若 p 为假命题，q 为真命题，求实数 m 的取值范围18已知两个命题 ()()2:sinco,:10rxxmsx+，如果对任意的,xR与 有且仅有一个是真命题，求实数 的取值范围.19 （2015 年高考山东卷）设 mR，命题“若 0，则方程 20xm有实根”的逆否命题是
