1、1帮助学生第一部分 在教室中目的教师最重要的任 务 之 一是帮助学生。 这 个 任务并不很简单 ， 它 需要时 间 、 实践、热忱以及健全合理的原则。学生应当有尽可 能 多 的独立工作经验 。 但 是如果让他独自 面 对 问题而得不 到任何帮助或者 帮 助 得不够 。 那么他 很 可 能 没有进步 。 但若 教 师 对 他帮助过多， 那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一份合 理的工作。如果学生不太能 够 独 立工作 ， 那末教师 也 至少应当使他感 觉 自 己是在独立 工作。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。不过 ， 对学 生 的帮 助 最好是顺
2、乎自 然 。 教 师对学生应当设 身 处 地 ， 应当了 解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的 问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。2问题、建议、思维活动 在打算对学生进 行 有 效 、 不显眼 而 又自 然 的帮助时 ，教 师不 免 一而再 ， 再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。这样，在大量的问题中， 我们总是问 ： 未 知 数 是 什么 ?我们可以变 换 提 法 ， 以各种不同 的 方 式 提问同一个 问题 ： 求什么 ?你 想 找 到什么 ?你假定求 的 是 什么 ?这类问题的 目 的 是把学生的注 意力集中到未知数上。有时，我们用
3、一条建议：看着未知数，来更为自然地达 到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。从作者看来，在 与 学 生讨论的问题中 ， 收 集一些典型的有 用 问 题和建 议 ， 并加以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题 和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。读者充分熟悉这张表并且 看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间接列举的是对解 题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大 小排列的。3普遍性 表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么 ?已知数是什么 ?条件是什么 ?这些问题都是
4、普遍适用的，对于所有各类问题，我们 提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可 以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题 或仅仅是个谜语。这没什么差别，上述问题都是有意义的，而且有助于我们解 题。事实上 ， 还 存在一 个 限制 ， 不 过 这与论 题 无关 。 表 中 某些问 题 与建议 ， 只 能用于 “求解题 ”而不能用于 “求证题 ”。如果我们的问题属于后者，则必须 采用别的提问方法，见第三部分 “求解题，求证题 ”这一段。4常识我们这张表中的 问 题 与建议是具有普 遍 性 的 ， 但是除去其 普 遍 性以外 ， 它 们也是自然的
5、、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。例如这条建议：看 着未知数 !试想出 一 个 具有相同未知数 或 类 似未知数的熟悉 的 问 题 ， 这条建议不 管怎样总是劝告你去做你想做的事，而对于你认真要解决的问题并未提出具体 的劝告 。 你是不 是 肚 子 饿了 ?如果你希望 搞 点 吃的 ， 你就会想 起 你 所 熟悉的搞到 食物的一些办法 。 你 是 不是有一个几何 作 图 题 ?如果你想作一 个 三 角形 ， 你也会 想起你所熟悉的 一 些 作三角形的办法 。 你 是 否有一个任意的 问 题 ?你若希望找出 某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些 办法。如果你
6、这样做了，那你的路子也是对头的；这个建议是个好建议，它向 你提出一个常能成功的程序。我们表中的所有 问 题 与建议都是自然 的 、简单的 、 显 而 易见 的 ， 而且只不 过是普通常识；但是这张表把常识概括地加以叙述。这张表所提出的处理办法 对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。然而按正确道路 行动的人往往不 注 意 用明确的语言来 表 达 其行动 ， 而且他 可 能 根 本不会这样做； 我们这张表却尝试去表达这些。5教师与学生，模仿与实践 当教师向学生提 出 表 中的问题或建议 时 ，他可能有两个目 的 ：第一 ， 帮助学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能
7、力。经验证明 ， 适 当使 用 我们表中的问题 与 建 议 ， 常能对 学 生有 所 裨益 。 此表 有两个特点：常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识，所以显得很自然， 学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性，所以它们对学生的帮助并 非强加于人；它们只不过指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。上述两个目的是 密 切 相关的 。 如果学 生 在 解决手边的问题 中 获 得成功 ， 他 就提高了一些解题的能力。这时，我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而 且可适用于许多情况。如果同一个问题反复地对学生有所帮助，那么他就会注 意到这个问题，于是在类似的情况下，他自己就会提出这个问题。通过
8、反复地 提出这个问题，他总会有一次成功地诱导出正确的念头。通过这样一次成功， 他便发现了利用这个问题的正确途径，于是，他真正地领会了它。学生可能对我们 表 中 的一些问题领会 得 很 好 ， 以致他最终能 够 在恰当的时 刻向自己提出正确的问题，并进行相应的自然而活跃的思维活动。这样，学生 就无疑从我们的表中得到了尽可能多的收获。为了得到尽可能好的结果，教师 可以做些什么事呢 ?解题，譬如，就好 象 游泳一样，是一种 实 际技能。当你学习 游 泳时，你模 仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践 (实地练习游泳 )来学 会游泳。当试图解题时，你也必须观察并模仿其它人在解题时的所作所为
9、，并 且最后通过实践来学会解题。希望提高学生解 题 能 力的教师 ， 必须 培 养 学生的兴趣 ， 然 后 给 他们提 供 大 量的机会去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中发展相应于我们表中的问 题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问 题和建议。此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路更吸引人一些， 并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导， 学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这样做以后，他将 学到比任何具体数学知识更为重要的东西。6四个阶段主要部分，主要问题在求解过程中 ， 我 们 很可能再三地改 变 我 们的观
10、点 ， 或者 改 变 考虑问 题 的 途径。我们应该不断地变更我们的出发点。当我们开始着手解题时，我们对问 题的概念可能很不完整；当我们有些进展以后，我们的看法就不同了；而当我 们几乎已经得到解答的时候，看法就会更不相同。为了把我们表中 的 问 题与建议进行适 当 分 组，我们把工作 分 为 四个阶 段 。 首先 ， 我们 必 须了 解 问题 ； 我们 必 须清 楚 地看到要求的是 什 么 ?其次 ， 我们 必 须 了解各个项之间有怎样的联系 ?未知数和数据之间有什么关系 ?为了得到解题的 思路，应该制定一个计划。第三，实现我们的计划。第四，我们回顾所完成的 解答，对它进行检查和讨论。上述每一
11、阶段都 有 其 重要性 。 可能会 有 这 样的情况 ： 一个 学 生 想出了 一 个 异常好的念头，于是跳过所有的预备步骤，解答就脱口而出了。如此幸运的念 头当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的事：即，学生通 过上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头。最糟糕的情况是：学生并 没有理解问题就进行演算或作图。一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作 出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的。如果学生在实行其计划的过 程中检查每一步，就可以避免许多错误。如果学生不去重新检查或重新考虑已 完成的解答，则可能失去某些最好的效果。7、弄清问题回答一个你尚未 弄 清 的问题是愚蠢的 。
12、 去 做一件你不愿干 的 事 是可悲 的 。 在校内外，这种愚蠢和可悲的事情却经常发生，但教师应力求防止在他的班级 里发生这样的事。学生应当弄清问题，然而他不仅应当弄清它，而且还渴望解 出它 。 如果 学 生对 问 题没弄清或不感 兴 趣 ， 这并不是 他 的过错 ， 问题应当精选， 所选的题目不太难但也不要太容易，应顺乎自然而且趣味盎然，并且有时在叙 述方式上也应当自然而有趣。首先 ， 必须 了 解问 题 的文字叙述。教师 在 某种程度上可以 检 查 这一点 ， 他 可以要求学生重新叙述这题目，而学生应能流利地重新叙述这个问题。学生还 应当能够指出问 题 的 主要部分 ， 即未知 数 ， 已
13、知数据 ， 条件 。 所 以 老师提问时， 不要错过这样的问题：未知数是什么 ?已知数据是什么 ?条件是什么 ?学生应该仔细地、 重 复地并且从各个 方 面 来考虑问题的主 要 部 分 。 如 果 问题和某一图形有关，那末他应该画张图并在上面标出未知数与已知数据。如果 对这些对象需要给以名称，他应该引入适当的符号。适当地注意选择符号，他 就会被迫考虑这些必须选择符号的对象。在此预备阶段中，假定我们并不期望 有一个明确的回答，而只不过想有一个临时性的回答或一个猜测，那么另外还 有一个问题可能是有用的，即：满足条件是否可能呢 ?(在本书第二部分 中 ， 把 “弄清问 题 ”分 成 两个阶段 ： “
14、熟悉 问 题 ”和 “深人理解问题 ”)。8、例子让我们说明上节 中 的 某几点内容。 我 们 选下列简单问题： 已 知长方 体 的长、宽、高，求其对角线长度。为了对此问题作 有 益 的讨论 ， 学生必须 熟 悉毕达哥拉斯定 理 及 其在平面几 何中的某些应用。他们对立体几何可能只有很少的系统知识。教师这时可以依 赖学生对空间关系的朴素知识。教师可以通过使 问 题 具体化而使之有 趣 。如教室就是个长 方 体 ， 其尺 寸 可 以测量，也可以估计，要求学生不作测量，间接地求出教室的对角线长度。教 师指出教室的长、宽、高，用手势说明什么是对角线，通过不断地和教室相联 系而使他画在黑板上的图变得更
15、加形象。以下是老师与学生间的对话： “未知数是什么 ?” “长方体对角线的长度。 ” “已知数是什么 ?” “长方体的长、宽、高。 ”“引入适当的符号，用哪个字母表示未知数 ?” “x”“长、宽、高应选哪些字母 ?” “a， b， c” “联系 a， b， c 与 x 的条件是什么 ?”“x 是长方体的对角线，长方体的长、宽、高为 a， b， c” “这是个合 理 的 问题吗 ?我意思是 说 ， 条件是否充分 ， 足 以 确 定未知数吗 ?” “是的，是充分的。如果我们知道 a， b， c，我们就知道平行六面体。如果平行六面体被确定，则对角线也被确定了。 ”9拟定计划当我们知道，或 至 少 大
16、体上知道，为 了 求 解未知数，必须 完 成 哪些计 算 、 要作哪些图的时候，我们就有了一个计划。从弄清问题到想出一个计划，其过 程可能是漫长而曲折的。事实上，求解一个问题的主要成绩是构想出一个解题 计划的思路。这个思路可能是逐渐形成的。或者，在明显失败的尝试和一度犹 豫不决之后，突然闪出了一个 “好念头 ”。老师为学生所能做的最大的好事是 通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头。我们下面就要讨论的问题 与建议正是要诱发这样一种好念头。为了弄清学生的 心 理 活动 ， 老师应当 回 想 他自己的经验 ， 回 顾 他自己 在 解题时碰到的困难与取得成功的经验。我们当然知 道 ， 如 果
17、我们对该论题知 识 贫 乏 ， 是不容 易 产生 好 念头的 。 如 果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是过去的 经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关 事实，则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子，但是不收集必需的材 料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某 些有关内容，如以前解决的问题，以前证明过的定理。因此，以下列问题开始 工作常常是合适的：你知道一个与此有关的问题吗 ?困难就在于：通常 有 相当多的问题与 我 们 现在手上的问题 有 关 ， 即 ， 与它 有某种共同之处 。 我 们 怎样挑出其中一
18、个 或 几个确实有用的 问 题 呢 ?我们建议把 力量放在主要的 共 同 之处上 ： 看着未 知 数 !试想起一个具有 相 同 或相似未知数的 熟悉的问题来。如果我们成功地 回 想 起一个与当前问 题 密 切相关的早已解 决 的 问题 ， 那 是 很幸运的。我们应当争取这样的运气；通过探索我们是可以得到它的。 这里 有个问题与你的问题有关，且早已解决，你能利用它吗 ?上述问题 ， 如能 很 好 地理解和认真地 加 以 考虑 ， 常常有助 于 激 发起一 连 串 正确的想法；但它们并不总是有用的，它们并非魔法。如果这些问题不行，我 们必须寻找某些其他的适当接触点，并且探索问题的各个方面；我们不得
19、不变 化 、 变 换 、 修改该问 题 。 你能否重 述 这个 问 题 ?我们表中的某 些 问 题提示了改变 问题的专门方法，例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等；具 体细节是重要的，但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导致提出某种适当 的辅助问题：如果你不能解决所提出的问题，则应首先尝试去解决某些与此有 关的问题。尝试去应用各种 已 知 的问题或定理 ， 考 虑 各种修改 ， 对各 种 辅 助问题 进 行 试验，我们可能离开原来的问题太远，甚至最后有失掉它的危险。但是还有一 个很好的问题可 以 把 我们带回原处 ： 你 是 否 利用了所有的已 知 数 据 ?你是否利用 了整个条件
20、 ?10例子我们回到第 8 节中的例子。“你是否知道一个与此有关的问题 ?” “看着未知数，你是否知道一个具有相同未知数的问题 ?” “好，未知数是什么 ?”“平行六面体的对角线。 ” “你是否知道任何具有相同未知数的问题 ?” “不，我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题 ” “你是否知道任何具有相似未知数的问题 ?”“你看 ， 对 角 线是 个 线段 ， 就是 直 线的 一 段 。 你从来 没 有解 决 过一个未知 数是直线长度的问题 ?”“当然，我们曾 经 解 决过这样的问题 ， 例 如找出直角三角 形 的 一个边。 ” “好啊 ! 这里有一个知你的问题有关的问题，且早已解决，你能利用
21、它吗？ ”“你真走运 ， 你 想 起 了一个与你当前 问 题 有关的问题 ， 而 且 这 个问题 你 以前已经解决了。你愿意利用它吗 ?为了能利用它，你能否引进某个辅助元素 ?”图 1“看这里，你所想起的是一个关于三角形的问题。图中有三角形吗 ?”我们希望这最后的提示已明白得足以诱发出解题的思路 (即引入一个在图1 中用阴影画出的直角三角形 )。这个引入的直角三角形的斜边就是我们所要求 的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备：即使这样明白的提示也不能使 学生开窍，那么他应当动用所有越来越明显的提示。“你是否想在图 1 中有个三角形 ?” “在图中，你想有哪种三角形 ?”“你现在还不能 求 出
22、 这对角线 ； 但你 说 过 你能求出三角形 的 一 个边 。 那 么现在你该怎么办呢 ?” “如果对角线是三角形的一个边，你能找出它吗 ?”经过或多或少的 帮 助 后 ， 学生终于成 功 地 引进了决定性的 辅 助 元素 ， 即 图 中阴影三角形，在鼓励学生进入实际计算之前，教师应确信其学生对问题的理 解已有足够的深度。“我想 ， 画 出 那个 三 角形是个好主 意 ， 你 现在有了个三角 形 ，但是你是否有未知数 ?” “未知数是三角形的斜边，我们可用毕达哥拉斯定理去计算它 ” “如果两边为已知，你会计算。但它们是已知的吗 ?”“一个边已给定，是 c。另一个边，我想也不难求出。是的，另一边
23、是另一个直角三角形的斜边。 ” “很好 !现在我看出你有个计划了。”11实现计划想出一个计划 ， 产 生 一 个求解的念头是 不 容 易的 。 要成功需要 有 许 多条 件 ， 如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中，还要有好运气。但实现计划则容 易得多，我们所需要的主要是耐心。计划仅给出一个 一 般 性的大纲 ， 我们必 须 充实细节并耐心 地 检 查每一个细节，直到每一点都完全清楚了，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。如果学生真的拟 定 出 一个计划 ， 则教 师 就 比较清闲了 。 现 在 的 主要危 险 是 学生可能会忘记他的计划。因为那些从外界接受计划的和根据教师的权威来采 纳某个
24、计划的学 生 ， 很 容易发生这种现 象 ； 但 若是学生自己搞 出 来 的计划 (即便 经过某种帮助 )并 且 学 生满意地看出了 最 终 的思路 ， 则他就 不 那 么 容易忘记 。 教 师必须坚持让学生检查每一步骤。根据 “直观 ”或 “形式 ”上的论证，我 们 可以使自己相信 每 一 步骤的正确 性。我们可以集中力量在有问题的疑点上，直到完全搞清楚，毫不怀疑每一步 骤都是正确的为止；或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点 2(在许多重要的场 合 ， 直接观察与形式 证 明 二者间的区别是 足 够 明显的 ； 更进一 步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧 !)主要之点是 ： 学
25、 生 应 当真正地相信每 一 步 骤的正确性 。 在 某 些 情况老 师 可 以强调 “看出来 ”与 “证明 ”二者之间的差别而提出：你能清楚地看出这一步 骤是正确的吗 ?同时你也能证明这一步骤是正确的吗 ?12例子我们继续第 10 节 末 尾 留下的工作 。 学 生 最 后已经得到了解 题 的 思路 。 他 看 出未知数 x 是直角三角形的斜边，而给定的高度 c 是边长之一，另一边则是六面 体的一个面的对角线。很可能这刚学生被催促引入一个适当的符号。他应当选 择 y 表示另一边， 即 面 上的对角线，其 两 边 为 a 和 b。学生现 在 可 能看得更清楚： 解题的思路就是应该引进一个辅助未
26、知数 y0 最后，陆续对这两个直角三角形进 行考虑之后，他得到x =y2+c2y2=a2+b2于是消去辅助未知数 y，从而有2 2 2x2=a +b +cx= a 2 b 2 c 2如果学生正确地 进 行 上述细节运算 ， 老 师 没有理由去打断 他 ，除非必 要 时提醒他应当检查每一步。这样，教师可以问：“你能清楚地看出具有三边 x， y， c 的三角形是直角三角形吗 ?”对于这个问题，学 生 可能老老实实回答 ： “是 ”。但是如果老师不满足于学生的直观猜测，他应该继续提问：“但是你能证明这个三角形是个直角三角形吗 ?” 除非整个班级对 于 立 体几何已经有了 良 好 的起点 ， 否则教师
27、 不 应当提出这个问题。即使如此，也仍然存在某些危险性，即对这个偶然提出问题的回答可 能成为大多数学生的主要困难。13回顾即使是相当好的 学 生 ， 当他得到问题 的 解 答 ， 并且很干净 利 落 地写下 论 证 后，就会合上书本，找点别的事来干干。这样做，他们就错过了解题的一个重 要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新考虑与重新检查这个结 果和得出这一结 果 的 路子 ， 学生们可 以 巩 固 他们的知识和发 展 他 们解题的能力。 一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题是可以解决得 十全十美的。总剩下些工作要做。经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个 解答，而
28、且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。现在学生已经完 成 了 他的计划 。 他已 经 写 出了答案 ， 检查 了 每 一步 。 这 样 ， 他似乎有充分理由相信他的解答是正确的了。然而，出现错误总还是可能的， 特别当论证冗长而复杂的时候更是如此。所以要验证。特别是，如果有某种快 速而直观的办法来检验结果或者检验论证，决不要忽略。你能检验这结果吗 ? 你能检验这个论证吗 ?为了确信某个东 西 的 存在或其质量的 好 坏 ， 我们总喜欢去看 看 它 ， 摸摸 它 。 我们总是通过两种不同的感官来感知它。同样，我们也宁可通过两种不同的证 明使我们对结果 确 信 无疑。因此要问 ： 你
29、 能用不同方法来 导 出 这结果吗 ?当然， 我们宁愿要简短而直观的论证，而不要冗长而烦琐的，所以要问：你能一下子 看出它吗 ?教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉：数学题目之间很少有联 系，和任何其他事物则完全没有什么联系。当我们回顾问题解答的时候，我们 自然有机会来考察一个问题与其它事物的联系。如果学生已经作出了真诚的努 力并且意识到自 己 完 成得不错 ， 那末 他 们 将 发现对解答加以 回 顾 确实饶有趣味。 这样，他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什么别的，以及下次他如何 能干得同样好。教师应该鼓励学生设想一些情况，在那些情况下，他能再一次 利用所使用的办法，或者应用所得到
30、的结果。你能把这结果或这方法用于某个 其它问题吗 ?14例子在第 12 节， 学 生 最后得到了解答 ： 如 果长方体自同一 角 引 出的三个边为 a，b， c，那末对角线为a 2 b 2 c 2你能检验这个结果吗 ?教师不能指望从缺乏经验的学生那里得到这个问题 的良好回答。但是学生应该很早就获得下述经验：用字母表达的问题比纯粹数 字题好。对于用字母表示的题，其结果很容易进行几次检验，而用数字表示的 题则不然。我们的例子虽然很简单，也足以证明这点。教师可以对结果提出好 几个问题，对这些问题，学生可以很容易地回答 “是 ”；但如回答 “不是 ”， 这将表明结果中存在严重的缺点。“你是否使用了 所
31、 有 的数据 ?是否所有 数 据 a， b， c 都在你的 对 角 线公 式 中出现 ?”“长、宽、高在我们的问题中起的作用是一样的，我们的问题对 a， b， c 来说是对称的 。 你 所 得的公式对 a， b， c 对 称吗 ?当 a， b， c 互 换 时 公式是否保持 不变 ?”“我们的问题是一个立体几何问题给定尺寸 a， b， c，求平行六面体的对 角线。我们的问题与平面几何的问题类似：给定尺寸 a、 b，求矩形的对角线， 这里立体几何问题的结果是否与平面几何的结果类似 ?”“如果高 c 减小，并且最后等于零，这时平行六面体变成平行四边形。在 你的公式中，令 c=0，是否得到矩形对角线
32、的正确公式 ?”“如果高 c 增加，则对角线也增加。你的公式是否表明这点 ?” “如果平行六面体的三个量度 a， b， c 按同一比例增加，则对角线也按同一比例增加。在你的公式中，如将 a， b， c 分别代以 12a， 12b， 12c，则对角线也将乘以 12，是否这样 ?”“如果 a， b， c 的单位是尺，则你的公式给出的对角线的单位也是尺；如 果将所有单位改为寸，则公式应保持正确，是否如此 ?”(后两个问题基本上是等价的。参见 “量纲检验 ”一节 )上述一些问题有 几 个 好处 。 首 先 ， 公式 通 过这么多的检 验 ， 这 一事实不能 不使一个聪明的学生产生深刻的印象。学生以前就
33、相信公式是正确的，因为公 式是他仔细推导出来的。但是现在经过这么多检验，他就更深信无疑了，这种 信心的增加来源于一种 “实验的数据 ”。正是由于上述问题，公式的细节获得 了新的意义，而且和不同的事实联系起来了。这样，公式就更容易记住，学生 的知识得以巩固。最后，上述问题很容易转到类似的题目上。对于类似题目获 得一些经验以后，一个聪明的学生就能觉察出所包含的普遍概念：即，利用所 有有关数据，改变数据，对称，类比。如果他养成了把注意力集中在这些地方 的习惯，他解题的能力肯定会提高。你能检验这个论证吗 ?在困难而重要的场合，可能需要逐步地重新检验论 证。但通常，重新检查一下令人恼火之点就够了。在本例
34、，可以建议讨论以前 提过的问题：你能证明具有三边 x， y， c 的三角形是直角三角形吗 (见第 12 节末尾处 )?你能把这结果或方法用于其它问题吗 ?在受到一些鼓励并且经过一两个示 范例子以后，学生们很容易找到应用，这些应用实质上就是把问题的抽象数学 元素赋予具体的解释。当教师在进行讨论的教室里，把教室当作问题中的长方 体，他自己就使用了这样一种具体的解释。一个笨拙的学生可能会提议计算食 堂的对角线，而不是教室的对角线来作为一种应用。如果学生们自己提不出来 更有想象力的内容，那么教师本人可以提出一个稍许不同的问题，例如： “给 定长方体的长、宽、高，求中心到一角的距离 ”。学生可以利用刚
35、才 解 决的问题的结果， 因 为所求距离是对 角 线 的一半 。 或 者他们也可以利 用 引 入适当的直角三 角 形 的方法 (后一种办 法 对 于本例来说 ， 是 不那么显而易见的，并且多少有点笨拙 )。在这个应用例子 之 后 ， 教师可以讨论长 方 体四个对角线和 六 个 棱锥体的结 构，这六个棱锥体的底是长方体的六个面、公共顶点是长方体的中心、而侧棱 是长方体对角线的一半。当学生的几何想象力被充分激发以后，教师应当回到 他的问题上来 ： 你 能 把 结果或方法用于 某 个 其他问题吗 ?现在 学 生 有机会找到更 有趣的具体应用了，例如，下面就是一个： “在一个长 21 码、宽 16 码
36、的建筑物 的长方形平屋顶 的 中 心要立一个高 8 码 的 旗 杆 。 为了支撑这 根 旗 杆 ， 我们需要四 根等长的拉线 。 规 定 四 根拉线要离旗杆 顶 点 为 2 码处的同一点 开 始 ， 而另一端是 建筑物顶部的四个角。问每根拉线有多长 ?”学生可以采用上面已详细求解过的问题中所用方法，即在一个垂直平面上 引入一个直角三角形而在水平平面上引入另一个三角形。或者他们也可以利用 上面的结果：设想有一个长方体，其对角线 x 就是四根缆绳之一而它的边是a=10.5, b=8, c=6直接应用公式可求出 x=14.5。更多的例子可见 “你能利用这个结果吗 ?”那一节。15不同的方法 我们对前
37、面 8、 10、 12、 14 几节 所 考虑的 问 题继续讨论一 下 。 主要的工作，即提出计划 ， 已 在 第 10 节加以叙述 。 让 我 们 观 察教师用不同的 方 式 来进行。 从 与第 10 节相同之点出发，以后可以沿着稍许不同的路线提出下列各问题：“你是否知道任何与此有关的问题 ?” “你是否知道一个类比的问题 ?”“你看 ， 所 提 的问 题 是关于空间的图 形 ，它与长方体的对 角 线 有关 。 关于平面中的类比问题可能是什么 ?它应该与长方形的对角线有关 ”。“平行四边形 ”。即便非常迟钝和 平 凡 、 并且以前没有 能 力 推测任何事物的 学 生 ， 最后 也 会 被迫对
38、解题的思路至少作出微小的贡献。此外，如果学生确实比较迟钝，为了 使学生有所准备，教师应该事先讨论平行四边形的类比问题，否则不能一下子 就端出现在的这个长方体问题。然后，教师可以继续提问如下：“这里有一个与你有关且已解决了的问题，你能利用它吗 ?” “为了有可能利用它，你是否应当引入某个辅助元素 ?”最后教师可以成 功 地 向学生提出他所 希 望 的概念 。 这就是把 给 定长方体的 对角线想象为必须引入图中的一个合适的平行四边形的对角线 (这个平行四边 形是通过长方体和两个对边的平面的截面 )。此概念本质上和前面 (第 10 节 )相 同，但方法却不一样。在第 10 节是通过未知数来触及到学生
39、的可用的知识的； 我们回想起一个以前已解决的问题是因为其未知数和当前提出的问题中的未知 数相同。而在本节，是用类比的方法使学生触及到解题的概念。16教师提问的方法 在第 8， 10， 12， 14， 15 各节所阐述的提问方法主要是先从表中一般化的问题和建议开始，在需要时，逐步转向更特殊更具体的问题和建议，直到在学 生的头脑中能引出一个回答为止。如果你必须帮助学生开拓某种思路，如果可 能的话，从表中一个一般化的问题或建议重新开始提问，并在必要时再一次回 到某个更特殊的问题，如此等等。当然 ， 这张表仅 仅 是 这种类型的第一 张 表 ， 看来对大多数 简 单 情况是 够 用 了。但无疑它还应该
40、改进。重要的是，我们开始提的问题与建议应该简单、自 然和一般化，同时表应当短。建议必须简单而自然，否则就会太唐突。 如果我们想培养 学 生 的能力而不是特 殊 技 巧的话，那么建 议 必 须一般 化 ，不仅可用于目前的问题，而且可用于各类问题。表必须简短，使得 在 不同情况下，能够 不 矫揉造作地重复 提 问 ， 从而有机会最终能为学生所掌握，并对培养思维习惯作出贡献。为了培养学生的独立工作能力，必需逐步改为提出特殊的建议。 这种提问的方法 不 是 一成不变的，幸好 如 此 ， 因为在 这 类事 情 中 ， 任何一成不变的、机械的、陈旧的程序必然很糟糕。我们允许有一定的灵活性，它允 许采用各种
41、办法 (见第 15 节 )，它可以而且应该这样来实施，使得教师所提的问 题可以由学生自已提出来。如果有读者希望 在 他 的班上试一试这 里 所 提出的方法 ， 他当 然 应该小心地 进行 ， 他 应 该仔细 地 研究第 8 节的例子 和 后 面笫 18、 19、 20 节 中 的 例子 。 他 应 当 仔细地准备他打算讨论的例子，同时也考虑到各种不同的方法。他开始时应作 少量试验，并逐渐摸索出他应如何掌握这个方法，学生如何学习这个方法并且 需要多少时间。17好问题与坏问题 如果能很好地理 解 上 节所提出的提问 方 法 ， 则通过比较可以有 助于判断某些建议的好坏，这些建议是为了帮助学生而可能
42、提出来的。回到原来在第 10 节 开 始时的情况 ， 那 时 提 问下列问题 ： 你 知 道 一个与 此 有 关的问题吗 ?我们 从 帮 助学生的最好意 愿 出 发 ， 不问这 个 问题 ， 而 改为提问 ： 你 能应用毕达哥拉斯定理吗 ?我们的动机可能 是 极 好的 ， 但是这种 提 问 却大概是最坏的。 我 们必须 认 识 是在什么情况下提出这个问题的；然后我们会发现有一大堆反对意见反对这种 类型的 “帮助 ”。(1)如果学生 已 接 近于问题的解决 ， 他 可 能理解问题的建 议 ； 但 是如果他不 是这样，他十分可能完全看不到问题的着眼点，因而在最需要帮助之处却得不 到帮助。(2)这建
43、议的针对性太强了，即使学生能利用它解决当前的问题，对于将来的问题来说并没有学到什么。这种提问不是很有启发性的。(3)即使学生理解这建议，他们也极少能理解教师怎么会想到提出这样一 个问题 ， 而学生 他 自 己 又怎样能想出这 样 一 个问题呢 ?它看起 来 很 不自然 ， 很令 人诧异，就好象变戏法耍魔术一样。它实在没有什么启发性。对第 10、 15 节中所描述的过程就提不出上述任何反对意见了。18一个作图题更多的例子在给定三角形中 作 一 正方形 。 正方形 的 两 个顶点在三角形 的 底 边上 ， 另 二个顶点分别在三角形的另两边上。“未知的是什么 ?” “一个正方形 ” “已如数据是什么
44、 ?”“一个给定的三角形，其它没有。 ” “条件是什么 ?”“正方形的四个角在三角形的边线上，两个在底上，其余两边每边上有一 个。 ”“是否可能满足条件 ?” “我想如此，但不太有把握。 ”“看起来，你解此题并不太容易。如果你不能解决所提问题，首先尝试去解决某个与此有关的问题。你能满足部分条件吗 ?” “你说部分条件是什么意思 ?” “你看，条件与正方形的所有顶点有关，这里有几个顶点 ?” “四个。 ”“所谓部分条件涉及的顶点数应当少于四个。请仅仅保持部分条件而舍去 其余部分。什么样的部分条件容易满足 ?”“两顶点在三角形边线上，甚至三个顶点都在三角形边线上的正方形，是容易画出来的 !” “画
45、张图 !”学生画出图 2。图 2“你仅仅保留了部分条件，同时你舍去了其余条件。现在未知的确定到了 什么程度 ?”“如果正方形只有三个顶点在三角形的边线上，那么它是不确定的。 ” “好 !画张图。 ”学生画出图 3。“正象你所说的，保持部分条件不能确定正方形、它会怎样变化呢 ?”图 3“你的正方形的 三 个 角在三角形的边 线 上 ， 但第四个角还不 在 它应该在的 地方。正象你说的，你的正方形是不确定的，它能变化；第四个角也是这样， 它怎样变化 ?”“如果你希望的， 你 可以用实验的办 法 试 试看 。 按照图中 已 有 的两个 正方 形的相同办法，去画出更多的三个角在边线上的正方形。画出小的
46、正方形与大 的正方形。第四角的轨迹看起来象是什么 ?它将怎样变化 ?教师已把学生带 到 非 常接近于解答的 地 方 。 如果学生能猜到 第 四个角的轨 迹是一条直线，他就得到这个主意了。19一个证明题在不同平面上的 两 个 角 ， 其中一个角的 每 一边平行于另一 角 的 对应边且方向相同。证明这两个角相等。我们要证的是立 体 几 何的一个基本定理 。 这个问题可以提 给 那 些熟悉平面 几何以及立体几何中下列少数事实的学生，这少数事实构成了欧几里得原理中 当前这个定理的 预 备 知识 。 我们不但 把 直 接 引自我们表中的 问 题 与建议划上线，而且把那些与它们相对应的问题与建议也划上线。
47、例如， “求证题 ”是和 “求 解题 ”相对应的 (在 “求解题 ， 求证题 ”标 题下的第 5， 6 小节 中 ， 我们再系统地 讨论这种对应关系 )。“前提是什么 ?” “两角在不同的平面上，其中一个的每一边平行于另一角的对应边，且方向相同。 ” “结论是什么 ?” “两角相等。 ”“画张图，引入适当的符号。 ”学生画出图 4 中的 线 ， 并在教师的或多 或 少 的帮助下，标出图 4 中 的字母。“前提是什么 ?请用你的符号表达出来。 ” “A， B， C 和 A， B， C不在同一平面上 ， 且 ABAB ， ACA C。 AB 的方向与 AB的方向相同，而 AC 的方向与 AC的方向
48、相同。 ”图 4“结论是什么 ?”“看着结论 ! 尝试想起一个具有相同或相似结沦的熟悉的定理。 ” “如果两个三角形全等，则对应角相等。 ”“很好 ! 现在有一个与你的问题有关的定理，且早已证明。你能否利用它 ?”“我想如此，不过我还不清楚怎么办。 ” “为了可能利用它，你是否应该引入某个辅助元素 ?” “好，你提得非常好的那个定理是关于三角形的，是关于一对全等三角形的。在你的图中有没有三角形 ?” “没有，但我能引进一些。让我连接 B 与C， B与 C，这样就有了两个三角形， ABC 和 ABC。 ” “做得好，但是这些三角形有什么用 ?” “去证明结论；BAC=B AC”“好，如果你希望汪
49、明这点，你需要两个什么样的三角形 ?”“全等三角形。噢，对了，我可以选择 B， C， B， C，使得AB=AB， AC=AC” “好极了 !现在你希望证明什么 ?” “我希望证明两个三角形全等，ABC=ABC如果我能证明这点，则立即可得结论 BAC=BAC 。 ” “妙 !你有了一个 新目 标 ， 这目标是一 个 新 结论 。 看着这结论 ! 并且 尝 试 想起一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。 ”“当且仅当一个 三 角 形的三条边分别 等 于 另一个三角形的 三 条 边时 ， 这 两个三角形全等。 ”图 5“做得好 。 本来 你 有 可能会选出一条 较 差 的定理的 。 现在 这 里 有了一 条 与你的问题有关的定理，且早已证明，你能否利用它 ?”“如果我知道 BC=BC，我能利用它。 ” “对 !那么你的目标是什么 ?” “证明BC=BC。 ”“试回忆起一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。 ” “是的，我知道一个定理，它最后结束的句子是： 则两线相等 ，但它并不合适。 ” “为了能够利用它，你是否应该引入某个辅助元素 ?”“你看，在图中 BC 与 BC间并无联系，你怎么能证明 BC=BC?” “你利
