1、狭义相对论狭义相对论基本原理:1. 基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式,因此一切惯性系都是等价的。2. 在一切惯性系中,光在真空中的传播速率都等于 c,与光源的运动状态无关。假设 S 系和 S系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系,规定 S系沿 S 系的 x 轴正方向以速度 v 相对于 S 系作匀速直线运动,x 、y、z轴分别与 x、y、z 轴平行,两惯性系原点重合时,原点处时钟都指示零点。洛伦兹变换现假设,x=k(x-vt) ,k 是比例系数,可保证变化是线性的,相应地,S系的坐标变换为 S 系,有 x=k(x+vt) ,另有 y=y,z=z。将代入 :x=kk(x-vt)+v
2、tx=k2*(x-vt)+kvtt=kt+(1-k2)x/kv两原点重合时,有 t=t=0,此时在共同原点发射一光脉冲,在 S 系,x=ct,在 S系,x=ct,将两式代入 和:ct=k(c-v)t 得 ct=kct-kvt 即 t=(kct-kvt)/cct=k(c+v)t 得 ct=kct+kvt两式联立消去 t 和 tct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/cct=k2ct-k2vt+k2vt-k2v2t/cc2=k2c2-k2v2k= 2/1cv将 k 代入各式即为洛伦兹变换:x= 2/cvtxy=yz=zt= 2/1cvxt或有x=k(x+vt) x=k(x-vt)=k(
3、1+v/c)x =k(1-v/c)x两式联立,x=k(1-v/c)k(1+v/c)xk= 2/1cv同时的相对性S 中取 A(x 1,y,z,t1)和 B(x 2,y,z,t2) ,同时发出一光脉冲信号,即 t1= t2,且 x1x 2。在 S 中,t= t 1- t2=0在 S中,t 1= t2= ,t= t1- t2= ,由于/cv2/1cvx21/)(cvx1x 2,则 S中,t0。即在 S 系中不同位置同时发生的两个事件,在 S系中看来不是同时发生的。亦可说明时间和空间是相互联系的。时间延缓效应(时钟变慢)如中,对于 S 系同时发生的两事件,在 S系中出现了时间间隔,即时间膨胀或延缓。
4、设 S系中的 x0处先后在 t1和 t2发生两事件,则 t= t 2- t1。在 S 系中,t= t 2- t1= - = t2/cv0/cvx2/1cv说明在 S系中,两事件的时间间隔小于在 S 系看来的间隔,即在 S 系看来,S系中的时钟变慢了。 (对于确定的两事件,时间间隔应相同,时间起点相同,S 中观察到的间隔要长一些,便认为是 S系中的时钟变慢了。 )长度收缩效应(尺缩)S系中放置一沿 x 轴方向的长杆,设两端点的坐标是 x1和 x2,则静止长度 L= L0= x2- x1,称为固有长度。在 S 系中要测量长杆的长度,必须同时测出 x1 和 x2,即 t1= t2。由x1= 和 x2
5、= 得 L 0=L= x2- x1= =2/cvt2/1cvt 21/cv则 L=L 0 L 0 即在 S 系中观察运动的杆时,其长度比静止2/时缩短了。速度变换法则设一质点在两惯性系中的速度分量为ux=dx/dt uy=dy/dt uz=dz/dt (S 系)ux=dx/dt uy=dy/dt uz=dz/dt (S系)由洛伦兹变换得dx= 2/1cvdtdy=dydz=dzdt= 2/1cvdxt前三式分别除以第四式得ux= 2/1cvxuy= 2/xuz= 2/1cvx相应地有,ux= 2/cvxuy= 2/1xuz= 2/cvx狭义相对论动力学质速关系设 S 系中的 x0 处有一静止粒
6、子,因内力分裂为质量相等的 A、B 两部分,且分裂后mA 以速度 v 沿 x 轴正方向移动,m B 以速度-v 沿 x 轴负方向移动。VB AmVVS S则在 S系看来 mA 静止,即 vA=0。而 vB= = ,则 v= -c2/ vB2/)(1cv2/1v1- 。同时质心仍在 x0 处未移动,有 v0= -v。由于动量守恒, (m A+mB)2/1cvB=mA vA+mB vB,而 vA=0,则-v= mB vB/(m A+mB)mB /mA=-v/( vB+v)= vB/( vB+v)-1将代入上式mB /mA= 1/1222cvcvB= 222/ BB= 2/1cv得 mB= ,在 S
7、 系中二者以相同的速度沿相反方向运动,而在 S系中,2/AmA 静止,可看做静质量(m 0) 。m B 以速率 vB运动,可视为 运动质量,称相对论质量。则运动物体的质量与其静质量的一般关系即m= 20/1cv相对论动力学基本方程相对论动量 p=mv= (p、v 均为矢量)20/1cm物体受力 F=dp/dt=d /dt (F、p、v 均为矢量)20/v当 vc 时,即为牛顿第二定律,pmv=F t质能关系由知,F= dp/dt=d(mv)/dt=vdm/dt+mdv/dt 。另有 dx=vdt经典力学中,质点动能增量即合力做的功,应用的相对论中,Ek= = = Fdxdxmtv)()(2dm
8、v对质速方程 m= 求微分有20/1cdm= =dv)/(20 dvc)/1()/(220= cvm3220)/(将上式与 代入式,20/1cvmEk=dvc)/1(/( 322020= vmcvm)/()/( 32203220= (dm 代入此式)dc3220)/1(= dm=mc2+C其中 C 为积分常量,知 v=0 时,m=m 0,Ek=0,代入求得 C= -m0c2。则Ek=mc2- m0c2= m0c2( ) 1/2cv当 vc 时对 作泰勒展开,得2/=1+v2/2c2+3v4/8c4+2/1cv取前两项有 Ek= m0c2(1+ v2/2c2-1)= m 0v2/2,即经典力学动
9、能表达式。而式可改写为 mc2=Ek+m0c2,m 0c2 是物体静止时的能量,称物体的 静能,而mc2 为物体的总能量。将总能量用 E 表示,写作 E=mc2= 即相对论质能关系。20/1cv泰勒展开:根据泰勒公式的简单形式,即迈克劳林公式,有 f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)x2/2!+fn(0)xn/n!。对于 f(v)= 2/1cvf(v)= 322)/1(*cvcv= 322)/(f(v)= +2522*)/1(*cvcv32)/1(cv= +524)/1(3cv32)/1(cvf3(v)= + +42722*)/(5*6cv452*)/1(3cv25221*)/1(*cvc
10、v= +7263)/( 524)/1(9vf4(v)= + +63922*)/1(0*cvc62723*)/1(5cv+ + +4722*)/1(5*vccv52)/(6v 4722)/(v524)/(3v= + +9284)/1(0c726)/1(0cv524)/1(9cv此处,f(v)=f(0)+f(0)v+f(0)v2/2!+ f 3(v)v3/3!+ f4(v)v4/4!+=1+0+v2/2c2+0+3v4/8c4+=1+v2/2c2+3v4/8c4+能量-动量关系将 p=mv= 中的 v2 解出,得 v2= ,代入质能方程,得20/1cvm202cmpE= = =)/(202p20220cp则 E2=p2c2+m02c4 即相对论能量-动量关系。同时可知,对于静质量为零的粒子,如光子,有 E=pc,则 p=mc2/c=mc,与 p=mv 比较可得,静止质量为零的粒子总以光速 c运动。结合普朗克的理论,由 E=mc2=h 可得到光子的相对论质量 m=h/c2 。h 为普朗克常量, 为光的频率。