1、例谈类比在解析几何中的应用在近几年的高考试题中，以能力立意的数学高考试题不断推出一些思路开阔、情境新颖脱俗的创新题型，它们往往不是以知识为中心，而是以问题为中心，并不拘泥于具体的知识点，而是将数学知识、方法和原理融于一体，突出对数学思想方法的考查，体现数学的思维价值。在 2009 年江苏省考试说明中，明确指出数学命题的指导思想要求突出数学基础知识、基本能力、基本思想方法的考查，重视数学基本能力和综合能力的考查，注重数学的应用意识和创新意识的考查，其中，推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳，类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性。笔者研究近几年的
2、高考试题，发现类比推理的考查较为突出，是高考的一个新的亮点，本文仅对类比推理在解析几何中的应用作相关论述。一 圆锥曲线的统一性椭圆，双曲线，抛物线统称为圆锥曲线，这是因为它们有着统一性的定义：平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 (F 不在 上)的距离的比等于常数lle 的点的轨迹，当 时，它表示椭圆；01e当 时，它表示双曲线；当 时，它表示抛物线。由于它们有着共同的统一性定义，因此它们的性质有着许多类似之处，在研究有关的问题时，我们可以通过类比的方法，解决诸多问题。（1）椭圆与双曲线类比例 1 ：（上海春招题）已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P
3、是椭圆上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 、 时，那么PMkN与 之积是与点 P 的位置无关的定值；试对双曲线 写出具有类PMkN 12byax似特性的性质，并加以证明.分析： 类似的性质为：若 M、N 是双曲线 上关于原点对称的两个点，12byax点 P 是双曲线上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 、PMk时，那么 与 之积是与点 P 的位置无关的定值。NkPMkN证明：设点 M、P 的坐标为（ ） 、 （ ） ，则 N（ ） 。nm,yx,nm,因为点 M（ ）在已知双曲线上，所以 ，, 22ba同理 ，22bxay则 （定值） 。222abmxabxn
4、ymxnykPNM 评注：本题以椭圆、双曲线为载体，考查直线的斜率，椭圆、双曲线的概念与方程，考查数学运算能力及类比推理的能力。（2）椭圆与抛物线类比例 2：在椭圆 中，F 是左焦点， 是左准线，A 是右顶点，过 F 任作直21xyabl线与椭圆交与 B、C 两点，连接 AB、AC 与左准线 分别交与 P、Q 两点，设两点的纵坐标分别为 ，求证： 为定值。1,2y12y类比上述结论，在抛物线中，你能得到什么结论，并给予证明。分析：如图所示，以椭圆左焦点为极点，x 轴为极轴，建立极坐标系，则极坐标方程为：,设 ， ，过 C 作 ，设准线与 2cosba1(,)C2(,)DDx轴x 轴交与 E 点
5、，则 与 相似，所以 ,APEPEA即： ，211sincosay所以 = = 。21()a22()sincoba2sicob同理可得 ，22sin()sicocobby 所以 。22412 2iiss类比椭圆与抛物线，我们可以发现抛物线只有一个顶点，另外一个顶点即在无穷远处，等同于椭圆的右顶点 A，因此我们有以下结论：在抛物线 中，F 为其焦点， 为其准线，过 F 作直线与抛2(0)ypxl物线交与 A、B 两点，分别过 A、B 向准线 作垂线，垂足分别为 C、D，设两点的纵坐标分别为 ，则 为定值，定值为 ，证明从略。1,2y12y 2p评注：本题中的类比是一个难点，只有牢牢把握住三类曲线
6、的相似之处，才能解决此类问题，课本选修 2-1（苏教版）第 23 页给出了三类曲线的形成模型，回归教材，深入的研究三类曲线的产生过程，是解决问题的关键。（3）同类曲线自身的类比例 3： 在平面直角坐标系中，不难得到“对于双曲线 xy=k,k0,上任意一点P，若点 P 在 x 轴和 y 轴上的射影分别为 A、B，则 必为定值 K” ；P类比于此，对于双曲线 上任意一点 P，类似的命题是什么？并证21xyab明你的结论。分析：鉴于 x,y 轴是双曲线 xy=k,k0 的两条渐近线，因此我们可以得到下面的结论：对于双曲线 上任意一点 P，若在两条渐近线 上2xy byxa的射影分别是 A、B，则有
7、必为定值。这个定值是多少呢？我们B不妨先取 P 为顶点时，可以得到定值为 ，证明从略。2ab评注：本题的类比关键在于抓住两坐标轴对于双曲线 xy=k,k0 而言实质上是其渐近线。（4）三类曲线间的类比例 4：在抛物线 中，F 为其焦点， 为其准线，过 F 作直线与抛2(0)ypxl物线交与 A、B 两点，以 AB 为直径作圆 C，试判断圆 C 与准线 的位置关系。l类比上述结论，在椭圆与双曲线中是否仍有上述结论？若有，给予证明，若无，试说明位置关系。分析：如图所示， 分别过 A,B,C 向准线 作垂线，垂足分别为 G,E,H，由抛物线的定义知，l, ,所以 ，AGFBEABFAGBE由梯形的中
8、位线定理知： ,2ECH所以： ,即圆心到准线的距离等于圆的半径，2CH所以圆与准线相切。类比上述推理过程，我们发现：由椭圆的第二定义知道： ，AeF，其中 e 为椭圆的离心率，BEeF所以 ，由梯形的中位线定理知：ABAGEe,2GCH所以 ,即圆心到准线的距离大于圆的半径，所以圆与准线相离。e同理：若曲线为双曲线，则圆与准线的位置关系是相交。评注：本题考查圆锥曲线的统一定义，直线与圆的位置关系。类比的关键在于推理过程的类比，由于定义的统一性，判断方法的明确性，因此，要抓住其实质 进行判断，当 时，圆与准线相切；2ABCHe1e当 时，圆与准线相交；当 时，圆与准线相离。0练习：在椭圆 中，
9、A、B 分别是左右顶点，过 AB 上任一点作直线21xyab轴，与椭圆交与 C、D 两点，连接 AC、BD 交与 P,求动点 P 的轨迹；l类比于此，对于双曲线 和抛物线 ，类似的结论21xyab2(0)ypx是什么？并加以说明。答案提示：若曲线是椭圆，则动点 P 的轨迹为双曲线；若曲线是双曲线，则动点 P 的轨迹为椭圆；若曲线是抛物线，则动点 P 的轨迹是抛物线。二 圆与圆锥曲线的相似性圆在解析几何中占有一定的比重，也是高考的一个重点内容，那么它与圆锥曲线是否孤立呢？仔细研究教材（苏教版） ，课本上的例题涉及了圆与椭圆的联系，它们是可以通过伸缩变换而得到，实际上我们也可以通过几何画板形象的反
10、映出它们之间的相互变化，当椭圆的两个焦点重合时，也就形成了圆。既然有相似之处，我们就可以通过类比研究有关的问题。例 5：已知圆 C 的方程为 ，动点 P 为其上一点，设其坐标为 ，22xyr0(,)xy求证：该圆在点 P 处的切线方程为 ；20xyr类比于此，对于椭圆 ，类似的结论是什么？并加以证明。21ab分析：若动点 P 在坐标轴上，显然成立；若动点 P 不在坐标轴上，可得切线的斜率为 ，由点斜式得直线0xKy的方程为 ，化简为: ,又因为点0()xy 200在圆上，所以所求切线方程为 。20xyr类比椭圆与圆，我们有以下结论：已知 P 为椭圆 上一动点，则椭圆在该点处的切线方程为：0(,
11、)xy21yab，证明从略。021ab评注：本题通过类比推广，可以直接归纳概括出相应的结论。波利亚曾说：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现.”因此，作为基础教育之一的中学数学，在教学中必须重视培养学生的类比推理能力。为此，特提出以下教学建议：（1）根据教材特点，在传授新知识时，有意识地引导学生，通过类比与归纳得出新的知识，逐步学会类比推理的方法。（2）在进行知识复习时，经常对相关的知识进行类比，培养学生对相关知识进行类比的习惯。（3）在解题教学中，通过类比，引导学生推广数学命题，或通过类比，探求解题途径，深化对知识
12、的理解，对数学思想方法的掌握。（4）通过类比，拓展学生的数学能力，提高学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的实践能力和创新精神。开普勒对类比也情有独钟：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师 ”正因为如此，以上这些有趣而富有启迪的类比越来越多地受到了命题专家的关注，逐渐成为高考命题的新视角。参考资料：1 任子朝，高考能力测试与试题设计，北京教育出版社.2 顾国章，高考对类比推理的考查，中学数学，2005.2.3. 江苏省 2009 年普通高校统一招生考试说明，凤凰传媒出版社.发表于数学教学研究 ，2009 年第 6期刊号 ISSN 1671-0452CN 62-1042/01
