高考数学试题新亮点——类比推理题.doc

1、高考数学试题新亮点类比推理题“多考一点想，少考一点算” ，以能力立意的数学高考试题不断推出一些思路开阔、情境新颖脱俗的创新题型，它们往往不是以知识为中心，而是以问题为中心，并不拘泥于具体的知识点，而是将数学知识、方法和原理融于一体，突出对数学思想方法的考查，体现数学的思维价值。类比推理是根据两个对象具有某些相同的属性而推出当一个对象具有一个另外的性质时，另一个对象也具有这一性质的一种推理方式。因此求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项。换言之，不能把类比仅停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上，还需要对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的

2、关联。一、 数列中的类比推理例 1 （2000 年上海卷）在等差数列 中，若 ，则有等式na01naa21成立，类比上述性质，相应地：在等比数列 中，),19(192 Nnaa b若 ，则有等式 成立.9b分析 本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：等差数列 用减法定义 性质用加法表述（若 且,*Nqpnm则 ） ；,qpnmqpnmaa等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若 且,则 ）.,由此，猜测本题的答案为： ).,17(*17221 nbbnn事实上，对等差数列 ，如果 ，则na0k nkkaa22. 所以有：0ka 1(n） （ ）.从而对等比数列 ，如果 ，则有等

3、式：nn122 *,Nkb成立.),12(121 nbbnk评注 本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列 而得到等比数列 的新的一般性的结论。an例 2 （2004 年北京高考题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列 是等和数列，且 ，公和为 5，那么 的值为 ，这个数列na2118a的前 项和 的计算公式为 .S分析 由等和数列的定义，易知 ， （ =1，2，） ，故 .2na32n 318当 为偶数时， ；当 为奇数时， .n5S评

4、注 本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。二、 函数中的类比推理例 3（2003 年上海春招高考题）设函数 ，利用课本中推导等差数列21)(xf前 项和公式的方法，可求得 的值为 .n )6(50)4( ff分析 此题利用类比课本中推导等差数列前 项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的n特点，尝试着计算 ： ，)1()xf21)(xf，xxxf 222)1(1，)()xf发现 正好是一个定值， ， .1fx12S3S评注 此题依据大纲和课本，在常见中求新意，在平凡中见奇巧，将分析和解决问题的能力的考查放在了

5、突出的位置.本题通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题.这样，通过从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有效于发展学生创新的思维。例 4 （2003 年上海春招高考题）已知函数 ， .5)(31xf 5)(31xg（1） 证明 是奇函数，并求 的单调区间.)(xf xf（2） 分别计算 和 的值，由此概括出涉及函数)2(54gf9f和 的对所有不等于零的实数 都成立的一个等式，并加以证明.)(xfg分析 （1）略； （2）分别计算得 和 的值都为零，)2(54gf)3(59gff由此概括

6、出对所有不等于零的实数 有： 如果将式子x.0x中的 5 改成字母 ，可进一步推广0)(5)(2xff 0.gx评注 由数字型向字母型类比推广相当于从特例向一般推广，但其实质都是一般化策略.正如波利亚在其怎样解题中所阐述的一般化思想：“一般化就是从考虑一个对象，过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小的集合的更大集合。 ”三、排列组合中的类比推理例 5 （2002 年上海高考题）规定： ，其中 ， 是正!)1()1(mxCmx Rxm整数，且 ，这是组合数 是正整数，且 的一种推广.10xCn,(n（1） 求 的值；5（2） 组合数的两个性质（ ）是否都

7、能推广到nnmnC1,mxC（ 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说mR,明理由；（3）已知组合数 是正整数，证明：当 ， 是正整数时， .mnCZxZmx分析 本题“新的规定 （ 是正整数） ”是组合数 （ 是正整数，且xR, n,）的一种推广.这个结论是中学数学教学内容中没有的，目的是考查考生对相关的数n学思想方法的自觉运用以及创新思维能力.解：（1）根据新规定直接进行演算即可.1628!5)9(8)17(6)(51 C（2）性质不能推广.反例：当 时， 有意义，但 无意义.性质,mx1C12能推广，且推广形式不变：是正整数）.Rxmxm,(1证明如下： )

8、!1()22)(!)1()2 mxxxCx= !()2(= =)1(2)11! mxxxmxC1（3）需要就 与 的大小作出逻辑划分并进行严密的论证.当 时， 都是正整数， 就是组合数，结论显然成立；,mnC当 时， ，结论也成立；x0 Zmx 0!)(0)(当 时， )2)(1(!1)2)1( mxmxCmx)1(， 是正整数，故 .0x1ZCxx1)(综上所述，当 ， 是正整数时， .ZZm评注 本题以组合数为载体考查运用类比推理和分类讨论的数学思想方法，考查运算能力和创新思维能力。例 6 （2003 年上海高考题）已知数列 （ 为正整数）的首项为 ，公比为 的等na1aq比数列.（1）

9、求和： ； .231201Ca342312031C（2） 由（1）的结果，归纳概括出关于正整数 的一个结论，并加以证明.分析 本题由（1）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论：（1） = ，23120Ca 2121)(qaq.43a 313)(（2）归纳概括的结论为：若数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则n.（证明略）nnnn C)()(1321201 评注 本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力，突出了创新能力的考查；通过抓住问题的实质，探讨具有共同的属性，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。四、立体几何中的类比推理例 7 （2002 年上海春招题）若从点 O 所作的

10、两条射线 OM、ON 上分别有点 、 与1M2点 、 ，则三角形面积之比为： . 若从点 O 所作的不在同一1N2 2121NMSN个平面内的三条射线 OP、OQ 和 OR 上分别有点 、 与点 、 和 、 ，则类似PQ21R2的结论为： .分析 在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想.(证明略)21RQPOV21OR评注 本题主要考查由平面到空间的类比.要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论.又在 2004 年广东高考数学试卷中出现本题的类题。例 8 （2003 年全国高考题）在平面几何中，有勾股定理：“设 ABC 的两边 AB、A

11、C互相垂直，则 ”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥.22BCA的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则 .”分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边体 积 面 积 ； 二面角 平面角面 积 线段长； 由此，可类比猜测本题的答案：（证明略）.2ABCS2D2ABS2CD评注 本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广，因此平时的教学与复习中要注意类比等思想方法的学习，更要注意研究性学习在数学中的适时切入。例 9 （2004 年上海春

12、招高考题）在 DEF 中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出FEEFDcos22斜三棱柱 ABC- 的 3 个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以1证明.分析 根据类比猜想得出 .cos21111122 BCABBCACA SSS其中 为侧面为 与 所成的二面角的平面角.B证明： 作斜三棱柱 的直截面 DEF，则 为面 与面DFE1A所成角，在 中有余弦定理：1BCDEF，cos22同乘以 ，得 2A cos2111211 AFA即 s12BCBBCACSSS评注 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的

13、教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。五、 解析几何中的类比推理例 10 （2001 年上海高考题）已知两个圆： ， 12yx与 则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命1)3(22yx题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 .分析 将题设中所给出的特殊方程、推广归纳到一般情况：设圆的方程为 ， 22)()(rbyax与 dc其中 或 ，则由式减去式可得两圆的对称轴方程.ab评注 本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。例 11 （2003 年上海春招题）已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆

14、C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 、 时，PMkN那么 与 之积是与点 P 的位置无关的定值.试对双曲线 写出具有类似特PMkN 12byax性的性质，并加以证明.分析 类似的性质为：若 M、N 是双曲线 上关于原点对称的两个点，点 P 是12byax双曲线上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与PMkNMk之积是与点 P 的位置无关的定值.PNk证明：设点 M、P 的坐标为（ ） 、 （ ） ，则 N（ ）.nm,yx,nm,因为点 M（ ）在已知双曲线上，所以 ，同理 .n, 22ba22bxay则

15、 （定值）.22xbxyxkPN 评注 本题以椭圆、双曲线为载体，考查直线的斜率，椭圆、双曲线的概念与方程，考查数学运算能力。例 12. （2003 年上海春招题）已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 、 时，PMkN那么 与 之积是与点 P 的位置无关的定值.试对双曲线 写出具有类似特MkN 12byax性的性质，并加以证明.分析 类似的性质为：若 M、N 是双曲线 上关于原点对称的两个点，点 P 是12byax双曲线上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与PMkNM

16、k之积是与点 P 的位置无关的定值.PNk证明：设点 M、P 的坐标为（ ） 、 （ ） ，则 N（ ）.nm,yx,nm,因为点 M（ ）在已知双曲线上，所以 ，同理 .n, 22ba22bxay则 （定值）.222xbxnyxykPN 评注 本题以椭圆、双曲线为载体，考查直线的斜率，椭圆、双曲线的概念与方程，考查数学运算能力。同类之间的类比在圆锥曲线中，常常以姐妹题形式出现，这样对学生思维和素质的考查具有很好的功能，而且题型新颖，避免了传统的考法的单调。六.新定义、新运算中的类比 例 13、若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的运算，即 ，则两2ba边均含有运算符号“*”和“”

17、 ，且对于任意 3 个实数 a，b，c 都能成立的一个等式可以是_。解析：由于本题是探索性和开放性问题，问题的解决需要经过一定的探索过程，并且答案不惟一。这题要把握住 ，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而2ba且等式两边均含有运算符号“*”和“” ，则可容易得到 a+（b c）=（a+b） （a+c） 。正确的结论还有：（a b）+c=（a c）+ （b c）,（a b）+c=（b a）+c 等。例 14、电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：十进制 1 2 3 4 5 6 .二进制 1 10 11 100 101 110 观察二进制 1 位数，2 位数，3 位数时，对

18、应的十进制的数，当二进制为 6 位数能表示十进制中最大的数是 解：通过阅读，不难发现： 1:21217,06 ,21025,04, 021 2110 写 成 二 进 制 为进 而 知 于是知二进制为 6 位数能表示十进制中最大的数是。632:1 543210 化 成 十 进 制 为评析：通过阅读，将乍看陌生的问题熟悉化，然后找到解决的方法，即转化成等比数列求解。总之，求解数列创新题的关键是仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案，最后利用等差、等比数列有关知识来求解。例 15、对于直角坐标平面内的任意两点 A(x , y )、B( x ，y )，定义它们之间的一12种“距离”：AB=x

19、x +y y .122给出下列三个命题：若点 C 在线段 AB 上，则AC +CB=AB;在ABC 中，若C=90，则AC +CB =AB ；222在ABC 中，AC+CBAB.其中真命题的个数为（B）A.0 B.1 C.2 D.3解析：对于直角坐标平面内的任意两点 ，定义它们之间的一种“距离”：12(,)(,)AxyB若点 C 在线段 AB 上，设 C 点坐标为(x 0，y 0)，212| .Axyx0 在 x1、x 2 之间，y 0 在 y1、y 2 之间，则=02020|CBxy2121|.xyAB在 中，A01012020|xy120120()()|()()|y= 命题 成立，而命题

20、在 中，若 则212|.B ABC9,o明显不成立，选 B.2;ACA例 16、 ，平面中两条直线 和 相交于点 O，对于平面上任意一点 M，若 、 分1l2 pq别是 M 到直线 和 的距离，则称有序非负实数对（ ， ）是点 M 的“距离坐标” 已1l2 pq知常数 0， 0，给出下列命题：pq若 0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有 1 个；若 0，且 0，则“距离坐标”为（ ， ）的点有且仅有 2 个；若 0，则“距离坐标”为（ ， ）的点有且仅有 4 个pqpq上述命题中，正确命题的个数是 答 （ D ）（A）0； （B）1； （C）2 ； （D）3【解析】对于到平面中两条直线

21、和 的距离都为 0 的点只有交点 O；对于1l2 0 且 0，只有 两种情况。但易误判成任一种,;0则则情况都对应两个点，两种情况则有四个点。要知道在 是常数的情况下只能是其中的一qp种情况，不能两种情况同时存在；对于若 0，则“距离坐标”为（ ， ）的点在pq四个区域内各有唯一的一个，故总共有且仅有 4 个所以选 D。另解：选（D） 正确，此点为点 ； 正确，注意到 为常数，由 中必O,有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有 2 个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为 （或 ） ； 正确，四个交点为与直线 相距为 的两条平行线和与qp1lp直线 相距为 的两条平行线的交点。2l

22、波利亚曾说：“如果没有相似推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现.”因此，作为基础教育之一的中学数学，在教学中必须重视培养学生的类比推理和归纳推理的能力。为此，特提出以下教学建议：（1）根据教材特点，在传授新知识时，有意识地引导学生，通过类比与归纳得出新的知识，逐步学会类比推理的方法。（2）在进行知识复习时，经常对相关的知识进行类比，培养学生对相关知识进行类比的习惯。（3）在解题教学中，通过类比，引导学生推广数学命题，或通过类比，探求解题途径，深化对知识的理解，对数学思想方法的掌握。（4）通过类比，拓展学生的数学能力，提高学生的发现

23、问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的实践能力和创新精神。开普勒对类比也情有独钟：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师 ”正因为如此，以上这些有趣而富有启迪的类比越来越多地受到了命题专家的关注，逐渐成为高考命题的新视角。参考资料：1 任子朝，高考能力测试与试题设计，北京教育出版社.2 张巧凤，从平面到空间的类比思维，高中数学教与学，2004.11.3 邓益阳，探究一类新型题的解题策略，高中数学教与学，2004.2.4 李云杰，数学命题的推广，高中数学教与学，2004.9.5 徐永忠 解析深化理性思维考查的数学高考，数学通报，2004.11.6 顾国章，高考对类比推理的考查，中

24、学数学，2005.2.近五年广东高考中的类比题12 （2007 年广东卷）如果一个凸多面体是 n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_条，这些直线中共有 对异面直线，则 ；f(n)=_(答案()f (4)_f用数字或 n 的解析式表示) 答案： ;8;n(n-2)。(12解析： ; ;)(428f()2)fn14、 （2006 年广东卷）在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第 1 堆只有 1 层，就一个球；第 堆2,34最底层（第一层）分别按图 4 所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，

25、第 堆第 层就放一个乒乓球，n以 表示第 堆的乒乓球总数，则()fn； （答案用 表示）.3_()_fn14、 10，)(f 6)2(1nf(14) （2005 年广东卷）设平面内有 条直线 ，其中有且仅有两条直线互相平行，)3(n任意三条直线不过同一点若用 表示这 条直线交点的个数，则)(f=_；当 时， （用 表示）)4(f 4nn【答案】5， )2(1解：由图 B 可得 ，54f由 ， ， ，2)3(f)(9)(f，可推得16n 每增加 1，则交点增加 个，)1(n 432)(f )2(12n图 4图 B15 （2004 年广东卷）由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系:PABS，.PABCV(15) PCBA（15） （2003 年广东卷）在平面几何里，有勾股定理：“设ABC 的两边 AB，AC 互相垂直，则 AB2AC 2BC 2 ”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 ABCD 的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则 ”（15） 2222 BCDACDABSS图 (2)CA P AB C 图 (1) AP AB