1、绝密启用前【解析】重庆市重庆一中 2015届高三上学期期中考试数学文试题数 学 试 题 卷(文科) 2014.11【 试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新, 适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质, 考基础,考方法,考潜能的检测功能 .【题文】一、选择题（每题 5分，共 10题）【题文】1.已知全集 ，则 （ ）6,32,43,21AUUAA B C D54,1， 6416,54【知识点】
2、集合运算. A1【答案】 【解析】A 解析：易得 ,故选 A。5UA【思路点拨】根据补集定义求结果.【题文】2.函数 的定义域为（ ）xxf1lg2A. B. C. D.1,2， ,2，1【知识点】函数的定义域. B1【答案】 【解析】A 解析：由 得 x ，故选 A.2102x1,【思路点拨】根据函数定义域的意义得关于 x 的不等式组，解得 x 范围.【题文】3.执行右图的程序，若输入的实数 =4，则输出结果为( )A. B.43C. D.214【知识点】算法与程序框图. L1【答案】 【解析】C 解析：因为 x=41 成立，所以执行 ,所以输出结果为 2，故选 C.2log4y【思路点拨】
3、通过框图描述的意义得结果.【题文】4.函数 的最小正周期是（ ） xy2sinA. B. C. 2 D. 42【知识点】诱导公式；二倍角公式；弦函数的周期公式. C2 C6 C4【答案】 【解析】B 解析： = ，所以其周期xy2sin1sicosin2x，故选 B.2T【思路点拨】利用诱导公式，二倍角公式，把已知函数化为 ，从而得正确.1sin2yx【题文】5.直线 和 垂直，则实数 的值为( )01:1yxal 023:2axl aA. B. C. D.2123443【知识点】两条直线垂直的条件. H2【答案】 【解析】D 解析：由已知得： 3(a-1)+a=0 得 a= ，故选 D.【思
4、路点拨】根据若直线 与 垂直，则 得结论.110axbyc220axbyc120ab【题文】6.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是（ ）A 甲 B乙 C丙 D丁【知识点】均值与方差的意义. K8【答案】 【解析】A 解析：均值反映一组数据的平均水平，其越大越好；方差反映一组数据波动程度，其越小越好.故选 A. 【思路点拨】根据均值与方差的意义得正确选项.【题文】7.直线 与圆 相交于 两点，则弦 （ ）02yx121yxBA,AA. B. C. D.2332【知识点】点到直线的距离；勾股定理. H
5、4 H2甲 乙 丙 丁平均成绩 x89 89 86 85方差 2S2.1 3.5 2.1 5.6【答案】 【解析】D 解析： 圆心（1,2）到直线 x+y-2=0 的距离 d= ,2弦|AB|= ，故选 D. 221【思路点拨】利用点到直线的距离公式求圆心（1,2）到直线 x+y-2=0 的距离，在由勾股定理，求得弦|AB|的长.【题文】8.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是( )cm 34322正视图 侧视图俯视图A. B. C. D.234【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2 【答案】 【解析】B 解析：由三视图可知此几何体是：底面半径为 2，
6、高为 3 得圆锥的一半，所以其体积为 ，故选 B. 213【思路点拨】由三视图得此几何体的结构，从而得其体积. 【题文】9.（原创）设实数 和 满足约束条件 ，且 取得最小值的最优解仅为xy09273yxyaxz点 ，则实数 的取值范围是（ ）2,1AaA. B. C. D.3, 31, ，31,31【知识点】线性规划的应用. E5【答案】 【解析】C 解析：A 为直线 x-2y+3=0 与 x+3y-7=0 的交点，设直线 x+3y-7=0 与 2x+y-9=0 的交点 B,直线 2x+y-9=0 与 x-2y+3=0 的交点 C，则当 a 0 时， 取得最小值的最优解仅为点 B；当 a0时
7、，yaxz要使 取得最小值的最优解仅为点 ，需使-a .故选 C. yaxz2,1A13ABk【思路点拨】画出可行域，讨论 a 值，得目标函数取得最小值的条件.【题文】10.已知正数 满足 则 的取值范围是（ ）,bc,bcabA. B. C. D. 34,034,21341， 34,1【知识点】基本不等式. E6【答案】 【解析】D 解析： 正数 a,b 满足 a+b=ab,ab 2ab2()0ab,由24ab,abc得 ， ，11c 1413,03aab，故选 D. 13ab【思路点拨】由正数 a,b 满足 a+b=ab 得 ，由 a+b+c=abc 变形成 即可得出结论.b1c【题文】二
8、、填空题（每题 5分，共 5题）【题文】11.命题“ ”的否定是 02,xR【知识点】全称命题的否定. A3【答案】 【解析】 . 解析：根据全称命题的否定方法得：命题“ ”的否定是00,x 02,xR“ ”.00,2xR【思路点拨】根据全称命题的否定方法得结果. 【题文】12.已知复数 为纯虚数，其中 为虚数单位，则实数 的值为 )(2ixzix【知识点】复数及其有关概念. L4【答案】 【解析】 解析： 为纯虚数得：1)(iz21xi.202x【思路点拨】若复数是纯虚数，则其实部为零，虚部不为零.【题文】13.若向量 的夹角为 ， ，则 ba、 1504,3baba2【知识点】向量的运算.
9、 F3 【答案】 【解析】2 解析： 2224()143cos1506= .3816【思路点拨】把求向量的模，转化为数量积运算即可.【题文】14.已知数列 满足： ，则数列 的通项公式为_ na1,1nan Nna【知识点】累加法；裂项求和法. D1 D4【答案】 【解析】 解析：12n21321n naaa=2-13 【思路点拨】由 得1,1nan N21321n na a 1123n再用裂项求和法求解.【题文】15.设 为正整数， ，计算得nf32 ,258,4,2fff，观察上述结果，可推测一般的结论为 316f【知识点】归纳推理. M1 【答案】 【解析】 解析： ，*2()()nfN
10、1234,ff归纳得 .34562,f *2()nf【思路点拨】把计算得的几个式子重新整理，归纳总结规律得结论.【题文】三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）【题文】16.（原创） （本题满分 13分）已知等差数列 满足： .na8,562a求 的通项公式；na若 ，求数列 的前 项和 .nab2nbnS【知识点】等差数列；数列求和. D2 D4 【答案】 【解析】 （1） ；（2） .an12nn解析：由条件知： 865411da故 的通项为nan b2故 211nnnS【思路点拨】 （1）利用等差数列的通项公式求得首项和公差即可；（2 ）利用
11、等差数列和等比数列的前 n项和公式，求数列 的前 项和 .nbnS【题文】17. （本题满分 13分）从某校高三学生中抽取 名学生参加数学竞赛，根据成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间 40, 100),且成绩在区间 70, 90)的学生人数是 27 人. 求 的值;n若从数学成绩（单位：分）在 40,60)的学生中随机选取 2 人进行成绩分析，求至少有 1 人成绩在 40, 50)内的概率.【知识点】用样本估计总体；古典概型. I2 K2【答案】 【解析】 （1）50 ；（2 ） 107 . 解析：成绩在区间 907，的频率是：1(0.02+0.0
12、16+0.006+0.004)10=0.54， 750.4n人 成绩在区间 ， 的学生人数是：500.04=2 人，成绩在区间 6， 的学生人数是：500.06=3 人，设成绩在区间 05， 的学生分别是 A1，A 2，成绩在区间 506， 的学生分别是 B1，B 2，B 3，从 成 绩 在 4的 学 生 中 随 机 选 取 2 人 的 所 有 结 果 有 ： (A1， A2)， (A1， B1)，(A1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，( B1，B 3)，(B 2，B 3)共 10 种情况至少有 1 人成绩在 内的
13、结果有：( A1， A2)， (A1， B1)， (A1， B2)， (A1， B3)， (A2， B1)， (A2， B2)，(A2， B3)共 7 种情况 至少有 1 人成绩在 504，内的概率 P= 07【思路点拨】 （1）先求成绩在区间 9，的频率，由频率= 得 n 值；（2）分别求出成绩在区间频 数405，的学生人数 2 人，和成绩在区间 506， 的学生人数 3 人，用列举法写出从这 5 人中随机选取 2 人的所有情况共 10种，其中至少有 1 人成绩在 4内的结果有 7 种，从而得所求概率.【题文】18.（原创） （本题满分 13分）已知 中，角 的对边分别为 ，且有ABC, ,
14、abc. 求角 的大小；(2)cosaBbC设向量 ,且 ，求 的值.45,cos3,12snAmnmta()4A【知识点】正弦定理；两角和与差的三角函数；三角形的内角和；诱导公式；向量垂直的性质，三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2【答案】 【解析】(1) ；(2)7. 解析：由条件 可得：4 (2)cosaBbCCBCAcosincsins2整理得： ACBsinsiin所以 ，又 ，故2cosB04由 可得：nm0cos31cos5A整理得： 0862A从而 （舍去）cs54cos或又 ， 为锐角0故 ，3inta于是 7tn14t A【思路点拨】(1)利用正弦定理，两角和与差
15、的三角函数，三角形的内角和，诱导公式，将已知等式化为，从而得 ；（2）由 可得2sincoB=si2cos4Bnm,可得 的值.08652A43sinta5Ata()4A【题文】19.（原创） （本题满分 12分）如图，已知 是CDBEDE,/,平 面正三角形, ,且 的中点 求证： ；2BDECF是 F平 面求四棱锥 的全面积. AC【知识点】线面平行的判定；几何体的全面积. G4 G1 【答案】 【解析】 （1）证明：见解析；（ 2） .63全S解析：取 中点 ，连结CEPBF, 为 的中点，FDDE21/又 AB21/ 为平行四边形， PBPAF/又 平面 平面 ， /平面 . CE,B
16、CE ， ， ， ，3ABEDS3AD2CDES1ABC6S6全【思路点拨】 （1）在平面 BCE 内找到直线与直线 AF 平行，为此取 CE 中点 P， ，连结 ，证明BF,即可；（ 2）求出此几何体的每个面的面积然后相加.PF/【题文】20. （本题满分 12分）已知函数 ， ， xxgln2xmxfln2R求函数 的极值；若 在 上为单调函数，求 的取值范围.()gx()fx1,【知识点】导数的应用；不等式恒成立问题. B12 E8【答案】 【解析】 （1） ，无极大值；（ 2） . 2lng极 小 值 ,01,解析：（1） 221xxg令 得： ；令 得：0x0又因为 的定义域为g，故
17、 在 上单调递减，在 上单调递增x2,2故 ，无极大值。ln1极 小 值（2） ()2l.mfxgx2().mxfxg在 上为单调函数，f1,或者 在 恒成立20mx02mx1,等价于 即(1),2x而 22,ax11x等价于 即 在 恒成立，20m2(),m2x1,而 2,1x综上， 的取值范围是 ,1,【思路点拨】 （1）先求定义域上导函数为零的根，再判断此根两侧导函数值的符号，由此得函数的极值情况；（2）h(x)= 在 上为单调函数,则在 上 或()fxg1,0hx恒成立，在采用分离常数法求 m 范围.0hx【题文】21. （本题满分 12分）已知椭圆210)xyab（的离心率 63e，
18、过点 A(0,)b和 B(,0)a的直线与原点的距离为 32. 求椭圆的方程；设 12F、 为椭圆的左、右焦点，过 2F作直线交椭圆于 两点，求 1PQF的内切圆半径 r的最大值.,Ax2FB1FQyo【知识点】椭圆的方程；直线与椭圆的位置关系；三角形的面积公式. H5 H8【答案】 【解析】 （1） ；（2） .132yx解析：直线 的方程为 即ABba0abyx原点到直线 的距离为 即 232224.236acae又 .22b由可得： 2,12c故椭圆方程为 32yx ，设0,21F21,yxQP由于直线 的斜率不为 ，故设其方程为：PQk联立直线与椭圆方程： 01231322 kykyx
19、k故 .3121ky而 2121211 yFSSQFPFPQ.4yy将代入得： 3164322221 kkSPQF又 rarPQF221 所以 k36故 21122kr当且仅当 即 时，取得“ ”22k故 1PQF的内切圆半径 r的最大值为 .21【思路点拨】 （1）根据已知条件，得关于椭圆中参数 a、b、c 的方程组，求得 a、b、c 即可；（2 ）由于直线 的斜率不为 ，故可设其方程为：PQ02kyx联立直线与椭圆方程： ，得01313222 kyxk 31221ky由 得： = ，又 的周长为定值 4a= ，所以1122FPQS1FPQS263k1FPQ4，这样得 r 关于 k 的函数 ，求这个函数的最大值即可.143FParr23kr【典例剖析】本考题第二小题是较典型的问题，寻找 1PF的内切圆半径 r，与过焦点 2F的直线中，参数 k的函数关系是本题的关键；而三角形的两种面积计算公式是桥梁.2kyx
