1、湖北省黄冈中学 2015 届高三上学期期中考试数学理试题 一选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1. 设集合 ， ，则 ( )|12Ax|2,0xByABA B C D0,2(,3)1,31,4)2. 若 是第三象限角，且 ，则 （ ）tancos. . . . 103310310103. 函数 的值域为（ ）()log(2)xfA. B. C. D. 0,0,(1,)1,4. 已知向量 与 不共线，且 ，若 三点共线，则ij ,ABimjDnij,ABD实数 满足的条件是（ ）,mn. . . . 11n11mn5.
2、 函数 的零点所在的区间是（ ）()lgfxA B C D 0,22,33,06. 若数列 满足 ， ，则称数列 为“梦想数列”na10npa*,nNp为 非 零 常 数 na。已知正项数列 为“梦想数列” ，且 ，则 的最小值是（ nb9123b 892b）A2 B4 C6 D87. 已知函数 ，则 （ ）2(1)0)xxf1()fxdA B C D381232443128下列四种说法中， 命题“存在 ”的否定是“对于任意 ”；,0xR,0xR命题“ 且 为真”是“ 或 为真”的必要不充分条件；pqpq已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值等于 ；()f2(,)(4)f12已知向量 ， ，则向
3、量 在向量 方向上的投影是 .(3,4)a(2,1)bab25说法正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D49. 定义在 上的函数 满足： ， ， 是 的导函数，R()fx()()fxf06f()fxf则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为( ) ()5xxefeA B 0,03,UC D1,U10.已知函数 是定义域为 R的偶函数. 当 时，()yfx0x25(0)16()xf若关于 的方程 ， 有且仅有 6 个不同实数根，则实数2()()0fafxb,aR的取值范围是（ ）aA B59(,)24 9(,1)4C. D(,1)52二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25
4、分把答案填在答题卡中相应的横线上 ）11.在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，则通项公式 .na114a23 na12.已知函数 的图象如右图所示，则 ()si)(0fx(2)f13.函数 的单调增区间是 .2()1ln()f x14.已知 中的内角为 ，重心为 ，若ABC,ABCG， 则 .2sin3sisi0GcosB15.定义函数 ，其中 表示不小于 的最小整数，如 ，()fxxx152.当 ， 时，函数 的值域为 ，记集合 中元素的个50,n*N()fnAn数为 ，则 _na12na三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）16.
5、（本小题满分 12分）若二次函数 满足 ，且2() (,)fxabcR(1)(41fxfx.(0)3f（1)求 的解析式；（2)若在区间 上，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.1,()6fxm17.（本小题满分 12 分）已知递增等比数列 的前 项和为 ， ，且 .nanS1a321S（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，且 的前 项和 ，求证： .nb*2()nnNnbnT2n18 （本小题满分 12 分）已知向量 ， 3(si,)4ax(cos,1)x(1)当 时，求 的值；/b2in(2)设函数 ，已知在 中，内角 的对边分别为()fbABCBC、 、，c、 、若 ， ， ，
6、求 （ ）的取值范围.3a6si3()4cos(2)6fx0,3x19.（本小题满分 12分）北京、张家港 2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25 元，年销售 8 万件（1）据市场调查，若价格每提高 1 元，销售量将相应减少 2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 元公司拟投入 万作x21(60)x为技改费用，投入 50 万元作为固定宣传
7、费用，投入 万元作为浮动宣传费用试问：5当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于a原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价20.（本小题满分 13 分）已知函数 的导数为 ，且数列 满足69()lncos()2fxx()fxna. *136naN（1）若数列 是等差数列，求 的值；（2）当 时，求数列 的前 项和n1a21an；nS（3）若对任意 都有 成立，求 的取值范围.*,N214na1a21.（本小题满分 14 分）已知 , , ,其中 .)1ln()(xaf bxg2( )(1()xgfFRba,(1)若 与 的图像在交点 处的切线互相垂直,求
8、 的值；y(k(2)若 是函数 的一个极值点, 和 是 的两个零点,且 2x)(xF0x)， ,求 的值；0(,1)n*Nn(3)当 时,若 , 是 的两个极值点,当 时,求证:ab1x2)(12x.12()34lFx参考答案1.C. 2.C 3.A 4. C 5. C6.【解析】B 依题意可得 ，则数列 为等比数列。又 ，1nbqnb912350bb则 。 ，当且仅当 即该数列为常数列时取等号.502b892892504 897.B.8 【答案】A【解析】命题“存在 xR ，x 2-x0”的否定是“对于任意 xR ，x 2-x0” ，故不正确；命题“p 且 q 为真” ，则命题 p、q 均为
9、真，所以“p 或 q 为真” 反之“p或 q 为真” ，则 p、q 不见得都真，所以不一定有 “p 且 q 为真”所以命题“p且 q 为真”是“p 或 q 为真 ”的充分不必要条件，故命题 不正确；由幂函数 f（x）=x 的图象经过点（ 2， ） ，所以 2 ，所以 ，所以幂函数为 ，所以 ，所以命题正确；1212()fx1(4)f向量 在向量 方向上的投影是 ， 是 和 的夹角，故ab 5cosabab错误.9.【解析】A 解析：由题意可知不等式为 ，0xxef设所5 10xxxxxgefgffeffx 以函数 在定义域上单调递增，又因为 ，所以 的解集为0g0g10.【解析】依题意 在 和
10、 上递增，在 和 上递减，当()fx,2)(,(2,)(,)时，函数取得极大值 ；当 时，取得极小值 。要2x54x使关于 的方程 ， 有且只有 6 个2()()0fxafb,aR不同实数根，设 ，则 必有两个根 、 ，t2t 1t2则有两种情况符合题意：（1） ，且 ，此时 ，则 ；1542(,)t1at59(,)24a（2 ） ， ，此时同理可得 ，综上可得 的范围是0,t2(,)t 94a.故选答案 C.59(,)411.【解析】设 ，带入 ，解得 ，则 ， .1naq2134a2q1na*N12.【解析】依题意知 ， ，又过点 ，则令 ，得3(1,)342。故 .4(2)sin2)4f
11、13.【解析】函数的定义域为 ，又 ， 则增区间为 .(1,2()1xf (0,)14.【解析】 解析 ：设 为 角 所 对 的 边 ， 由 正 弦 定 理 得12,abc,ABC， 则30aGAbBcC233()GcGAB即 ，又因为 不共线，则 , 3B,2=0a,即 所以 ， .3=0bc2,abc,c23ba21coscb15定义函数 ，其中 表示不小于 的最小整数，如 ，()fxxx.5.当 ， 时，函数 的值域为 ，记集合 中元素的个数.5,n*N()fnAn为 ，则 _na12na【答案】【解析】易知：当 时，因为 ，所以 ，所以 ，所以0,1x1x1x；11,Aa当 时，因为
12、，所以 ，所以 ，所以2n,2x22,4；2,34当 时，因为 ，所以 ，所以 ，所以,33x36,9x；31,78,96Aa当 时，因为 ，所以 ，所以 ，所以4n,4x4x412,x；,315,10当 时，因为 ，所以 ，所以 ，所以5,xx50,x，51,478,96,23,4,1Aa由此类推： ，所以 ，所以 ，所以1na()na21()nn1221naa16【解析】 (1)由 得， . .(0)3fc2()3fxab又 ， ，(4fxx221()41axx即 ，21ab ， . .22()3fx(2) 等价于 ，即 在 上恒成立，()6fxm236xm27xm1,令 ，则 ， .2(
13、)7gin()(1)g17.【解析】 （1）设公比为 q，由题意：q1, a，则 2q，23a， ，23s)(221321 a则 解得： 或 （舍去） ，1n)(qq（2）1nnnb113.22.nT()nn又 在 上是单调递增的12nnT, 1nT18 【答案】 （2） 2162cos413Axf28()cosi5x解析：（1） 3/,sin0,ta4abx22 22ccon8cosini1t5xx（2） ()si()4fab+ 3由正弦定理得 2in,siniAAB可 得 所 以 或 43A 因为 ab，所以 4A 62cos4xf sin(2)x1, 0,3x12,42x,所以 c13A
14、xf 19.解：(1)设每件定价为 t 元，依题意得 t258，(8 t 251 0.2)整理得 t265t1 0000，解得 25t40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为 40 元(2)依题意知当 x25 时，不等式 ax25850 (x2600) x 有解，16 15等价于 x25 时，a x 有解150x 16 15由于 x2 10，当且仅当 ，即 x30 时等号成立，所以150x 16 150x 16x 150x x6a10.2.当该商品改革后的销售量 a 至少达到 10.2 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为 30 元.
15、20.解： ，则 ，故169()sin2fx()46f143na（1）若数列 是等差数列，则a .,1ddan由 得 ，解得：43n1()()d 152,a（2）由 得 两式相减，得*1.nN2147nna故数列 是首项为 ，公差为 4的等差数列数列 是首项为 ，公差为 421n1a2na2a的等差数列，由 所以2127,5,a得2,1.na为 奇 数为 偶 数当 ，n为 奇 数 时 1,3.nna212341()()()nnSa21(457)312715(4)nn当 为偶数时，nnaaS321 212341 3()()()75(41)n n （3）由（2）知， 12,naa为 奇 数为 偶
16、数当 为奇数时， 1,25.nna由22114847.naa得令 223()87(),fn解得2max1(1),4.ffa77.22aa或当 为偶数时，n113,.nn由2221146843.naa得令 227()83(),gn解得max1(),6a1aR综上， 的取值范围是177,).221.【答案】(1) ,1)(xaf bxg)(由题知 ,即 解得 )2(f1)4(2021a(2) = , 1)(xgfxFln2bxabxF)(由题知 ,即 解得 ,0)1(2F04ba6a1b , = 26ln)xx2(xFx)2(3 ,由 ,解得 ;由 ,解得0()0 在 上单调递增,在 单调递减, )(xF2(故 至多有两个零点,其中 ,102)x(,)又 =0, =6( -1)0, =6( -2)1,则 + +11, +4 0 2a2a4a又 1 则 与 随 的变化情况如下表: )(xFx(0,1) 1 (1, - )2a- 2a(- ,+)(x- 0 + 0 -F极小值 极大值| - |= 极大值 - 极小值 =F(- )F(1)= )+ 1, )(1x2)(xF)(2aln(2a412设 ,则14ln2aa 1)ln(, , ,)(40a 在(,4)上是增函数, =3-4 )(a)(n所以 . 12()34lnFx
