1、辽宁省大连市第二十高级中学 2015 届高三上学期期中考试数学(理)试题考试时间:120 分钟 试题分数:150 分 参考公式:球表面积公式 ,其中 为球的半径24SR圆柱的体积公式 ,其中 为底面积, 为高 VhSh第卷一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 设集合 , ,则 =( )021|xM2|log1NxMNA B C D, ), ),(2,12.复数 ( 为虚数单位)的虚部是( )321iA. B. C. D.515i15i153.“ ”是 “函数 的最小正周期为 ”的( ) a22cosinyaxA必要不
2、充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4.二项式 的展开式的第二项的系数为 ,则 的值为( )63()ax32axdA. B. C. 或 D. 或771035.已知 (,)2, 1tan()4,那么 cosin的值为( )A. 51 B. 57 C. 57 D. 46.已知 函数 是偶函数,则 的图象与 轴交点纵坐标的,0ba abxabxf )4()(2 )(xfy最小值为( )A. B. C.4 D. 16827已知等差数列 的公差 若 则该数列的前 项和 的最大值为( na0,d4628,10,aannS)A B C D50 5358.正四棱锥的顶点都在同一球面上
3、,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为 ( )A B C D 网 ZXXK2741698149.在等比数列 中, 是 的等差中项,公比 满足如下条件: ( 为原点)中,na789,aqABO, 为锐角,则公比 等于( )1,2,OqAA. B. C. D. 或 121210.设 满足约束条件 ,若目标函数 的最大值为 6,则xy、 360xy、 (0,)zaxby的最小值为( )46abA B C D2525350450311已知函数 与 图象上存在关于 轴对称的点,则 的取)(1xexf )ln(2axgya值范围是( )A. B. C. D. )1,(e),(e),1(e)
4、1,(e12.已知函数 ,下列结论中正确的个数是( )=cosin2fxx 既是奇函数,又是周期函数 的图像关于直线 对称f yfx2x 的最大值为 在 上是增函数fx439f,6A. B.2 C.3 D. 41第卷二填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分13.在 ABC中,若 ,则 ABC是 三角形.cosaAb14 外接圆的半径为 1,圆心为 ,且 , ,则 的值是O2+=0 |=| | _.15.某几何体三视图如图所示(正方形边长为 ) ,则该几何体的体积为 .16已知函数 ,在区间 内任取两个实数 ,且 ,若不等式2ln1fxax0,pq恒成立,则实数 的取值范围
5、为 .1fpqa三解答题:本大题共 6 题, 共 70 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分 12 分)已知向量 , ,且3cos,in2ax1cos,in2bx 3,2x(1)求 的取值范围;b(2)求函数 的最小值,并求此时 的值.()fxabx18. (本小题满分 12 分)设函数 2()cos2)cos.3fxx(1)求 的最大值,并写出使 取最大值时 的集合;)(xf(2)已知 中,角 对边分别为 若 ,求 的最小值.ABC,.,cba3(),42fBCbca19电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查
6、.右面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”.(1)根据已知条件完成下面的 2列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?非体育迷 体育迷 合计男女 10 55合计(2 )将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望 EX和方差 D.附:21212+-=n,Pk0.05 0.013.841 6.63520 (本题满分 12 分)已知数列 n
7、a的前 项和为 nS, ,且 ( ),数列 nb满足1a12nSn*N, ,对任意 ,都有 12b4*N212b(1)求数列 na、 b的通项公式;(2)令 ,若对任意的 ,不等式 恒成立,试求12nT *nN23nnTbSb实数 的取值范围21.(本题满分 12 分)已知函数 21()ln()fxaxa0x,其中 a为实数 (1)求函数 ()fx的单调区间;(2)若函数 ()0f对定义域内的任意 x恒成立,求实数 a的取值范围;(3)证明: 11ln()l(2)ln()()nmm,对于任意的正整数 ,mn成立.请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22
8、. (几何证明选讲) (本小题满分 10 分)如图,O 内切于 ABC 的边于 D,E,F,AB=AC ,连接 AD 交O 于点 H,直线 HF 交 BC 的延长线于点 G.(1)求证:圆心 O 在直线 AD 上;(2)求证:点 C 是线段 GD 的中点. 23.(极坐标与参数方程选讲) (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点 的极x A坐标为 ,直线的极坐标方程为 ,且点 在直线上.(2)4cos()4aA(1)求 的值及直线的直角坐标方程;a(2)圆 的参数方程为 ,( 为参数),试判断直线与圆的位置关系.C1csinxy24.
9、(不等式选讲) (本小题满分 10 分)设函数 1()|3|2fxx(1)求不等式 的解集; (2)若不等式 的解集非空,求实数 的取值范围.()fx)aa2014-2015 学年度上学期期中考试高三数学试卷答案(理)一、选择题1-5 CABBA 6-10ACDCD 11-12 BD二、填空题13. 等腰或直角 14. 3 15. 16. 828a三、解答题17.解:(1) 1cosx; ,2xbacos| 02ab(2) cos1x;3,2xbaf 2|)( 1cos2cos41cos22 xxx 当 ,即 或 时, 取最小值1cos2x3x4()fab318. 解:(1) )cs1()si
10、n23cscos)cs()(2 xxxf 1)3(1in2cos xxx要使 取最大值, )(f )(2,cos Zk故 的集合为 xZkx,6(2)由题意, ,即231)(2cos)( CBf .21)3cos(A化简得 , ,13cosA0Q, )5,A只有 , .在 中,由余弦定理,BC bcbca3)(3os222 由 知 ,即 ,当 时, 取最小值4bc4bca19解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中, “体育迷”有 25 人,从而 2列联表如下:非体育迷 体育迷 合计男 30 15 45女 45 10 55合计 75 25 100将 2列联表中的数据代入公式计算,
11、得 2 2121+-031-4510=3.7n因为 3.0.84,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2 )由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0. 25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 .由题意 13,XB:,从而 X的分布列为X0 1 2 3P76496413=4EXnp,13=-=DXnp. 20. 解答(1) , ( ),两式相减得, , 12naS1()2naS1()2nnaa ,即 ( ),又因为 , ,从而1()n1n 1a22 ( ),321132na 故数列 的通项公式 ( )na*N在数列 中,由 ,知数列 是等比数列,首项、公比均为 ,b
12、212nnbnb12数列 的通项公式 n(2) 21()()()2nnT 2311()n 由,得 ,231()()()2nnn 12n ,2nT不等式 即为 ,2(3)nnnbSb()3()()22nnn即 ( )恒成立2(1)()60*N方法一、设 ( ) ,21()6f*当 时, 恒成立,则 不满足条件;1当 时,由二次函数性质知不恒成立;当 时, 恒成立,则 满足条件1()340f43综上所述,实数 的取值范围是 ,方法二、也即 ( )恒成立,26n*N令 则 ,26()nf22611()1 24(6)0nf nn由 , 单调递增且大于 0, 单调递增74()06nf 4()13f实数
13、的取值范围是 ,321. 解:解析(1)因为2 (1)()1()() (0)axaxafx x 当 0a时,令 0f得 ; (0f得此时,函数 ()fx的增区间是 1.,减区间是 ,1 当 时,令 ()fx得 或 xa; ()0f得 1ax此时,函数 ()fx的增区间是 ,和 0,,减区间是 , 当 1a时, f对任意 x恒成立,此时,函数 ()fx的增区间是 ,,无减区间 当 时,令 ()0f得 xa或 1; ()0fx得 1xa此时,函数 ()fx的增区间是 ,和 ,,减区间是 ,a (4 分)(3)当 12a时, 211()ln0fxx(当且仅当 1x时等号成立)则 2lnx,当x时,此
14、不等式可以变形为 2l,分别令 1,3,mmn ,则 11l()ln(2)l(3)ln()mm()()2 1()所以 11ln()l(2)ln()()nmm . 22证明:(1) ,ABCFAEB,CFDBE又D,又 是 等 腰 三 角 形圆心 O 在直线 AD 上。是 的 角 分 线(2)连接 DF,由(I)知,DH 是O 的直径, 90, 90FHFHD 90GFHD又 OAC:与 相 切 于 点 AGCD点 C 是线段 GD 的中点。 23 解:(1)解:()由点 在直线 上,可得 (2,)4cos()4a2所以直线的方程可化为 cosin2从而直线的直角坐标方程为 0xy(2)由已知得圆 的直角坐标方程为 C2(1)y所以圆心为 ,半径 以为圆心到直线的距离 ,所以直线与圆相交 (10)r21d24 解:(1 ) 函数 ,方程 的根为 ,35 321() 35 12xfx()2fx13x2由函数 的图像知 的解集为 ()fx()f|3x或(2 )设 , 表示过点 ,斜率为 的直线, 的解集非空即12gagx(,02) a1()2fxa的图像在 图像下方有图像,或与 图像有交点,由图像可知 ()yfx() )gx347或