1、湖北省武汉华中师范大学第一附属中学 2015 届高三上学期期中考试数学（理）试题考试用时 120 分钟，满分 150 分。请把试题答案填写在答题卡相应的位置上。一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数 的实部是 ，虚部是 ，则 的值是（ ）(1)2zimnA B. C. D. 333ii2已知集合 ，则 为（ ）2|ln(9)ZBxyx， ABA B. C. D. 10， ， 10， ， ， ， 1， ， 102， ， ，3下列命题错误的是（ ）A命题“若2xy，则 xy”的逆否命题为“若 ,中至少有一个不
2、为 0，则20” B若命题 p：20,1R，则 p：2,10xRC 中， siniAB是 的充要条件D若 q为假命题，则 p、 q均为假命题由上表可得回归直线方程 ，据此模型预报身高为 的男生的体重大约0.56yxa172cm为（ ）A70.09 B70.12 C70.55 D71.05 kgkgkgkg5已知 1,yx，A 是曲线2xy与 围成的区域，若向区域 上随机投一点 P，则点 P 落入区域 A 的概率为（ ）A. 31B. 4C. 81D. 126已知函数 （其中 ） ，其部分()sin()fxxR，0A， ，图像如图所示，将 的图像纵坐标不变，横坐标变成原的 2 倍，再向右平移 1
3、 个单位得到 的图像，则函数 的解析式为（ ）ggA. B.()sin(1)2x()sin(1)8xC. D.igig7已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 4812168若 yx,满足条件,0532,6yx，当且仅当 3yx时， yaxz取最小值, 则实数 a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3,4,342,5,49若双曲线22(0)xya的左、右顶点分别为 ,AB，点 P是第一象限内双曲线上的点若直线 ,PAB的倾斜角分别为 ,，且 (1)k，那么 的值是（ ）A 21kB 2kC 2D 210函数 的定义域为 D,若对于任意 ,当 时都有
4、 ,则称()fx1,x1x12()fxf函数 在 D 上为非减函数 ,设函数 在0,1上为非减函数 ,且满足以下三个条件()f; ; ,则 等于（ ）(0)f1()()32ffx()fxf()38fA. B. C. 1 D. 44二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（一）必考题（11 14 题）11已知 b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式 61()x的展开式中的常数项是_ （用数字作答）12在 中， ， 与 交于点OABOBDAC21,4AC，设 = ， = ， 则 (用 , 表示)MabMab13若正数 满足 ，则 的最小值为 ,xy230xy14在平面直
5、角坐标系 中，已知点 在圆o(,)P内，动直线 过点 且交圆 于 两点，若22:48CmABPC,AB的面积的最大值为 ，则实数 的取值范围是 AB16m（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答.如果全选，则按第 15 题作答结果计分）15 （选修 ：几何证明选讲）如图， P为 AC外接圆 O的切线， D平分 ，交圆 O于 D，,CD共线若 BD,PB, 1，则圆 的半径是 16 （选修 4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程是1xty，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2的极坐标方程是sin()3，则两曲线交点间的距离是 三、
6、解答题：( 本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 （本小题满分 12 分）设角 CBA,是 的三个内角,已知向量 (sin,sin)mACBA，(sinsi),且 n.（）求角 的大小； （）若向量2(0,1(cos,)BtA,试求 st的取值范围18 （本小题满分 12 分）已知数列 na是等差数列， nb是等比数列，且 12ab， 45，12323b（）求数列 n和 的通项公式（）数列 c满足 na，求数列 nc的前 项和 nS20 （本小题满分 12 分）节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔
7、50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段 后得80,5),905)9,1)0,5)1,0)到如下图所示的频率分布直方图. （）此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法?（）求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.（）若从车速在 的车辆中任抽取 2 辆,求抽出80,9)的 2 辆车中车速在 的车辆数 的分布列及5数学期望.21 （本小题满分 13 分）已知椭圆 C 的离心率为 ，以原)0(12bayx21点 O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切06yx（）求椭圆 C 的标准方程（）若直线 L： 与椭圆 C 相
8、交于 A、B 两点，且mkxy 2abkOBA求证： 的面积为定值AB在椭圆上是否存在一点 P，使 为平行四边形，若存在，求出 的取OP值范围，若不存在说明理由.22 （本小题满分 14 分）已知函数 2lnbxaxf图象上一点 处的切线方程为 2ln3xy(2,)Pf（）求 ,的值；（）若方程 0mf在1,e内有两个不等实根，求 m的取值范围（其中 e为自然对数的底， 2.7） ；（）令 gxfnx，如果 g图象与 x轴交于 21210,xBA， AB中点为 ,0C，求证： 0华中师大一附中 20142015 学年度上学期期中检测高三数学（理）试题参考答案及评分标准三、解答题：(本大题共 6
9、 小题，共 75 分)17 （本小题满分 12 分）解： () 由题意得 ，0)sin(sinsi(in222 BACAm即 ，由正弦定理得 ，BCsiin22 abc22再由余弦定理得 ， .6 分1co22abc3,0C() ，)os,()s,(2AAts2 2coco3B41s(2)s113sinsin(2)146A ，676,20AA(2)6所以 ，故 .12 分154st25st18 （本小题满分 12 分）解：（）设 na的公差为 d， nb的公比为 q，由341bq，得35427，从而 3q，因此 ，又 1223618aab，2328， 16a，故 6 分n（） 4()nncb令
10、012217(5)()nT则 9 分313 33n n两式相减得12 7(6)3()2nnn 7(6)4nT，故nnS4T7(6)312 分19 （本小题满分 12 分）解：（I）当13t时， /PA平面 MQB证明：连 AC交 BQ于 N，连 由 /AQBC可得， ANQBC ，M12，所以 若13t，即 ， 13P/P，由 平面 P，故 /平面 6 分 （II）由 D， 为 的中点，则DD又平面 平面 ，所以 平面 ，连 ，四边形 为菱形，ABCABCABC， 由 得 为正三角形，又 为 的中点， 60Q，以 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立如图BQ,P,xyz所示的坐标系，则各
11、点坐标为 ， ， ，(1,)(03)(0,)(03)设平面 的法向量为 ，可得/nBnBAMNP，Mzyxn,令 z=1，解得 (3,01)，取平面 ABCD 的03zxy法向量 ，,QP设所求二面角为 ，而 为锐角，则 , |1cos2QPn故二面角 MBC的大小为 6012 分20 （本小题满分 12 分）解：（I）系统抽样 2 分 （II）众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 ， 97.5设图中虚线所对应的车速为 ,则中位数的估计值为 x,解得 0.15.20.45.6(95)0.x即中位数的估计值为 6 分 97均值 . 12 分864()01253E21 （本小题满分
12、13 分）解：（）由题意得， ， ，又 ，|06|32b12ca22bc联立解得 ， 椭圆的方程为 42yx.3 分24,3a（）设 )(1,yxA， )(2,B则 A,B 的坐标满足 mkxy132消去 y 化简得， 0148432mkx2218km， 13， 得 0342k212)()( xx= 22 3)443kk。，321xy，即 21214xyOABK2443kmkm即 3k222121 )4(38)()() kmxx = )43(82k243)(k。O 到直线 xy的距离 21kd1ABdSAOB2m21= 2243)1(k= 2243k= 为定值. 8 分（）若存在平行四边形 O
13、APB 使 P 在椭圆上，则 OBAP设 ),(0yxP，则 22108mx， 2210436kmy由于 P 在椭圆上，所以 340y，从而化简得 1)()(化简得 （1）2243mk由 知 2k （2）OABK解（1） （2）知无解，故不存在 P 在椭圆上的平行四边形. 13 分22 （本小题满分 14 分）解：（）2afxb，42afb， ln24fab432ab，且 ln2462lnab 解得 a2，b13 分 （） lfxx，令 ()hfxmx，则(1h，令 0，得 x1（x1 舍去） 在1,e内，当 x,)e时， hx，h(x)是增函数；当 x (时， 0h，h(x)是减函数则方程 0hx在1,e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e().h即 8 分21m由得02nx，120lnx即122lnx即12lnx令12xt，()l1tut（0t1)，则2(1)tu0 ()在 0t1 上增函数 ()10u，式不成立，与假设矛盾 gx 14 分
