1、（解析版）河北省唐山一中 2015 届高三上学期期中考试数学文【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)【题文】1.设集合2|1,|0xABx，则 AB等于（ ）A.|1x B.
2、 C. |1x D.|01x【知识点】集合的运算 A1【答案】 【解析】A 解析：因为集合 2Ax， ，所以 x，故选择 A.【思路点拨】先求得集合 A 与 B，在根据集合的交集运算求得集合 AB的值.【题文】2.若复数 ZRai(213， i是虚数单位）是纯虚数，则 Z 的值为（ ）A.2 B.3 C. 3 D. i2【知识点】复数的运算 L4【答案】 【解析】C 解析：复数化简可得：16235aiaiZ，为纯虚数需满足：60,23a，解得 6a，此时 3i，故选择 C.【思路点拨】复数为纯虚数的充要条件为：实部为零且虚部不为零.【题文】3.下列说法正确的是（ ） A.命题“ Rx使得 03
3、2x ”的否定是：“ 032,xRx” B.“ 1a”是“ )1,(log)(afa在 ),(上为增函数”的充要条件C.“ pq为真命题” 是“ qp为真命题”的必要不充分条件D.命题 p：“ 2csin,xx”，则 p 是真命题【知识点】充分必要条件的判断 命题的否定 A2 A3【答案】 【解析】B 解析：A.命题“ R使得 032x ”的否定是：“2,30xRx” ，所以错误；B.命题中“ )1,0(log)(axfa在 ),(上为增函数”成立的条件为 1a，所以正确；C.命题“ pq为真命题”能推出“ qp为真命题”，反之不成立，所以为充分不必要条件，所以错误；D. 命题 p：因为sin
4、c2sin24x，所以命题 P 为正命题， P 为加命题，所以错误；故选择 B. 【思路点拨】根据特称命题的否定为全称命题，以及充分必要条件的判断，原命题与否命题真假相反即可.【题文】4已知数列 na的前 项和为 nS，且满足 nnaa12， 354a，则 7S( )A7 B12 C14 D21【知识点】等差数列以及前 n 项和 D2【答案】 【解析】C 解析：根据 naa12可得数列为等差数列，因为 354a，所以可得534a，由等差数列的性质可知 53174，所以1772S，故选择 C.【思路点拨】根据已知式子 nnaa12可得数列为等差数列，根据等差数列的性质可得5317，由数列前 n
5、项和公式可求得.【题文】5.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图 1 所示,则该几何体的三视图为（ ）A B C D【知识点】三视图 G2【答案】 【解析】C 解析：解：从该几何体可以看出，正视图是一个矩形内有一斜向上的对角线；俯视图是一个矩形内有一斜向下的对角线，没有斜向上的对角线，故排除 B，D 项；侧视图是一个矩形内有一斜向下的对角线，且都是实线，因为没有看不到的轮廓线，故排除 A 项故选则 C【思路点拨】从该几何体可以看出：正视图是一个矩形内有一斜向上的对角线；俯视图是一个矩形内有一斜向下的对角线，没有斜向上的对角线；侧视图是一个矩形内有一斜向下的对角线，且都是实线【题文】6.如
6、果 )(xf是二次函数, 且 )(xf的图象开口向上,顶点坐标为(1, ), 那么曲线3)(fy上任一点的切线的倾斜角 的取值范围是 （ ） A3,0B)2,3C32,(D),【知识点】导数的几何意义 直线的倾斜角 B11 H1【答案】 【解析】B 解析：根据已知可得 fx，即曲线 )(xfy上任一点的切线的斜率tan3k，结合正切函数的图象，可知,)32，故选择 B.【思路点拨】由二次函数的图象可知最小值为 ，根据导数的几何意义可得切线的斜率 tan3，结合正切函数的图象求出角 的范围【题文】7.直线 l： 2xmy与圆 M：220xy相切，则 m的值为 ( )A.1 或6 B.1 或7 C
7、.1 或 7 D.1 或1【知识点】直线与圆 H4【答案】 【解析】B 解析：圆的方程为 22xy，圆心为 1,，半径为 2，由题意直线与圆相切，即 217mdm或，故选择 B.【思路点拨】直线与圆相切即圆心到直线的距离等于半径，列的关系式求解即可.【题文】8. 已知函数1()3xfa0,1a的图象过定点 P,且点 P 在直线10,mxnyn上，则14mn的最小值是 ( ) A.12 B.16 C.25 D.24【知识点】基本不等式 E8【答案】 【解析】C 解析：函数1()3xfa恒过的定点为 1,4，代入直线方程为： 41mn，所以14144.77265nmnm，当且仅当 即 时，等号成立
8、，故选择 C.【思路点拨】根据指数函数xya恒过 0,1，可得函数1()3xfa恒过的定点为 1,4，代入直线方程为： 41mn，所求为44.mn，在利用基本不等式求得.【题文】9. 在约束条件210xy 下，若目标函数 2zxy的最大值不超过 4，则实数 m的取值范围（ ）A. )3,( B. 3,0 C. 0,3 D. 3, 【知识点】简单的线性规划 E5【答案】 【解析】D 解析：有线性约束条件对应的可行域（如图阴影）：变形目标函数可得 2yxZ，解方程组210xym可得21mxy平移直线 2yx可知当直线经过点 A 目标函数取最大值，所以.4，解得 3，故选择 D.【思路点拨】根据已知
9、作出可行域，平移直线 2yx可知当直线经过点 A 时，目标函数取最大值，代入解不等式即可求得 m的范围.【题文】10. 已知 0，函数()sin)4fx在(,)上单调递减.则 的取值范围是（ ）A.15,24B.13,24C.10,2D (0,2【知识点】三角函数的图像与性质 C3【答案】 【解析】A 解析：采用排除法若59(),4x不合题意 排除 ()D，若351(),4x合题意 排除 ()BC另：22，3(,4242x得：315,4，【思路点拨】可采用排除法进行排除，另用三角函数的图像，结合整体思想求得.【题文】11.若 cba,均为单位向量， 2ba， byaxc ),(R，则 yx的最
10、大值是（ ）A 2 B. 3 C D. 1【知识点】平面向量的数量积 基本不等式 F3 E6【答案】 【解析】A 解析：因为 cba,均为单位向量，所以222. 1cxaybxy，整理可得223113xyxyx，即14，所以 的最大值是 2，故选择 A.【思路点拨】将向量 c进行平方，根据 cba,均为单位向量，可得22xy，在根据基本不等式求得2213xyxy，即可得 yx的最大值是 2.【题文】12. 设点 P在曲线12xe上，点 Q在曲线 ln(2)x上，则 PQ最小值为（ ）A.1ln2 B. (1ln2) C.1ln2 D. 2(1ln)【知识点】反函数 导数的应用 B12【答案】
11、【解析】B 解析：函数xye与函数 l()yx互为反函数，图象关于 yx对称 函数12xye上的点1(,)2xPe到直线 yx的距离为12ed，设函数minminl2() ()lggg， 由图象关于 yx对称得：Q最小值为 min(1ld.【思路点拨】根据函数 2xye与函数 ln(2)yx互为反函数，图象关于 yx对称，要求 PQ最小值，即求12xye到直线 的最小距离的 2 倍.【题文】二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)【题文】13. 在 ABC中， ,abc分别是内角 ,ABC的对边，若1,3bA， ABC的面积为32，则a的值为 .【知识点】余弦定理 C8【
12、答案】 【解析】 3解析：因为13sin2ABCSbc，所以可得 2c，由余弦定理可得22cosbcaA，代入可得 a，故答案为 .【思路点拨】由1sinABCS结合已知可求 c，然后利用余弦定理可得 a 的值.【题文】14. 已知矩形 ABCD 中，AB=2，AD=1，E、F 分别为 BC、CD 的中点，则 BDAFE)( .【知识点】向量的数量积 F3【答案】 【解析】 29解析：建立直角坐标系，则可得10,2,0,1AB，所以339(),.,162AEFBD，故答案为9.【思路点拨】建立坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算即可得出【题文】15. 把一个半径为 35cm 的金属球熔成一个
13、圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的 3 倍，则这个圆锥的高为 .【知识点】空间几何体的结构 G1【答案】 【解析】20cm 解析：设底面圆的半径为 r，侧面展开扇形的半径为 R，由题意得2Sr底 面 面 积 ，23Sr扇 形 底 面 面 积 ，2ll扇 形 弧 长 底 面 周 长 ，由21=3Slr扇 形，可得 3，即母线长为 r，所以这个圆锥的高为 23r，根据题意等体积可得：2145.3，解得 5，圆锥的高为 20r，故答案为 20cm.【思路点拨】根据圆锥的侧面积是底面积的 3 倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据金属球的体积等于圆锥体积即可求得圆锥底面圆的半径，从而得出这个圆锥的高【题文
14、】16. 函数 ()sinfx(0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点,设交点中横坐标的最大值为 ,则21= _ .【知识点】导数的应用 三角恒等变换 B12 C7【答案】 【解析】2 解析：函数 0fxsin（ ） （ ） 与直线有且只有三个交点，令切点为3()()2Asin， ， ，在3,2上， fxcos（ ） ， 所以sinco，即 tan，故221()si2(1)i cosit，故答案为 2.【思路点拨】先根据题意画图，然后令切点为3()()2Asin， ， ，在,上，根据切线的斜率等于切点处的导数建立等式关系，即可求出 ta， ，代入所求化简即可求出所求【题文】三解答题(本大题共
15、 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)【题文】17.(本小题满分 10 分 )已知向量 sin,1(x， b)sin,32(cosx，函数xbaxf2cos1)(.(1)求函数 f(x)的解析式及其单调递增区间；(2)当 x 3,0时，求函数 f(x)的值域【知识点】三角函数的图像与性质 C3【答案】 【解析】(1) )(32,6Zkk;(2) 0,21.解析：（） 21)6sin(cossico)(2xxf4 分单调递增区间是)(3,Zkk6 分（） 6526x1)sin(1.8 分02xf函数 f(x)的值域是 ,2112 分【思路点拨】(1)根据已知向量求得1(
16、)sin(2)6fxx，最后根据正弦函数的特征，求出其单调递增区间即可；(2)根据已知得到526x，然后求出函数的值域即可【题文】18.(本小题满分 12 分 )已知数列 na满足11,4nna,其中 N.(1)设21nba，求证：数列 nb是等差数列，并求出 n的通项公式 na；(2)设4nc，数列 2nc的前 项和为 nT,是否存在正整数 m,使得 1mTc对于 N*恒成立，若存在，求出 m的最小值，若不存在，请说明理由.【知识点】等差数列的定义 数列求和 不等式恒成立问题 D2 D4 【答案】 【解析】(1) na21;(2) 的最小值为 3.解析：（1）证明 2124141212 nn
17、nnnnn aaab所以数列 n是等差数列， ,1b，因此nbn2)1(2，由 a得 n. 6 分(2)cn, 21242nn,所以31Tn，10 分依题意要使 1mnc对于 *Nn恒成立，只需,34)1(m解得 3或 4，所以 的最小值为 312 分【思路点拨】由已知可得1122nnnba，根据等差数列的定义可证得数列 nb是等差数列，进而求得 n)(2，因为 1nab，所以可得 na21；由题意可得21nc，利用裂项相消求和可得32T，依题意要使1mT对于 *Nn恒成立，只需,34)(m解得不等式即可.【题文】19.(本小题满分 12 分 )设函数 1xxf（1）求函数 (xfy的最小值；
18、（2）若 27)af恒成立，求实数 a的取值范围【知识点】含绝对值不等式的解法 函数的图像 E2【答案】 【解析】(1) min()fx；(2) 1.解析：（）由题意得4,()2()3,3()xfxx，所以 ()fx在1,)2上单调递减，在1(,)2上单调递增，所以12x时， ()yf取得最小值，此时 min7 6 分 （注：画出函数 ()f的图像，得到 ()f的最小值也可以 ）（）由7()2agx的图像恒过点17(,)2及函数 ()yfx的图像可知 1a 12 分【思路点拨】利用零点分段法求得函数 )(xfy的解析式，根据函数的单调性求得最小值，令7g()2ax，可得图像恒过点17,2，要使
19、得 27)(axf恒成立，即函数 gx的图像恒在 f的下方，由图像可求得.【题文】20. (本小题满分 12 分) 如图所示， ABC和 E是边长为 2 的正三角形，且平面 平面 ，AD平面 BC， 32A.（1）证明： E；（2）求三棱锥 的体积.【知识点】线线垂直 三棱锥体积 G5 G7【答案】 【解析】(1)略；(2)1.解析：（1）证明：取 BC的中点为 F，连结 ,AEBD BCEA正三角形， F，又 平 面 平 面，且交线为 BC， 平 面 ，ABCDEFD平 面 ， ,F共面，又易知在正三角形中， ABC， FE 平面 ，又 平面故 EBC； 6 分（2）由（1）知 FDA，AB
20、CDEDABCFE所以有 ABFDFDABEABDVV所以 23*21sF，所以13SABFABD即 1EV 分【思路点拨】取 C的中点为 ，连结 ,AFEBD，只需证得 B平面 AE，即可证得 C；因为 AD平 面 ，所以1*31SVABFBFD.【题文】21.（本小题满分 12 分)己知函数 xaxf3)(23（1）若 31x是 (xf的极值点，求 f在 ,1上的最大值；（2）在（1）的条件下，是否存在实数 b，使得函数 bxg)(的图象与函数 )(xf的图象恰有 3 个交点，若存在，请求出实数 b 的取值范围；若不存在，试说明理由.【知识点】导数的应用 B12【答案】 【解析】(1)-6
21、；(2) 7且 3.解析：（1）0)31(f，即xxfa34)(,4,0223令212)8,3fxx，则x 1 (1,3) 3 (3,4) 4()f_ 0 +-6 -18 -12)(xf在1，4上最大值 6)1(f6 分（2）函数 gbx的图象与 x图象恰有 3 个交点，即 bxx3423恰有 3 个不等实根，0323，其中 是其中一个根x，有两个不等零的不等实根. 7b且 12 分【思路点拨】 （1）根据 31x是 )(xf的极值点，可得0)31(f，求得 a4，由导函数可得函数在区间 ,3上单调减，在 ,4上单调增，且 14f，所以最大值为 6f；（2）根据题意可得bxx42恰有 3 个不
22、等实根，等价于 2xb，有两个不等零的不等实根，进行求解.164(),b【题文】22. (本小题满分 12 分) )()(, xgFxfD上，则称 )(xF为 f与 )(xg在 D上的一个“分界函数”.如210,1xxe上，则称2(1) 0,xyeyyx上一个“分界函数” 。（1）求证： cos是21x和241在 ,上的一个“分界函数” ；（2）若 2)(3axf和 xegxcos)(2在 0,1上一定存在一个“分界函数” ，试确定实数 a的取值范围。【知识点】导数的应用 B12【答案】 【解析】(1)略；(2) 3a.解析：(1)记21()coshxx， 0,则 in，记 ()sinGx，(
23、)cos10Gx ()Gx在 0,1上是增函数，则 ， h在 ,上是增函数h， 0,1x时，2s.记21()cos4x， ,则 inx，记()sin2xH，1()cos02Hxx ()Hx在 0,1上是增函数，则 0， 在 ,上是增函数， 0,1x时，2cos14x综上所述， ,时，22.6 分(2)要使 ()fx， g间一定存在“分界函数” ，则 0,1x时， ()fxg恒成立.由已知， ,12xex241cos)()()( 3axfxgaxx)1241213 3a时， ()fg在 0,上恒成立.下证 3a时， ()fxg在 0,1上不恒成立.由已知,1(2e 2cosx)1() 32axf
24、xg )12()1(23axxx232 cos1()1()3xaxxa记2()()x必存在 0(,1)x使 0(x必存在 0,1)使 0gf，则 时， )(fgx在 0,1上不恒成立.综上， 3a. 12 分【思路点拨】根据题意即证22cos14xx在 0,上恒成立，令21()coshxx，21()cos4x，只需证明 ()h， ()在 ,1上恒成立，因为()in在0,上恒大于等于零，所以 x在 0,1上是增函数，故 ()0hx，因为 s2x，记()sin2Hxx，()cos2H H在 ,上是增函数，则 ()0H，在 ,1上是增函数 ，故证得；要使 ()f， g间一定存在“分界函数” ，则0,x时， ()fxg恒成立，即)12(cos1)( 32axxexfg，因为,1)(2e241cosx，所以3()()(3)gf ax， 3a时， )xg在 0,上恒成立，在证得 时， ()fgx在 0,1上不恒成立，即可.
