1、2016 届黑龙江省牡丹江市一中高三上学期期中考试数学（文）试题及解析一、选择题1已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范|20Ax|BxaABa围是（ ）A B C D(,2,)(,22,)【答案】D【解析】试题分析：根据 可以断定 ，结合数轴，可以确定出 ，AABa所以所求的实数 的取值范围是 ，故选 Da2,)【考点】集合的运算2下列说法错误的是 （ ）A命题“若 0，则 b”的否命题是：“若 0a，则 b”B如果命题“ p”与命题“ p或 q”都是真命题，那么命题 q一定是真命题C若命题 ： 2,10xR，则 2:,1xR；D “ 1sin”是“ 3”的充分不必要条件【答案】D【解析】试
2、题分析：根据命题的否命题的形式为条件和结论同时否定，所以 A 是正确的，根据复合命题的真值表，可以确定 B 项是正确的，根据特称命题的否定形式，可知 C 是正确的，因为“ 1sin2”是“ 30”的必要不充分条件，可知 D 是错误的，故选 D【考点】逻辑3设 为等差数列 的前 n 项和， ， ，则 （ ）nSa834Sa729aA B C D264【答案】A【解析】试题分析：根据等差数列的求和公式和通项公式，可知，求得 ，所以有 ，故选 A1182()6ad2d976ad【考点】等差数列4若平面向量 a， b满足 ， b， ，则 a与 b的夹角是 （ ）A 512 B 3 C 16 D 14【
3、答案】D【解析】试题分析：根据 可得 ，即 ，所以有()ab()0ab20ab试卷第 2 页，总 14 页，从而有 ，所以所求的夹角为 ，故选 D2ab 2cos,ab 4【考点】向量垂直的条件，向量的夹角5设 为两条不同的直线， 为两个不同的平面下列命题中，正确的是（ ,mn,）A若 与 所成的角相等，则,/mnB若 ， ，则/C若 ， ，则 mD若 ， ，则/n/n【答案】C【解析】试题分析：因为圆锥的所有母线都与底面成等角，所以 A 错，如果两个平面互相垂直，平行于其中一个平面的直线与另一个平面可以成任意角，故 B 错，D 项当中的直线可以成任意角，故 D 错，根据一个平面经过另一个平面
4、的垂直，则两面垂直，故 C 对，故选 C【考点】空间关系的考查6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A6 B8 C10 D12【答案】D【解析】试题分析：根据题中所给的三视图，可以还原几何体，为一个长方体一面突出，一面下凹，所以可以将突出的补到缺的地方，所以该几何体的体积就是长方体的体积，长宽高分别是 ，所以其体积为 ，故选 D2,3231【考点】根据几何体的三视图求几何体的体积7已知函数 ，若数列 满足 且7,6xaf na*Nnfn是递增数列，则实数 的取值范围是naA B C D3,493,493,23,2【答案】D【解析】试题分析：根据题意，有 ，解得 ，所以实数863
5、01()7a23a的取值范围是 ，故选 Da(2,3)【考点】分段函数的单调性，数列是递增数列的条件【方法点睛】该题考查的是有关分段函数是单调函数的条件，属于中等题目，在解题的过程中，抓住函数单调的条件，分段函数要想单调增，必须满足在每一段上单调增，且接口处不减，根据这些条件，列出参数所满足的不等式组，最后求得结果，一定要注意接口处的条件，这个是最容易忽略的8函数 1()ln)fxx（ 的图象是（ ）【答案】B【解析】试题分析：根据 可得 或 ，所以排除 A、D 两项，因10x0x1为 随着 的增大而增大，故函数在相应的区间上是增函数，故选 B1x【考点】函数图像的选择9若函数 在一个周期内的
6、图象如图所示，sinyAx0,2M，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且 ，则 （ ）0OMNAA B C D76712673【答案】A【解析】试题分析：根据图中的信息，可知 ，所以 ，24()1T2，结合 ，所以有 ，即7(,)(,)12MAN0OMN270A试卷第 4 页，总 14 页，所以有 ，故选 A712A76A【考点】根据图像求解析式，向量垂直的条件10已知定义在实数集 R 的函数 满足 ,且 导函数 ，则不()fx14f()fx()3fx等式 的解集为（ ）(ln)3l1fxA B C D1,(,)e(0,)(0,)e【答案】D【解析】试题分析：令 ，不等式即为 ，即lnxu(
7、)31fu，而 ，所以不等()310huf()0,()0hfhf式 的解为 ，即 ，解得 ，所以原不等式的解集l1xxe为 ，故选 D(0,)e【考点】利用导数研究函数的单调性，构造新函数11已知函数 , 分别为 的内角 所对的边，且cosfxabABC,，则下列不等式一定成立的是（ ） 223ab4A BsincsffsincosffC DiAB【答案】B【解析】试题分析：根据题意有 2222(34)cosabcababC，所以有 ，从而有 ，从而有 ，而两2()0ab22ABsincoAB角各自的正弦值和余弦值的大小是不确定的，再根据函数在区间 上是单调减的，0,1故有 ，故选 Bsinc
8、osfAf【考点】余弦定理，诱导公式，函数值比较大小【方法点睛】该题考查的是有关函数值比较大小问题，属于较难题目，在解题的过程中，关键是根据题的条件，利用余弦定理求得 ，从而确定出cosC2()0ab，结合三角形内角和得出 ，得出 ,根据正弦函数的单调性2C2ABAB和诱导公式可知 ，再结合余弦函数的单调性，从而确定出函数值的大小，sinco从而选出正确结果二、填空题12已知函数 ，若存在实数 ， ， ， ，满足24log,0215xfxabcd，其中 ，则 的取值范围是 fafbfcfd0cbA B C D(16,2)16,24(17,2)(18,24)【答案】B【解析】试题分析：如图所示，
9、由图易知 ，则 ，0,ab2()logfa，因为 ，所以 ，所以 ，令2()4logfb()fab22logl1b，即 ，2150x214x解得 或 ，而二次函数 的图像的对称轴为直线 ，由6251yx 5x图像知， ，4c点 和点 均在二次函数 的图像上，故有 ，(,)f(,)df 2083x2cd所以 ，所以 ，10 21(1)1abcdcc(5)因为 ，所以 ，即 ，故选 B24c26(5)464abd【考点】数形结合思想的应用【思路点睛】该题考查分段函数、二次函数图像、对数函数图像、二次函数求最值等基础知识，意在考查运用数形结合思想的能力和转化与化归思想及运算求解能力，在解题的过程中，
10、将函数图像画出以后，画一条平行于 轴的直线与函数图像交于四个x点，按照大小顺序一标，根据对数式的运算性质，可知 ，根据二次函数图像的1ab对称性，可以确定 ，并且可以确定 ，根据这些条件，得出52cd24cabcd，最后将问题转化为一个二次函数在某个给定区间上的值域问题来求2(5)c解13已知 3)6os(x，则 )3cos(x 【答案】 1试卷第 6 页，总 14 页【解析】试题分析： 13cos()cossin32xxx3cosin()26x()1【考点】利用两角差的余弦公式、辅助角公式对三角式子求值14数列 满足： ， ， 表示 前 n 项之积，则 na131nanAa2013A【答案】
11、 【解析】试题分析：根据 可得 ，又 ，可以求得1na1nna13a， ， ，所以数列 是以 为周期的周期数列，且23a1243n3， ，所以 10671671201()A【考点】数列的递推公式，周期数列【方法点睛】该题考查的是有关数列的递推公式的问题，属于中等题目，在解题的过程中，将 转化为 ，结合题中所给的首项 ，根据式子，1na1nna 12a写出数列的前几项，在写的过程中，可以发现规律，数列为周期数列，最后将 转2013A化为 ，很简单就能求得结果，再者需要注意数列的周期性的推导过程6713()A15给出下列命题：函数 4cos23fxx的一个对称中心为 5,012；若 ,为第一象限角
12、，且 ，则 tant；若 ab，则存在实数 ，使得 b；在 ABC中，内角 ,所对的边分别为 ,c，若 25,0,4Bba，则必有两解函数 sin2yx的图象向左平移 4个单位长度，得到 sinyx的图象其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上） 【答案】【解析】试题分析：因为 52()132，且 cos()0，所以 5(,0)12是函数 4cos23fxx的一个对称中心，所以是正确的，因为 136，但是 13tant6，所以是错误的，当 ab，所以有两个向量是反向的，即是共线向量，所以一定存在实数 ，使得 ，故是正确的，因为40si2540，所以 ABC必有两解，所以是正确的，函数
13、sin2yx的图象向左平移 8个单位长度，得到 sin24yx的图象，所以是正确的，故答案为【考点】三角函数的性质的综合应用，三角形解的个数，向量的关系【易错点睛】该题属于选择题性质的填空题，考查的知识点比较多，属于较难题目，在解题的过程中，需要对每个命题所涉及的知识点掌握的比较熟练，容易出错的地方是需要把握三角形解的个数的判定方法，以及图像变换中涉及到左右平移时移动的量那是自变量本身的变化量，以及三角函数在各象限内是不具备单调性的16如图，在 中， ， ，点 D 在线段 AC 上，且ABC3sin22AB， ，则 2D43【答案】 3【解析】试题分析：根据 可知 ，3sin2ABC21cos
14、1sin3ABCABC再结合 可知 ，所以有 ，即有2AD122()3D，解得 2330BC3【考点】向量的线性表示，向量的平方与模的平方的关系，向量的数量积【思路点睛】该题考查的是有关解三角形问题，在解题的过程中夹杂着向量的问题，属于较难题目，在解题的过程中，一是根据 利用倍角公式求得3sin2ABC，再根据 ，将 用 线性表示，即1cos3ABC2AD,，利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，结合题意，求得2D结果试卷第 8 页，总 14 页三、解答题17若 是公差不为 0 的等差数列 的前 n 项和，且 成等比数列，nSa124,S24（1）求数列 的通项公式；na（2）设 ， 是数列
15、 的前 n 项和，求使得 对所有 都成13nbnTb20nmTnN立的最小正整数 m【答案】 （1） ；（2） na30【解析】试题分析：第一问根据条件中数列为等差数列，设出等差数列的首项和公差，根据题中的条件，建立关于等差数列的首项和公差的等量关系式，从而求得结果，利用等差数列的通项公式求得数列的通项公式，第二问利用第一问的结果，先写出，利用裂项相消法求得数列 的前 项31212nbnnnb和，根据条件，得出相应的不等式，转化为最值来处理，从而求得结果试题解析：（1）因为 为等差数列，设 的首项为 ，公差为 ，所nana1d0以又因为 成等比数列，所以12141,6SadSd124,S所以
16、246a 1a因为公差 不等于 ，所以 又因为 ，所以 ，所以021,2ad21na（2）因为 ，3122nbnn所以 1351nT 3132nT要使 对所有 都成立，则有 ，即 因为 ，所以20nmnN20m0mN的最小值为 30【考点】等差数列，裂项相消法求和，恒成立问题18等差数列 中， ， （ ） ， 是数列 的前 n 项和na121na*nNnSna（1）求 ；（2）设数列 满足 （ ） ，求 的前S， b2112nba *Nb项和 nnT【答案】 （） ， ；（2） ；21nanS23nnT【解析】试题分析：第一问设出等差数列的公差，利用等差数列的通项公式，结合题中所给的条件，建立
17、其公差所满足的等量关系式，从而求得公差的值，在等差数列的首项和公差都已知的条件下，求得其通项与前 项和，第二问结合题中所给的和式，类比着写出当 时数列所满足的式子，将两式相减，可以得出2n，从而求得 ，再验证当 时是否满足条件，11()2n nb 21nb1n最后得出数列 的通项公式，再利用错位相减法求得其和n试题解析：（1）设 的公差为 ，由 知，ad21na，11 1(2)2()andn ， ； nnS（2）由 ，可知 ， ，1212nnbbaa 12ba1b当 时， ，n12 111,3 ()232nnnnnbb 当 时，也符合 ，综上， （ ） ， 111anb*N ， 121 123
18、131, 22nnnn nTT ，12 21 132nnnnnnnT 23n即 23nn【考点】等差数列，数列的递推公式，错位相减法对数列求和19已知函数 （1）当 时，22sinco3sincofxxx0,2x求 的值域；（2）若ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 ，且满足 ，f ,abc3a，求 的值sincosACf【答案】 （1） ；（2） ,1【解析】试题分析：第一问利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，得到，再结合题中所给的自变量的取值范围，将整体角 的取()sin()6fx 26x试卷第 10 页，总 14 页值范围确定好，即 ，结合正弦函数的性质，从而确定好72,6x，
19、进一步求得函数的值域；第二问利用角的拆分和和角公式，1sin,x得出 ，利用正弦定理得出三角形边的关系，再利用余弦定理求得 的2sinCA A余弦值，进而求得角的大小，再进一步求得 的大小，利用三角形内角和求得 的大CB小，最后代入函数解析式求得函数值试题解析：（1）因为 2223sinco3sincofxxx23sini1xicosin6x因为 ，所以 ， ，所以0,2x7,1sin2,62x1,f（2）由题意可得 ，sin2sinicosACAC有 sincocoi A化简可得： i2s由正弦定理得， 因为 ，所以由余弦定理的，a3ba，2224cosbcA可解得 ，所以,63B1fB【考
20、点】倍角公式，辅助角公式，和角公式，正余弦定理【思路点睛】该题属于三角问题的综合题，属于中等题目，在解决该类问题时，关键是利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，之后利用整体角的思维，结合三角函数的性质，来解决某个区间上的函数的最值问题，结合角的配凑，根据和角公式，可以确定好 ，利用正弦定理，得出边的关系，再有 ，利用余弦sin2iCA 3ba定理求得 ，结合三角形内角的取值范围，求得角 的大小，从而求得3co A，代入函数解析式求得结果3B20如图，四棱锥 中， ，四边形 是边长为 的CABED4,3BCBED13正方形，若 分别是线段 的中点,GF,（1）求证： 底面 ；GFABC（2）若
21、点 为线段 的中点，求三角形 的面积PDGFP【答案】 （1）证明详见解析， （2） 34【解析】试题分析：第一问根据线面平行的判定定理，结合三角形的中位线的性质，在平面 内找到 的平行线 ，根据线面平行的判定ABCAC定理将过程写完，第二问根据题意求得三角形三条边的长度，根据余弦定理求得的余弦，确定角的大小，求得角的正弦值，应用三角形的面积公式求得结果FPG试题解析：（1） 为 的中位线，FE/GF平面 平面 ， 平面BB（2）连接 ，由（1）知： ，, 12A同理可得： ， ，32PFC3PDE，2cosG1FG1sin2PFGSPA 34【考点】线面平行的判定，余弦定理，三角形面积公式2
22、1已知 （1）求函数 的单调区间；l()xfyfx（2）若关于 的方程 有实数解,求实数 的取值范围；2()fkk（3）当 时,求证： *nN11()23nf n【答案】 （1）单增区间为（0,1） ，单减区间为 ；（2） ；（3）证明详见(,)k解析【解析】试题分析：第一问根据导数的应用，对函数求导，确定出在相应的区间上导数的符号，进一步确定好函数的单调区间，一定要注意定义域优先，首先保证函数的生存权，第二问结合第一问知道函数 在 处取得极大值，也是最大值，而函()fx1数 在 处取得最小值，从而求得等价结果是 ，从而确定出2yxk1x1k最后结果，第三问结合函数的单调性，将问题转化，从而证
23、得结果试卷第 12 页，总 14 页试题解析：（1） 221(ln)1lnl(),()xxxff当 时, ；当 时, ；(0)x0()0f函数 在区间 上为增函数；在区间 为减函数f(,1)1（2）由（1）得 的极大值为 ,令 ,fx()f2()gxk所以当 时,函数 取得最小值 ,()gk又因为方程 有实数解,那么 ,即 ,2fxk12k所以实数 的取值范围是： k（3）函数 在区间 为减函数,而 ,()f(1)*(,)nN ,即11(,lnfn1l)ll2l32l(23n 即 ,而 ,11n )lnf 结论成立 ()23nf【考点】导数的应用，数形结合思想，等价转化22选修 4-4：坐标系
24、与参数方程在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标xOyx系已知直线 ，曲线 （ 是参数） :4cosin250l2:1tWy求直线 的直角坐标方程与曲线 的普通方程；若点 P 在直线 上，Q 在曲线 上，求 的最小值l PQ【答案】 （1）直线 ： ，曲线 ： ；（2） l4250xy14yx817【解析】试题分析：第一问根据极坐标和平面直角坐标的转换关系，将直线的极坐标方程转化为平面直角坐标方程，将曲线的参数方程消参，可以将其化成普通方程，第二问的问题是直线上的点与抛物线上的点的距离的最值问题，结合图形的特点，可以借助参数方程表示出抛物线上的点，应用点到直线的距
25、离公式，将其转化为关于某个量的函数，最后求相应的函数的最小值即可，也可以借助于与直线平行的抛物线的切线对应的切点为取最值时对应的点，从而求得结果试题解析：（1）由 消去 t 得 2:1xtWy214yx因为 ，由直角坐标与极坐标的转化公式可得:4cosin50l4250xy所以直线 的直角坐标方程为 ，曲线 的普通方程为 l4250xyW214yx（2）依题意，点 ，2,1Qt所以点 到直线 的距离为 =l2281784tt，217174t当且仅当 t=4 时取等号，所以 的最小值为 PQ817【考点】极坐标与平面直角坐标的转化，参数方程与普通方程的转化，曲线上的点与直线上的点的距离的最值，等
26、价转化的思想的应用【一题多解】该题属于选修部分的题目，属于中等题目，在这里考查的知识点有极坐标方程和平面直角坐标方程的转化，参数方程与普通方程的转化，以及曲线上的动点与直线山的动点联系的距离的最值问题，在求解的过程中，只要明确极坐标与平面直角坐标的转化关系，以及参数方程与普通方程的转化关系即可，而在求最小距离的时候可以借助于曲线的参数方程设出点的坐标，应用点到直线的距离公式，之后转化为关于某个量的函数最值来处理，也可以结合曲线的图形，当直线与曲线相离时，取最值时即为与直线平行的切线对应的切点取得结果23选修 4-5：不等式证明选讲已知 ()21fxx（1）解不等式 ()7f ；（2）若关于 x
27、的不等式 2fxa对任意的 xR恒成立，求 a的取值范围【答案】 （1） (,43,)；（2） 3(1,)【解析】试题分析：第一问利用零点分段法解绝对值不等式即可，在解题的过程中，利用对应的零点 将将实数集分成三段，去掉绝对值符号求得结果，第二问将恒成2,立问题转化为函数的最值问题来解决，而求函数的最值时应用绝对值不等式的性质，求得结果，最后转化为关于 的一元二次不等式来处理a试题解析：（1）当 时 由 ()7fx 解得x()1)(21fxx4x当 时， ()()37f 不成立2当 时， 121xx 解得 x1综上，有 的解集是 (,4,)()5f试卷第 14 页，总 14 页（2）因为 ，所以 的最小值为 12(1)23xx()fx3要使得关于 的不等式 fa对任意的 恒成立，只需 2a，解R得 32a,故 的取值范围是 (1,)【考点】利用零点分段法解绝对值不等式，恒成立问题的转化
