1、（解析版）河北省唐山一中2015届高三上学期期中考试数学理）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【题文】1已知集合 A=x|y= 2， B=y|y= x2，则 A B
2、= （ ） A B R C(-，2 D0，2【知识点】集合的运算A1【答案】 【解析】D解析：集合 20xy， ，所以 02x，故选择D.【思路点拨】先求得集合A与 B，在根据集合的交集运算求得集合 AB的值.【题文】2 “ 2a”是“1(0,)8ax”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】充分必要条件 恒成立问题 A2 【答案】 【解析】A解析：由1(0,)8xax，可得 218ax在 0恒成立，即2max18a，令1t可得224tt，即 2a，所以“”是“(0,)8x”的充分不必要条件，故选择A.【思路点拨】根据1(,)xa转化为2max18
3、a，求得 2，即可得到“ 2a”是“1(0,)8xa”的充分不必要条件.【题文】3已知i是虚数单位， 123izi，102z()i， 2,z在复平面上对应的点分别为,ABO为坐标原点，则 OBA= （ ） A33 B-33 C32 D-32f(r(x)f(r(x)【知识点】复数的运算L4【答案】 【解析】A解析：由 123izi得 132iz，所以 1,OA，同理52132zii，所以 1,32OB，所以 1,.323OAB故选择A.【思路点拨】先求出z1，z2 ，确定出A ，B的坐标，从而得出的坐标，利用数量积的坐标表示求得结果【题文】4. 已知实数 1,9x，执行如右图所示的流程图，则输出
4、的x不小于55的概率为（ ）A.58B.3C.2D. 【知识点】程序框图 几何概型 L1 K3【答案】 【解析】B解析：设实数 1,9x，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1 ，n=3经过第三次循环得到x=22（2x+1）+1+1，n=3 此时输出x输出的值为8x+7令8x+755，得x6由几何概型得到输出的x不小于55的概率为=96318，故选择B.【思路点拨】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于55得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率【题文】5在各项均为正数的等比数
5、列 na，若 12()mma，数列 na的前 项积为 nT，若 215mT，则 的值为A4B5 C6 D7【知识点】等比数列的性质 D3【答案】 【解析】B解析：由 12()mma，以及等比中项可得2ma，即20ma或 舍，所以92-T=5，解得 5，故选择B.【思路点拨】由已知结合等比中项可得 0ma或 舍 ，再由21-T=m，求得结果.【题文】6已知点P是ABC的内心（三个内角平分线交点） 、外心（三条边的中垂线交点） 、重心（三条中线交点） 、垂心（三个高的交点）之一，且满足 2AP2BCA，则点P一定是ABC的（ ）A内心 B外心 C重心 D垂心【知识点】平面向量的线性运算F1【答案】
6、 【解析】B解析：设D为BC的中点，可得 2ACDB，所以2 .2. 2APBCACBABDCA，即 .0AP，即 DAP，结合D为BC的中点，可得P 在BC的垂直平分线上又点P是ABC的内心、外心、重心和垂心之一结合三角形外接圆的性质，得点P是ABC的外心，故选择B.【思路点拨】：设D为BC的中点，可得 2， 根据向量数量积的运算性质，得到2 .2.ABCACBABDCA，即 .0AP，可求得.【题文】7对于函数3cos6fxx，下列说法正确的是 （ ） A. fx是奇函数且在（6，）上递减 B. f是奇函数且在（ 6，）上递增C. f是偶函数且在（0，）上递减 D. fx是偶函数且在（0，
7、）上递增【知识点】函数的奇偶性以及单调性 B3 B4【答案】 【解析】C解析：33cossin2fx， 33sininfx fx，所以为偶函数，排除A,B，因为2icofx，当0,6时， 0f，所以在区间0,6上递减，故选择C.【思路点拨】根据函数 ffx可得函数为偶函数，函数求导可得23sincos3fxx， ，当0,6时， 0fx即可得到.【题文】8一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图（如图所示） ，则余下部分的几何体的表面积为 A5321 B52321C D【知识点】三视图 圆锥 G2 G7【答案】 【解析】A解析：由三视图求得，圆锥母线 2516l，圆锥
8、的高 251h，圆锥底面半径为 2rlh，截去的底面弧的圆心角为直角，截去的弧长是底面圆周的 4，圆锥侧面剩余34， 133642S，底面剩余部分为22313214Sr，另外截面三角形面积为 3125S，所以余下部分的几何体的表面积为 1351S，故选择A.【思路点拨】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径余下部分的几何体的表面积应为剩余的圆锥侧面，圆锥底面，截面三角形三部分面积之和【题文】9.若直线 1kxy与圆 042mykx交于 NM,两点,且 ,关于直线 0yx对称,动点P ba,在不等式组0y表示的平面区域内部及边界上运动，则21bwa的取值范围是（ ）A ),2B 2,(C ,D ),
9、2,(【知识点】简单线性规划的应用 不等式的解法及应用 直线与圆E1 E4 H4【答案】 【解析】D解析：由题意，得直线 1ykx垂直于直线 0xy， 1k，即直线为1yx，又 圆心12km（ ， ）在直线 0上， m 因此，题中不等式组为：0xy作出不等式组表示的平面区域，如图所示，设 12QPab（ ， ） ， （ ， ） 为区域内的动点，可得21bwa表示直线 PQ的斜率运动点P，可得当P 与原点重合时， PQk为斜率在正数范围内的最小值；当 0A与 （ ， ） 重合时， 2P为斜率在负数范围内的最大值得 2PQPk或 ，21bwa的取值范围是 ),2,(，故选择D.【思路点拨】根据已知
10、条件结合圆的性质求出 km， 的值，再根据条件画出如图可行域 表示1QPab（ ， ） 与 （ ， ）连线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求 P斜率的最值，即可得到的取值范围【题文】10已知是抛物线24xy上的一个动点，则点到直线 1:4370lxy和 2:0ly的距离之和的最小值是（ ）1 2 3 4【知识点】抛物线的性质H7【答案】 【解析】C解析：由P是抛物线24xy上的动点，设点 P的坐标为214a（ ， ） ，所以点到直线1:4370lxy的距离为 1375ad，到直线 2:0ly的距离为2da，由此可得两个距离之和为 22222212 314174735455adaaaa（ ） （
11、） ，所以可得最小值为3，故选择C.【思路点拨】根据题意设点P的坐标为2（ ， ） ，分别求出点到直线 1:0lxy和2:0ly的距离为 1d和 2，求得 12d为关于a的一元二次函数，进而求得最值.【题文】11.函数的13)(xaxf图像经过四个象限，则实数 a的取值范围是( ) 6.51Aa6.5B3.16Ca3.16Da【知识点】导数的应用 B12【答案】 【解析】D解析：因为 2 2fxx（ ） （ ），若 0a，则当21010xf f或 时 ， ， 当 时 ， ，要满足图像经过四个象限，只需06513fa，若 ，则当2xfxxfx 或 时 ， ， 当 时 ， ，要满足图像经过四个象限
12、，只需210f无解，所以6513a，故选择D.【思路点拨】先求导函数，利用导数求函数的单调区间，进而得到函数的最值，要满足图像经过四个象限，只需满足最值异号可以求解.【题文】12.已知 ab，若函数 ,fxg满足 bbaafxdgx，则称 ,fxg为区间,ab上的一组“等积分”函数，给出四组函数： 2,1fxgx； sin,cosfxx； 231,4； 函数 ,fxg分别是定义在 1,上的奇函数且积分值存在其中为区间 1,上的“等积分”函数的组数是（ ）A1 B2 C3 D4【知识点】定积分 B13【答案】 【解析】C解析：对于 10110222xdxdx，而112xdx，所以是一组“等积分”
13、函数；对于， 11sincos0xdx而11cosinsi0 ，所以不是一组“等积分”函数；对于，由于函数f（x）的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故积分为半圆的面积 2，而1123342xdx，所以是一组“等积分”函数；对于，由于函数f（x） ，g（x）分别是定义在 -1，1上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分都为零，所以是一组“等积分”函数，故选择C.【思路点拨】利用“等积分” 函数的定义，对给出四组函数求解，即可得出区间-1 ，1上的“等积分”函数的组数【题文】二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 【题文】13.
14、 已知72701()xmaxax的展开式中 4x的系数是35，则 123a = .【知识点】二项式定理J3【答案】1【解析】A解析：727701 0xmaxaxm （ ） ， （ ），又展开式中x4的系数是-35 ，可得437C5（ ） ， 7（ ）在2017xa（ ） ，令 ， 时，由可得 1270a ，当 m， 时，a0=-1，即 31 故答案为：1【思路点拨】由条件求得70am（ ），根据展开式中x4的系数是-35，求得m=1在7201xaxx （ ）中，分当 1时和当 0x时两种情况，分别由求得的1237值【题文】14. 已知三棱锥 ABCD中, 2,ACBDBCAD, 直线 与底面
15、BCD所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为 【知识点】三棱锥 G7 【答案】 8【解析】A解析：取 BC的中点 O，则 ABCDOA， ， ，直线 D与底面 所成角为 3， 2OBCD， ， ， 即 O为三棱锥外接球的球心， ， 2， 三棱锥外接球的表面积为428，故答案为 .【思路点拨】取 BC的中点 O，判断 为三棱锥外接球的球心，即可求出 为三棱锥外接球的球心，进而可以求得.【题文】15. 已知 21,F分别为双曲线)0,(12bayx的左右焦点， P为双曲线左支上的一点，若aP812，则双曲线的离心率的取值范围是 【知识点】双曲线的性质H6【答案】 3,1(【解析】A解析：由题意可得
16、：21|8PFa ，并且 21PFa，所以 124PFa， 因为P是为双曲线)0,(2byx左支上的一点，所以21126c，即3ea ，所以双曲线的离心率的取值范围是 13（ ， 故答案为 13（ ， 【思路点拨】根据题意结合双曲线的定义可得 124PFa， ，进而得到，即可得到2112PFaF，进而求得双曲线的离心率的范围【题文】16. 已知函数),()(Rbaxf,有下列五个命题不论 ,b为什么值,函数 y的图象关于原点对称;若 0a,函数 )(xf的极小值是 2,极大值是 2a;若 ,则函数 的图象上任意一点的切线都不可能经过原点;当 b时,函数 )(fy图象上任意一点的切线与直线 yx
17、及 轴所围成的三角形的面积是定值.其中正确的命题是 _ (填上你认为正确的所有命题的序号) 【知识点】导数的应用B12【答案】【解析】A解析：函数bfxaR（ ） （ ， ） ，函数的定义域为 0|x，()bfxaxfx ，不论a，b为什么值，函数)(xfy的图象关于原点对称，命题正确；若 0ab， 则2,bxfxa 当 0ab ， 时， 0fx（ ） ，函数 fx（ ） 无极值，命题错误； 若 ，则，2,fx 过函数 )(xfy的图象上任意一点00ba（ ， ）的切线方程为2000()axby ，代入（0，0）得200ab -， ，即b=0，与 矛盾，函数 )(xf的图象上任意一点的切线都不
18、可能经过原点，命题正确； 当 0b时，函数 )(xfy图象上任意一点的切线方程为2000()axby ，与 x联立得交点为 0xa（ ， ） ，令 x得切线与y轴交点为 02bx（ ， ），原点为 0（ ， ） ，围成的三角形面积为 012b与 y直线及y轴所围成的三角形的面积是定值 正确的命题是故答案为：【思路点拨】对于，可以判断该函数是奇函数，由此说明；对于，当 0ab ， 时，函数是单调函数，不满足题意；对于可先用切点把切线方程表示出来，然后将 （ ， ） 代入，只要是无解即可说明；对于先表示出任意一点处切线的方程，然后求出该切线与 yx，y轴的交点，则三角形的三个交点可以求出，面积可求
19、【题文】三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【题文】17 （本小题满分12分）在数列 na中,已知*11,2,nnaN.(1)求证: 是等比数列;(2)令 nnSb,2为数列 nb的前 项和,求 nS的表达式.【知识点】等比数列 数列求和 D3 D4【答案】(1)略；(2) 2nnS.【解析】解析：()证明:由*11,nnaaN可得 1()2(),20nna所以数列 na以是-2为首项 ,以2为公比的等比数列() 由() 得:1nnn,所以 2nna,1nb所以 12 2 2()()()nn n nSb 令 2nnT,则 2311nnT,两式相减得
20、231112n nn,所以2nnT,即 nnS【思路点拨】根据已知可得 1 1()2(),20nnaa，故得 na以是-2为首项,以2为公比的等比数列；由(1)求得 2nb，然后利用错位相减求和 .【题文】18.（本题满分12分）某市 ,ABCD四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：中学 A B C D人数 30 4 20 1为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查（1）问 ,ABCD四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的 50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（
21、3）在参加问卷调查的 名学生中，从来自 ,AC两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用 表示抽得中学的学生人数，求 的分布列【知识点】随机抽样 古典概型 离散型随机变量以及分布列 I1 K2 K6【答案】 （1） ；(2) 27；(3) .【解析】解析：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为 应从 四所中学抽取的学生人数分别为 4分（2）设“从 50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件 M，从 50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2501C种， 5分来自同一所中学的取法共有215013 6分3()1257
22、PM答：从 0名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为27 7分（3）由（1）知， 名学生中，来自 ,AC两所中学的学生人数分别为 15,0依题意得， 的可能取值为 0,12， 8分21053()CP，1502()P，2157()0CP 11分的分布列为： 12分【思路点拨】(1)由题意知抽取的样本容量与总体个数的比值为 ,由此能求出应从A ，B ，C，D四所中学抽取的学生人数；（2）利用组合的意义分别计算出从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的方法和这两名学生来自同一所中学的取法，再利用古典概型的概率计算公式即可得出；（3）由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A ，C
23、两所中学的学生人数分别为15，10可得的可能取值为0，1，2利用超几何分布的概率计算公式215.02kP（ ） （ ， ， ） ，即可得到分布列，利用数学期望的概率计算公式即可得出【题文】19. （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是等腰梯形， AB CD， 06， 2ABC在梯形 ACEF中， ，且 =2EF， 平面 (1)求证： B； (2)若二面角 D为 045，求 的长【知识点】用空间向量求平面间的夹角 G10【答案】(1)略；（2）6.【解析】解析：（1）证明：在ABC中， 22603ACBABCcos所以 22ABC，由勾股定理知 90ACB所以 AC （2分）
24、又因为 ED平 面 ， BD平 面 所以 （4分）又因为 ，所以 BCAF平 面 ，又 FE平 面所以 （6分）(2)解：因为 BCD平 面 ，又由(1)知 BAC，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz设10033()()0()22EhAFhD ， 则 （ ， ， ） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，所以3()21AD ， ， ， ， ， （8分）设平面DAF 的法向量为 1nxyz（ ， ， ） ，则302xyhz令 3x ，所以 132hn（ ， ， ）（9分）又平面AFC 的法向量 20（ ， ， ） （10分）所以12.45ncos，解得64h （11分）所以CE的
25、长为 （12分） 【思路点拨】(1)证明 BCAECA， ， ，可得 BCAEF平 面 ， 从而 BCA；(2)建立空间直角坐标系，求出平面 DF的法向量，平面 F的法向量，根据二面角D-AF-C 为45，利用向量的夹角公式，即可求得 长【题文】20. （本小题满分12分）已知圆C：221xy（ ） （ ）经过椭圆 )0(12bayx的右焦点F和上顶点B.(1)求椭圆的方程；(2)如图，过原点O的射线 l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求M的最大值【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题 H8【答案】(1) 2814xy ；(2) 23.【解析】解析：解：(1)在圆C
26、：21xy（ ） （ ）中， 022yFc令 ， 得 （ ， ） ， 即 ，0xBb令 ， 得 （ ， ） ， 即 ，228abc，椭圆 的方程为：214xy (2)设点 000Q（ ， ） ， ， ，则 00()1OCMQCOxy （ ， ） （ ， ） ，又20841xy,设 0bxy，与2084xy联立，得：2203480bx ，令 A，得2216b（ ） ，解得 3又点 0Qxy（ ， ） 在第一象限，当4.3OM 时 ，取最大值 2.【思路点拨】(1)在圆 1xy（ ） （ ） 中，令y=0，得 F（2，0） ，令x=0，得B（0，2） ，由此能求出椭圆方程(2)设点 000Qy（
27、， ） ， ， ， ，则 00()1OCMCOQxy （ ， ） （ ， ） ，又20841xy设 0bxy，与20841xy联立，得：2234b ，由此能求出Q的最大值【题文】21. （本小题满分12分）已知函数 2xfxae其中e是自然数的底数， aR.(1)当 0时，解不等式 0f；(2)若 1fx在 ， 上是单调增函数，求 的取值范围；(3)当 a，求使方程 2,1fxk在 上有解的所有整数k的值.【知识点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 B12【答案】(1）10,a;(2) 2,03；(3) -3 ，1.【解析】解析：(1）ex0，当f （x）0时即ax2+x 0，
28、又a0，原不等式可化为1a，f（x） 0的解集为1,a；(2)2xfxe（ ） （ ），222 1x xfeaee（ ） （ ） （ ） （ ） ，当 1xf时 ， （ ） （ ） ， 0f（ ） 在上 ， 恒成立，当且仅当x=-1时取“=”， a满足条件；当 时，令21gxax（ ） （ ） ， 2140A（ ） ， 0gx（ ） 有两个不等的实根 12、 ，不妨设 12 ，因此 fx（ ） 有极大值和极小值；若 0agaA ， ，fx（ ）在 （ ， ） 内有极值点， fx（ ） 在-1，1 上不单调；若 0，则 12x， 的图象开口向下，要 fx使在-1，1 单调递增，由 01g,()g
29、即30a，03a；综上可知， a的取值范围是2,3；（3）当 0时，方程 2fx为 2xe，不是原方程的解，xe ，原方程可化为10x；令21xh，xhe在 ,0,时恒成立， 在（-，0）和（0，+ ）上是单调增函数；又 2130hehe ， ,321,hehe方程有 fx且只有两个实根，且分别在区间 ,和 3,上，所以，整数k的所有值为-3， 1【思路点拨】(1)由 0xef， ,可化为 20ax ， 在 a 时，解关于x的不等式 20ax 即可；(2) fx在 1， 上是单调增函数，则 f在 1， 上恒成立；讨论 0、 、 时 fx的情况，求出a的取值范围；(3) 0时，方程为 2xe，由
30、 0xe ，知 ，原方程化为210xe；设21xh，求 h在 时的零点所在的区间，从而确定整数k的值【题文】22. （本小题满分10分）在直角坐标系 xoy中，直线 l经过点 1,0P，其倾斜角为 ，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为26cos50.(1)若直线 l与曲线C有公共点，求 a的取值范围：(2)设 ,Mxy为曲线C上任意一点，求 xy的取值范围.【知识点】参数方程 极坐标方程 N3【答案】(I) 506， ，；(2) 32,.【解析】解析：(I)将曲线C的极坐标方程 6cos50化为直角坐标方程为2650xy直
31、线l的参数方程为1cosinxtty为 参 数将1inxty代入2650xy整理得28cos20t直线l与曲线C 有公共点， 264cos80330,)或的取值范围是56， ，(II)曲线C的方程265xy可化为 23xy其参数方程为cosM,inxyy为 参 数为曲线上任意一点，32sin32si4xy的取值范围是 32,【思路点拨】 （1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线 l的参数方程，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到324xysin（ ） ，最后结合正弦函数的值域，即可得到xy的取值范围
