1、开始S1，T1，n2T2 nTS?是否nn1S n2结束(第 6 题)输出 n广东省揭阳市一中、潮州金山中学、广大附中2015届高三上学期期中考试数学（理）试题一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 ， ，则下列结论中正确的是)2,0(a)1,(bA. B. C. D.baba/ba2若直线 与直线 平行，则1:()lxmy2:416lmxymA. B. C. 或 D. 12233 已知 是定义在 上的奇函数，当 时 （ 为常数） ，则()fxR0x()xfe的值为ln5fA. B. 4 C. D. 64 64曲线 与曲线 的
2、216xy221()6xykkA.长轴长与实轴长相等 B.短轴长与虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等5下列命题中，错误的是A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B.平行于同一平面的两个不同平面平行C.如果平面 不垂直平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面D.若直线 不平行平面 ，则在平面 内不存在与 平行的直线l l6、某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为 A5 B6 C7 D87 “ ”是“复数 与 的积是纯虚数” 的（ ）条件.acbdabicdiA充分必要 B充分不必要 C必要不充分 D既不充分也不必要8定义一种新运算： ，已知函数 ，若函数,
3、()ba 24()1)logfxx恰有两个零点，则 的取值范围为.()gxfkkA. B. C. D. 1,2(1,2)(0,2)(0,1)二.填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题 5分，满分 30分（一）必做题（913 题）9.已 知 一 个 三 棱 锥 的 三 视 图 如 右 下 图 所 示 ,其 中 俯 视 图 是 顶 角 为 的 等 腰 三 角 形 ,则 该 三 棱锥 的 体 积 为 _.10已知数列 满足 ,且 ,则na313loglnna2489a.168123log11在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别是 ，b，c.若 ，bc32，则角 Csinsi._1
4、2. _.0()xd13.已知正实数 满足 ,且 恒成立,则 的最大值是,yl0xy2()4kxyk_.（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）14(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中，曲线 和 相交于点sincos1，则 .,AB15(几何证明选讲选做题) 如图所示，已知 AB，BC 是O 的两条弦，AOBC，AB 2，BC ，则O 的半径等于_3三解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤第 15 题16 （本小题满分 12 分）已知函数 ()2cos3incos1()fxxxR（1）求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值；f
5、50,2（2）若 ，求 的值。0017(),32fx0cosx17. （本小题满分 12 分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢谢惠顾”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“再来一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一15瓶该饮料。（1）求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率；（2）求中奖人数 的分布列及数学期望 E .18. （本小题满分 14 分）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 1，点 M 在 BC 上，AMC 1 是以 M 为直角顶点的等腰直角三角形.（1）求证：点 M 为 BC 的中点；（2）求点 B 到平面 AMC1 的距离；（3）求二面角
6、MAC1C 的大小.19 （本小题满分 14 分）已知椭圆 ： ( )的离心率为 ，右焦点为 .E21xyab02(1,0)F（1 ） 求椭圆的方程；（2）设点 为坐标原点，过点 作直线 与椭圆 E 交于 两点，若 ，求OFlMN， ON直线 的方程l20 （本小题满分 14 分）设数列 的前 项和为 ，已知 (nN*).nanS12na（1 ）求 的值，并证明数列 是等差数列； 12a（2 ）设 ，数列 的前 项和为 ，若存在整数 ，使对任意 nN*且2lognnb1nbnBmn 2，都有 成立，求 的最大值；30nmB21 （本小题满分 14 分）已知函数 f（x）=x 2+2lnx 与
7、g(x)=x+ a有相同极值点 (1) 求实数 a 的值；(2) 若 x1 ，x 2 是区间2，3 内任意两个不同的数，求证： 1212|()|6|;fxfx(3) 若对于任意 x1 ，x 2 e，3 ，不等式 12()fxgk-1 恒成立，求实数 k 的取值范围揭阳一中 20142015 学年度年高三上学期期中考试数学试题(理科)参考答案及评分说明所以函数 在区间 上的最大值为 2，最小值为 .()fx50,1216分（）解：由（1）可知 00()sin6fxx又因为 ，所01()3fx以 7分05sin26由 ，07,1x得 8分052,6从而 20 012cos21sin663xx9分所
8、以00005123cos2cos2csin2si6666xxx12分17解：解：（1 ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C，那么 P(A)=P(B)=P(C)= 215分 P( )=P(A)P( )P( )= 5分142)5A答：甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率为 6 分5（2 ） 的可能值为 0,1,2,37 分P( =k)= (k=0,1,2,3)9 分3314()5kC所以中奖人数 的分布列为w_w w. k#s5_u.c10分 E =0 +1 +2 +3 = 1264258152分18 （ 1）证明：在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，有 CC1底面 ABC， 面 ABCAM 1C
9、AM1 分又AMC 1 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形，AMMC1 且 AM=MC1，C面 A12 分 0 1 2 3P 6425851面 ，BC1MA3 分底面 ABC 是边长为 1 的正三角形，点 M 为 BC 中点.4 分为点 B 到平面 AMC1 的距离. 6 分AM=C1M=,23在 RtCC1M 中，可得 7 分1.BHMC1CM.,9 分.6231 BHBH解法（二）设点 B 到平面 AMC1 的距离为 h.则 5 分11BMCABV由（I）知 AMC1M，AMCB，AM平面 C1CBB16 分AB=1， BM= 7 分 .2,3,211A可 求 出8 分AMShSBCA
10、MC1133得 9 分23226h（3 ） （解法一） 过 M 作 于 H，作 于 G，连结 GH.1AC，又 11,ACBACB面 面 且 面 面 ,MBHAC面H面 1又因为 ，且MGACHG面 MHG1,故 为二面角 的平面角11 分GH1AC由（1）知 324M在等腰直角三角形 中，1AC23624GAM13 分34sin6HG因为二面角 为锐二面角，故1MA4H所以二面角 的大小为 .14 分C4（解法二）过 M 作 交 于 .1/1B1M以 M 为坐标原点， 分别为 轴， 轴， 轴方,Axyz向，建立空间直角坐标系.10 分设面 的一个法向量为1AC(,)uxyz yxzB1MC1
11、MBACA1B1C1MBACA1HG由 得 ，取 ，则10ACu302xyz13,0xz3,11 分同理可求得面 的一个法向量1AMC为 12 分2,0v设二面角 的大小为 ，由图知 为锐角1故 62cos,3uv13 分故二面角 的大小1MAC为 14 分419解：（1）依题意可得 2 分2ab解得 椭圆 E 的标准方程为 4,1. 12yx分（2 ）设 ，1()Mxy， 2()Nxy，当 垂直于 轴时， 的方程为 ，不符题1x意5 分当 不垂直于 轴时，设 的方程x为 6 分(1)yk由 得：)(,2xky，8 分0)1(2421 kxk所以 ，1x10 分221)(k于是： 221221
12、 )()( kxxkxy 因为 ，所以 ，ONM0所以 ，所以，22121kx，13 分k所以，直线 的方程为：l14 分).(xy20. 解（1 ）由 可21Sa得 1 分4,a由 ，得12nn(n2)2 分1S两式相减，得 ，即 (n2) ，于12na12na是 4 分12n所以数列 是以首项为 2，公差为 1 的等差数列.n5 分（2 ） 所以 ，故 .1,a()2nn(1)2nna6 分因为 ，22logl1nnnb，8 分12 1nnBb 则 . 令 ，3 3n 1()23fnn则 1(1)23fn10 分所以11()323fnfn.1032即 ，所以数列 为递增数列. 12()(f
13、f()f分所以当 n 2 时， 的最小值为 .()f 119(2)345620f据题意， ，即 .又 为整数，故 的最大值为 18. 1920mm14 分 21 解：（ 1）由 (1)()2xfx1分知当 0时 ；当 时 ；0f()0fx ()fx在 ,1上为增函数，在 1,上为减函数 为函数 ()fx的极大值点2 分又函数 f（x）=x 2+2lnx 与 g(x)=x+ a有相同极值点， 1是函数 ()g的极值点， 2()1agx (1)0ga，解得 1a3 分经检验，当 1a时，函数 ()gx取到极小值，符合题意4 分（2）由（1）知函数 ()fx在2，3 上单调递减，不妨设 121212
14、121,|6|()6()xfx，()6()fxfx令 6分,h则 ，因为 在 上单调递减，且2()6hx()hx2,3230当 时，(,)x(),x所以函数 在2，3 上单调递增， ，所以问题得证。h 12()hx8分（3） 21()fe， (1)f， (3)92lnf， 9ln3， 即 1()ffe， 1,xe， 1min 1max()()92ln3,()()1fxfff9 分由（1）知 g， 2)gx.当 ,)xe时， ()0x；当 (1,3时， ()0gx 故 (g在 ,1为减函数，在 ,上为增函数 ),()2,3)eg，而 02, 1(),ge 21,xe， 2min2max10(),(3)gx10分 当 10k，即 1k时，对于 12,e，不等式 12()fxgk恒成立12max()fxgmax()fxg(1)23ff， 312k，又 1k， 1k 12分 当 0k，即 1k时，对于 12,xe，不等式 12()fxgk12min()fxgmin()fg 12 1037()(3)92ln2lnfxgfg， 4lnk又 1k， 4lk综上，所求的实数 的取值范围为 3(,2ln(1,)14 分
