1、第 33 课时 一元二次方程根的分布【学习目标】1理解一元二次方程根的分布情况；2在利用二次函数的图象讨论一元二次方程根的分布的情况的过程中，体会数形结合这一重要的数学思想【课前导学】设方程 的不等两根为 且 ，相应的二次函数为20axbca12,x12x，方程的根即为二次函数图象与 轴的交点，它们的分布情况见下f表 表一：（请独立完成）分布情况 两个负根即两根都小于012,x两个正根即两根都大于 012,x一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 012x大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f大致图象（） 0a得出的结论 02baf02baf0f【课堂活动】一建构数学： 表二：
2、（探究讨论）分布情况 两根都小于 即kx21,两根都大于 即kx21,一个根小于 ，一个大k于 即 21x大致图象（） 0a得出的结论 02bkaf02bkaf0kf大致图象（） 0a综合结论（不讨论） a02baf02baf0fak k得出的结论 02bkaf02bkaf0kf综合结论（不讨论） a02bkaf02bkaf0kfa表三：（探究讨论）分布情况两根都在内nm,两根有且仅有一根在 内n,（图象有两种情况，只画了一种）一根在 内，另一nm,根在 内，qp,大致图象（） 0a得出的结论 02fmnba0nfm或00fmnfpqfmnp大致图象（） 0a得出的结论 02fmnba0nfm
3、或0fmnfpq0fnp综合结论（不讨论） a 0nfm0qfpnm根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 外，即在区间两侧n,， （图形分别如下）需满足的条件是12,xmn（1 ） 时， ； （2 ） 时，0a0fmn0a0fmn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1 ）两根有且仅有一根在 内有以下特殊情况：,1若 或 ，则此时 不成立，但对于这种情况是知道了方0fmfn0fmnA程有一根为 或 ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 内，从而可以求nm,出参数的值如方程 在区间 上有一根，因为 ，所以22xx1,310f，另一根为 ，由 得 即为所求；2212mxxmx2
4、m132m2方程有且只有一根，且这个根在区间 内，即 ，此时由 可以求出参数的n,00值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数例如方程 有且一根在区间 内，求 的取值范围2460xm3,分析：由 即 得出 ；由 即3fA1450m154m0得出 或 ，当 时，根 ，即2162123,x满足题意；当 时，根 ，故 不满足题意；综上分析，得出m2m3,x3或5314二应用数学：例 1关于 x 的方程 有两实根，且一个大于 1，一个小于 1，0142)3(2 mx求 m 的取值范围；关于 x 的方程 有两实根在 内，求 m 的取值范围；)(2 4
5、,关于 x 的方程 有两实根在 外，求 m 的取值范围；01423x31关于 x 的方程 有两实根，且一个大于 4，一个小于 4，求)(2mm 的取值范围【思路分析】按题意画函数图像，由图像列出不等式解：令 f(x)= ，142)3(2xx 对应抛物线开口向上， 方程有两实根，且一个大于 1，一个小于 1，等价于f(1)0 , 即 解得 0)(12 m42 据题意 得 5271537042)(81620)142()3(40)( mmmf 或 由图知，原命题等价于 84120)3(1mf 421 令 g(x)= ，据题意 得12)3(2xx 0)4()(0gm或可以解得 019【解后反思】讨论一
6、元二次方程根的分布问题的解题的步骤：1根据条件画出图象；2根据图象写出字母参数必须满足的条件；3解不等式组画图像时要注意开口方向的确定例 2 当关于 的方程的根满足下列条件时，求实数 的取值范围：x a（1）方程 的一个根在区间 上，另一根在区间 上；227(13)0axa(0,1)(1,2)（2 ）方程 至少有一个实根小于 0解：（1）设 ，则方程一个根在 上，另一根在22()()f(,)上等价于(,)2018()03af2403a或或 14a（2）设 ，若方程的两个实根都小于 ，则有 2()fx1823(1)0aaf或 3a若方程的两个根一个大于 ，另一个小于 1，则有 , 1()0fa3
7、若方程的两个根中有一个等于 ，由根与系数关系知另一根必为 ，2 ， 2综上，方程至少有一实根小于 时， 2a三理解数学：1已知二次方程 有一正根和一负根，求实数 的取值范2110mxm围解：由 即 ，从而得 即为所求的范20fAm12围2已知方程 有两个不等正实根，求实数 的取值范围210xmm解：由02fA2810m32320或 或 即为所求的范围03m32【课后提升】1 若方程 在 内恰有一解，则 的取值范围是 210ax,a1a2已知二次函数 与 轴有两个交点，一个大于 1，一243yxmxx个小于 1，求实数 的取值范围解：由 即 即为所求的范围0mfA10A12m3已知二次方程 只有一个正根且这个根小于 1，求实数 的取值234xx范围解：由题意有方程在区间 上只有一个正根，则 0,10fA430A即为所求范围13m（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 内，由 计算检,1验，均不复合题意，计算量稍大）w.w.w.st.c.o.m高考试( 题. 库
