1、课 题：2.9.4 函数应用举例 4教学目的： 1根据实际问题，提出不同方案，建立数学模型，选定最佳方案，解决问题2培养培养观察分析、抽象概括、归纳总结、逻辑推理、化归转化的能力；3培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯 教学重点：数学建模的方法教学难点：如何把实际问题抽象为数学问题.授课类型：新授课课时安排：1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程： 一、复习引入：上一节课，我们主要学习了有关物理问题的数学模型，.这一节，我们学习有关生活消费问题的数学模型二、新授内容：例 1 随着生活质量的不断提高，购房和买车成了一些居民消费的热点某家庭最近看中了一款价值 15 万元的轿车，并想
2、在某地段购买面积为 100 m ，单价2是 0.3 万元m 的一套商品房目前，该家庭仅有积蓄 10 万元，收入为 0.52万元月，正常开支为 0.15 万元月，他们准备以要购买的车、房作抵押向银行贷款，且选择消费额 70的贷款比例表 1 和表 2 分别是 1 万元的住房和汽车消费贷款还本付息表 表 1(住房)期限 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10月均还款（元）857.50440.10301.10231.70190.13163.75144.08129.38117.99108.92期限 年 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20月均还款（元）101.5495.43
3、90.28 85.90 82.13 78.86 76 73.47 71.24 69.24期限 年 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30月均还款（元）67.45 65.85 64.40 63.08 61.89 60.80 59.80 58.89 58.05 57.28表 2（汽车）期限（年） 1 2 3 4 5月均还款（元） 859.98 442.94 303.95 234.99 193.47现该家庭有两种贷款方案：一是马上贷款购房，等积累一定资金后再贷款买车；二是马上贷款买车，等积累一定资金后再贷款购房如果购车后每月要增加开支 0.1 万元，车价平均每月比上一月下降 1，
4、房价平均每月比上一月上涨 08，如果不考虑银行贷款政策的变化，那么请你为该家庭选择一个能尽快购到车和房的合理贷款方案建立家庭积累资金关于所经过时间的函数关系式分析：根据贷款政策（消费额 70的贷款比例） ，消费者在购买商品时要首付30%的款而选择这两种方案的重要依据则是家庭资金积累情况解：方案一：先购房后买车为了能尽快买到车，住房贷款选 30 年期按 70%的比例（总购房款 30 万元）可贷住房款 21 万元，首付 30%后家中（仅有积蓄 10 万元）还剩资金 1 万元设购房后 x（月）买车，现建立买车前家庭积累资金 y（万元）关于 x 的函数关系式y=家庭余款+（月收入-月生活支出-月支付购
5、房款）*月数1+(0.5-0.15-2l*0.005728)x， 即 y1+0.229712x， （x N）选(轿车的价值 15 万元)70比例的汽车贷款，则首付汽车 u(万元)关于x 的函数关系式为u=15(l-1%) * 30 ，即 u=4.5*0.99 （x N） x刚买车后家庭的结余资金为 y ，则1y =买车前家庭积累资金-首付汽车款1(1+0.229712x)-4.5*0.99 ，x即 买车后家庭的结余资金为：y =-4.5*0.99 0.229712x+1（x N） 1x用计算机作出其图象，可知 x=12.86 时，y =01说明购房 13 个月后该家庭有能力买车但是为了保证买车
6、后家庭的收支平衡，最早买车时间应为还清汽车贷款时家庭结余为 0 时 x 的值现建立买车后家庭月支出 v（万元）关于 x 的函数关系式:因为按此方案，汽车贷款为 15(l-1%) 70%，在资金紧张时，贷款期限选5 年较为合理，也利于提前买车，所以v=月支付购车款+月支付购房款+月生活支出+购车后每月要增加开支4321-1-2-3-4-5-6-72 4 6 8 10 12 1442-2-4-6-8-10-125 10 15 2030252015105-5-10-15-20-10 10 20 30 40 50 60 70汽 车 贷 款 期 内 购 房 前 的 家 庭 积 累 资 金 曲 线购 房
7、需 首 付 曲 线0.019347*15(l-1%) 70%21*0.005728+0.15+0.1，x即 买车后家庭月支出为：v=0.203144*0.99 +0.370288 （x N） x因此，还清汽车贷款时的家庭结余为y 买车后家庭的结余资金+月收入-买车后家庭月支出*五年2 y +600.5-v1( -4.5*0.99 0.229712x+1) x+600.5-(0.203144*0.99 +0.370288)，x-16.68864*0.99 0.229712x+8.78272即还清汽车贷款时的家庭结余为y =-16.68864*0.99 0.229712x+8.78272 （x N
8、） 2x 用计算机作出其图象，可知 x=20.75 时，y =02综上所述，按方案一，说明可在购房 21 个月后再购车方案二：先买车后购房为了能尽快购房，同时缓解资金紧张问题，汽车和住房贷款分别选 5 年期和 30 年期按 70%的比例可贷汽车款 10.5 万元，首付 30%后（4.5 万元），家中（家庭有积蓄 10 万元）还剩资金 5.5 万元同理，可得在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金y 剩余资金+（月收入-月生活支出-购车后月增支-月支付购车款）*月3数5.5+(0.5-0.15-0.1-10.5*0.019347)xy =5.5+0.0468565x（x N， ） ，36而此时购房需首
9、付y =30*(1+0.8%) 30=9*1.0084xx在同一坐标系中分别作出 y 、y 的图像，34由图像知，在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金一直不够购房需首付资金也可以令 x=21，则 y =5.5+0.046856521=6.483997（万元） 3y 10.639315（万元）410.639315（万元）6.483997 万元说明方案二购房买车所需的时间比方案一长，该方案不可取因此，从以上两个方案看，选择方案一才能尽快购到车和房即先按 30 年期、70%的比例向银行贷款购房，21 个月后再按 5 年期、70%的比例向银行贷款买车解 现建立实施方案一后的家庭积累资金 y（万元）关于时
10、间 x 月）的函数关系式因购车前 y=1+0.229712x， （x N 且 1x 21）购车后但还清汽车贷款前y=(l+0.229712*21)-4.5*0.9921+(0.229712-0.l-0.019347*10.5*0.9921)(x-21) （x N 且 21x 81） ，即 y=-0.034779x+2.910535 （x N 且 21x 81） ，还清汽车贷款后y=(-0.034779*81+2.910535)+(0.229712-0.l)(x-81) （x N 且 81x 360） ，即 )36081(41326012970 ,x.x.y所以，实施方案一后的家庭积累资金 y（
11、万元）关于时间 x（月）的函数关系式为 )36081(4132601297025)(xN,.x. ,.y想一想：除了该家庭提出的两种方案外，你是否还能提出其他的方案？实施你提出的方案后，能更快地买到车和房吗？例 2 根据市场调查，某商品在最近的 40 天内的价格 与时间 满足关系)(tft销售量 与时间 满足关系).,402(1)( Nttttf tgt求这种商品的日销售额（销售量与价格之3tg积）的最大值解：据题意，商品的价格随时间 变化，且在不同的区间 与t 20t上，价格随时间 的变化的关系式也不同，故应分类讨论402t设日销售额为 )(tF当 时Nt,20)341)()tF )9461
12、()2(6t当 或 11 时，.7maxtF当 时， Nt,402 31)2()3)(41)( ttt当 时，16)(maxt综合（1） 、 （2）知当 或 11 时，日销售额最大，最大值为 176说明：销售额销售量 价格；解本题时应注意按时间划分区间分类讨论，然后对两种情况下的销售额的最大值作比较；要熟练掌握定义域为闭区间的二次函数最值的求法 三、练习：1某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997 年该乡从甲企业获得利润 320 万元，从乙企业获得利润 720 万元以后每年上交的利润是：甲企业以 1.5 倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的 根据测算，该乡从两个
13、企业获得的利润达到 2000 万元可以解决温饱问题，达到 8100 万元可以达到小康水平.若以 1997 年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？试估算 2005 年底该乡能否达到小康水平？为什么？2如何设计船票价格？某轮船公司争取到一个相距 1000 海里的甲、乙两地的客运航线权已知轮船限载人数为 400 人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船速度的立方成正比例，轮船的最大时速是 25 海里/时，当船速为 10 海里/时，它的燃料费用是每小时30 元，其余费用（不论速度如何）都是每小时 480 元你能为该公司设计一种较为合理的船票价格吗？
14、3怎样利用旧墙建新墙？某校办厂有毁坏的房屋一幢，留有一面旧墙长 14 米，现准备利用这面旧墙的一段为一面墙，建造平面图形为长方形，面积为 126 平方米的厂房，工程的条件是：修 1 米旧墙的费用是造 1 米新墙费用的 25利用拆旧墙 1 米所得材料建 1 米新墙的费用是造米新墙费用的 50%问如何利用旧墙才能使建墙费用最低?4汽车使用多少年报废最合算？某种汽车：(A) 购买时费用为 10 万元(B) 每年应交保险费、养路费及汽油费合计 9000 元(C) 汽车的维修费平均为：第一年 2000 元，第二年 4000 元，第三年 6000 元，依等差数列逐年递增问：这种汽车使用多少年报废最合算？并分析 A、B、C 三笔费用对使用时间的影响四、小结 ：通过本节学习，进一步熟悉数学建模的方法，能运用数学模型解决一定的关于市场经济的实际问题，提高解决数学应用题的应变能力.数 学 模 型数学模型的解抽象概括推理演算还原说明实际问题的解实 际 问 题五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：
