6+联立方程计量经济模型理论与方法.ppt

1、第六章 联立方程计量经济模型理论与方法 Theory and Methodology of Simultaneous-Equations Econometrics Model,6.1 联立方程计量经济学模型的提出 6.2 联立方程计量经济学模型的基本概念 6.3 联立方程计量经济学模型的识别 6.4 联立方程计量经济学模型的估计 6.5 联立方程计量经济学模型的讨论,6.1 问题的提出,一、经济研究中的联立方程计量经济学问题 二、计量经济学方法中的联立方程问题,一、经济研究中的联立方程计量经济学问题, 研究对象,但是，经济现象极为复杂，很多情况下，不是单一方程所能描述的那种简单的单向因果关系，

2、而是相互依存、互为因果的;联立方程计量经济学模型研究的是复杂的经济系统，而不是单个经济活动，必须用一组方程才能描述清楚;“系统”的相对性。国民经济学是一个系统，一个地区的经济也是一个系统，甚至某一项经济活动也是一个系统。,单方程计量经济学模型是用单一方程描述某一经济变量与影响该变量变化的诸因素之间的数量关系，它研究单一的经济现象，揭示其中的单向因果关系。,一个简单的宏观经济系统,由国内生产总值Y、居民消费总额C、投资总额I和政府消费额G等变量构成简单的宏观经济系统。 假定政府消费额G由系统外部给定，其他内生。 Y、C、I是相互影响并互为因果的，C和I取决于国内生产总值Y，但反过来又影响Y。 所

3、以无法用一个方程描述它们之间的关系，就需要建立一个由多个方程组成的方程系统。,第一个方程表示居民消费总额由国内生产总值决定； 第二个方程表示投资总额由国内生产总值和前一年的国内生产总值共同决定； 第三个方程表示国内生产总值由居民消费总额、投资总额和政府消费额共同决定，在假定进出口平衡的情况下，是一个恒等式。,二、计量经济学方法中的联立方程问题,随机解释变量问题,解释变量中出现随机变量，而且与误差项相关。 为什么？请大家细读教材P177倒数第二段,问题主要表现在三个方面,损失变量信息问题,如果用单方程模型的方法估计某一个方程，将损失变量信息。 为什么？请大家细读教材P177倒数第一段,损失方程之

4、间的相关性信息问题,联立方程模型系统中每个随机方程之间往往存在某种相关性。表现于不同方程随机误差项之间。 尤其在以时间序列数据作样本时，不同方程随机干扰项之间往往存在同期相关性。 如果用单方程模型的方法估计某一个方程，将损失不同方程之间相关性信息。,请大家仔细阅读教材P178第二段,结论,必须发展新的估计方法估计联立方程计量经济学模型，以尽可能避免出现这些问题。 这就从计量经济学理论方法上提出了联立方程问题。,6.2联立方程计量经济学模型的若干基本概念,一、变量 二、结构式模型 三、简化式模型 四、参数关系体系,一、变量,在联立方程计量经济学模型中，对于其中每个随机方程，其变量仍然有被解释变量

5、与解释变量之分。但是对于模型系统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变量了。如上节所说的，同一个变量，在这个方程中作为被解释变量，在另一个方程中则可能作为解释变量。,内生变量 （Endogenous Variables）,对联立方程模型系统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变量，而将变量分为内生变量和外生变量两大类。外生变量与滞后内生变量又被称为先决变量。 内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素。 内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响。 内生变量一般都是经济变量。,一般情况下，内生变量Y与随机项相关，即,在联立方程模型中，内生变量既

6、作为被解释变量，又可以在不同的方程中作为解释变量。,外生变量 (Exogenous Variables),外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。 外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。 外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。 一般情况下，外生变量X与随机项不相关。, 先决变量（Predetermined Variables）,外生变量与滞后内生变量(Lagged Endogenous Variables)统称为先决变量。 滞后内生变量是联立方程计量经济学模型中重要的不可缺少的一部分变量，用以反映经济系统的动态性与连续性。如果模

7、型满足那么 先决变量只能作为解释变量。,二、结构式模型 Structural Model,定义,根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结构关系的计量经济学方程系统称为结构式模型。 结构式模型中的每一个方程都是结构方程（ Structural Equations ）。 各个结构方程的参数被称为结构参数（ Structural Parameters or Coefficients ） 。,结构方程的方程类型,将一个内生变量表示为其它内生变量、先决变量和随机误差项的函数形式，被称为结构方程的正规形式。,完备的结构式模型,具有g个内生变量、k个先决变量、g个结构方程的模型被称为完备的结构式模

8、型。 在完备的结构式模型中，独立的结构方程的数目等于内生变量的数目，每个内生变量都分别由一个方程来描述。,完备的结构式模型的矩阵表示,习惯上用Y表示内生变量，X表示先决变量，表示随机项，表示内生变量的结构参数，表示先决变量的结构参数，如果模型中有常数项，可以看成为一个外生的虚变量，它的观测值始终取1。,g个内生变量；k个先决变量,参数矩阵,为结构参数矩阵,简单宏观经济模型的矩阵表示,大家可以自己动手验算一下！,三、简化式模型 Reduced-Form Model,定义,将联立方程计量经济学模型的每个内生变量表示成所有先决变量和随机干扰项的函数，即用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量，所形成

9、的模型称为简化式模型。简化式模型并不反映经济系统中变量之间的直接关系，并不是经济系统的客观描述。,由于简化式模型中作为解释变量的变量中没有内生变量，可以采用普通最小二乘法估计每个方程的参数，所以它在联立方程模型研究中具有重要的作用。 简化式模型中每个方程称为简化式方程(Reduced-Form Equations)，方程的参数称为简化式参数(Reduced-Form Coefficients)，用 表示。,简化式模型的矩阵形式,简单宏观经济模型的简化式模型,要注意正确区分先决变量和内生变量。,四、参数关系体系,定义,该式描述了简化式参数与结构式参数之间的关系，称为参数关系体系。,（结构式模型）

10、,（简化式模型）,作用,利用参数关系体系，首先估计简化式参数，然后可以计算得到结构式参数。 从参数关系体系还可以看出，简化式参数反映了先决变量对内生变量的直接与间接影响之和，这是简化式模型的另一个重要作用。问题：教材P183将（6.2.1）式结构式模型进行怎样的变量替代后得到相应的简化式，即简化式参数与结构式参数之间的关系体系？（课堂小作业）例如，在上述模型中存在如下关系：,21反映Yt-1对It的直接与间接影响之和； 而其中的2正是结构方程中Yt-1对It的结构参数，显然，它只反映Yt-1对It的直接影响。 在这里，2是Yt-1对It的部分乘数，21反映Yt-1对It的完全乘数。注意：简化式

11、参数与结构式参数之间的区别与联系。,6.3联立方程计量经济学模型的识别 The Identification Problem,一、识别的概念 二、从定义出发识别模型 三、结构式识别条件 *四、简化式识别条件 五、实际应用中的经验方法,一、识别的概念,联立方程计量经济学模型是由多个方程组成，对方程之间的关系有严密的要求，否则模型就可能无法估计。 所以，在进行模型估计之前首先要判断它是否可以估计，这就是模型的识别。,为什么要对模型进行识别？,从一个例子（如下一个简单的宏观经济模型）看:,分析发现： 消费方程是包含C、Y和常数项的直接线性方程。投资方程和国内生产总值方程的某种线性组合（消去I）所构成

12、的新方程也是包含C、Y和常数项的直接线性方程。,如果利用C、Y的样本观测值并进行参数估计后，很难判断得到的是消费方程的参数估计量还是新组合方程的参数估计量。 只能认为原模型中的消费方程是不可估计的。 这种情况被称为不可识别。 只有可以识别的方程才是可以估计的。,识别的定义,3种定义： “如果联立方程模型中某个结构方程不具有确定的统计形式，则称该方程为不可识别。” “如果联立方程模型中某些方程的线性组合可以构成与某一个方程相同的统计形式，则称该方程为不可识别。”,如上例,以是否具有确定的统计形式作为识别的基本定义。 什么是“统计形式”？即变量和方程关系式 什么是“具有确定的统计形式”？ 即模型系

13、统中其他方程或所有方程的任意线性组合所构成的新的方程都不再具有这种统计形式。,“根据参数关系体系，在已知简化式参数估计值时，如果不能得到联立方程模型中某个结构方程的确定的结构参数估计值，则称该方程为不可识别。”,模型的识别,上述识别的定义是针对结构方程而言的。 模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。 如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型系统是可以识别的。反过来，如果一个模型系统中存在一个不可识别的随机方程，则认为该联立方程模型系统是不可以识别的。,恰好识别(Just Identification)与过度识别 (Over identification),某

14、一个随机方程，当给定有关变量的样本观测值，其参数具有确定的估计量：如果某一个随机方程具有一组参数估计量，称其为恰好识别；如果某一个随机方程具有多组参数估计量，称其为过度识别。,恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存在识别问题。但是，在判断随机方程的识别性问题时，应该将恒等方程考虑在内。,二、从定义出发识别模型,为了更好地理解上述概念，我们通过前面简单的宏观经济模型及其相应的改进形式来说明模型的识别问题。 给出4个模型来说明！教材186-188,例题1,第2与第3个方程的线性组合得到的新方程具有与消费方程相同的统计形式，所以消费方程也是不可识别的。,第1与第3个方程的线性组合得到的新方程具有

15、与投资方程相同的统计形式，所以投资方程也是不可识别的。 于是，该模型系统不可识别。 第1与第2个方程相加，右端等于方程3的右端，而左端并不一定相等，形成矛盾方程。而在参数关系体系中（P186)，2个方程不可能求得4个参数的确定值，这也证明了消费方程和投资方程都是不可识别的。,例题2： 在例1模型的投资方程中增加解释变量,消费方程是可以识别的，因为任何方程的线性组合都不能构成与它相同的统计形式。 投资方程仍然是不可识别的，因为第1、第2与第3个方程的线性组合（消去C）构成与它相矛盾的统计形式。,于是，该模型系统仍然不可识别。 参数关系体系 (P187)，由6个方程组成，剔除2个矛盾方程，由4个方

16、程是不能求得所有5个结构参数的确定估计值。 可以得到消费方程参数的确定值，证明消费方程可以识别；因为只能得到它的一组确定值，所以消费方程是恰好识别的方程。,投资方程都是不可识别的。 注意：与例题1相比，在投资方程中增加了1个变量，消费方程变成可以识别。,例题3,消费方程仍然是可以识别的，因为任何方程的线性组合都不能构成与它相同的统计形式。 投资方程也是可以识别的，因为任何方程的线性组合都不能构成与它相同的统计形式。 于是，该模型系统是可以识别的。,在例2模型的消费方程中增加解释变量,参数关系体系（见教材P187），由9个方程组成，剔除3个矛盾方程，在已知简化式参数估计值时，由6个方程能够求得所

17、有6个结构参数的确定估计值。 所以也证明消费方程和投资方程都是可以识别的。,而且，只能得到所有6个结构参数的一组确定值，所以消费方程和投资方程都是恰好识别的方程。 注意：与例题2相比，在消费方程中增加了1个变量，投资方程变成可以识别。,例题4,消费方程和投资方程仍然是可以识别的，因为任何方程的线性组合都不能构成与它们相同的统计形式。 于是，该模型系统是可以识别的。,在例3模型的消费方程中增加解释变量前一年的价格指数,参数关系体系（教材P188），由12个方程组成，剔除4个矛盾方程，在已知简化式参数估计值时，由8个方程能够求得所有7个结构参数的确定估计值。 所以也证明消费方程和投资方程都是可以识

18、别的。,但是，求解结果表明，对于消费方程的参数，只能得到一组确定值，所以消费方程是恰好识别的方程；而对于投资方程的参数，能够得到多组确定值，所以投资方程是过度识别的方程。,大家可以自己求解方程组，验证该结论。,注意： 在求解线性代数方程组时，如果方程数目大于未知数数目，被认为无解；如果方程数目小于未知数数目，被认为有无穷多解。 但是在这里，无穷多解意味着没有确定值，所以，如果参数关系体系中有效方程数目小于未知结构参数估计量数目，被认为不可识别。,如果参数关系体系中有效方程数目大于未知结构参数估计量数目，那么每次从中选择与未知结构参数估计量数目相等的方程数，可以解得一组结构参数估计值，换一组方程

19、，又可以解得一组结构参数估计值，这样就可以得到多组结构参数估计值，被认为可以识别，但不是恰好识别，而是过度识别。,如何修改模型使不可识别的方程变成可以识别,或者在其它方程中增加变量； 或者在该不可识别方程中减少变量； 必须保持经济意义的合理性。,三、结构式识别条件,结构式识别条件,直接从结构模型出发 一种规范的判断方法 每次用于1个随机方程 具体描述为：,这里关键是要求出矩阵,如果 ，则第i个结构方程不可识别。 如果 ，则第i个结构方程可以识别。如果 ，则第i个结构方程恰好识别，如果 ，则第i个结构方程过度识别。,一般将该条件的前一部分称为秩条件（Rank Condition），用以判断结构方

20、程是否识别； 将后一部分称为阶条件（Order Conditon），用以判断结构方程恰好识别或者过度识别。,例题,第一步先区分内生变量和先决变量 计算出k=4,g=3; k1=3,g1=2; k2=2,g2=2,判断第1个结构方程的识别状态,所以，该方程可以识别。因为,所以，第1个结构方程为恰好识别的结构方程。,实际上就是矩阵 除去第1个结构方程参数所在的行（第1行）和第1行中非0元素（对应于第1个结构方程包含的元素）所在的列之后剩下的元素按照原次序排列而得到的。先写出矩阵 ，然后再从中得到与所判断的方程对应的矩阵 ，既简单，又不容易出错。,判断第2个结构方程的识别状态,所以，该方程可以识别。

21、因为,所以，第2个结构方程为过度识别的结构方程。,第3个方程是平衡方程，不存在识别问题。 综合以上结果，该联立方程模型是可以识别的。 与从定义出发识别的结论一致。,*四、简化式识别条件,简化式识别条件,如果已经知道联立方程模型的简化式模型参数，那么可以通过对简化式模型的研究达到判断结构式模型是否识别的目的。 由于需要首先估计简化式模型参数，所以很少实际应用。,其中， 是简化式参数矩阵 中划去第i个结构方程所不包含的内生变量所对应的行和第i个结构方程中包含的先决变量所对应的列之后，剩下的参数按原次序组成的矩阵。 一般，也将该条件的前一部分称为秩条件，用以判断结构方程是否识别；后一部分称为阶条件，

22、用以判断结构方程恰好识别或者过度识别。,例题,需要识别的结构式模型：,已知其简化式模型参数矩阵为：,K=3,g=3,判断第1个结构方程的识别状态,所以该方程是可以识别的。又因为：,所以该方程是恰好识别的。,K1=2,g1=2,判断第2个结构方程的识别状态,所以该方程是可以识别的。又因为：,所以该方程是过度识别的。,K2=1,g2=2,判断第3个结构方程的识别状态,所以该方程是不可识别的。,所以该模型是不可识别的。,K3=1,g3=3,可以从数学上严格证明，简化式识别条件和结构式识别条件是等价的。计量经济学方法与应用（李子奈编著，清华大学出版社，1992年3月）第104107页。,五、实际应用中

23、的经验方法,当一个联立方程计量经济学模型系统中的方程数目比较多时，无论是从识别的概念出发，还是利用规范的结构式或简化式识别条件，对模型进行识别，困难都是很大的，或者说是不可能的。 理论上很严格的方法在实际中往往是无法应用的，在实际中应用的往往是一些经验方法。,关于联立方程计量经济学模型的识别问题，实际上不是等到理论模型已经建立了之后再进行识别，而是在建立模型的过程中设法保证模型的可识别性。,在建立模型时就要遵循如下的原则：“在建立某个结构方程时，要使该方程包含前面每一个方程中都不包含的至少1个变量（内生或先决变量）；同时使前面每一个方程中都包含至少1个该方程所未包含的变量，并且互不相同。”,该

24、原则的前一句话是保证该方程的引入不破坏前面已有方程的可识别性。只要新引入方程包含前面每一个方程中都不包含的至少1个变量，那么它与前面方程的任意线性组合都不能构成与前面方程相同的统计形式，原来可以识别的方程仍然是可以识别的。,该原则的后一句话是保证该新引入方程本身是可以识别的。只要前面每个方程都包含至少1个该方程所未包含的变量，并且互不相同。那么所有方程的任意线性组合都不能构成与该方程相同的统计形式。,在实际建模时，将每个方程所包含的变量记录在如下表所示的表式中，将是有帮助的。,6.4联立方程模型的估计,一、概述 二、狭义的工具变量法（IV） 三、间接最小二乘法(ILS) 四、二阶段最小二乘法(

25、2SLS) 五、三种方法的等价性证明 六、简单宏观经济模型实例演示 *七、主分量法的应用 *八、k级估计式,一、概述,联立方程计量经济学模型的估计方法分为两大类：单方程估计方法与系统估计方法。 所谓单方程估计方法，指每次只估计模型系统中的一个方程，依次逐个估计。 所谓系统估计方法，指同时对全部方程进行估计，同时得到所有方程的参数估计量。也将系统估计方法称为完全信息估计方法。,从模型估计的性质来讲，系统估计方法必然优于单方程方法，但从方法的复杂性来讲，单方程又优于系统估计方法。 联立方程模型的单方程估计方法不同于单方程模型的估计方法 。,单方程估计方法主要解决的是联立方程计量经济学模型系统中每一

26、个方程中的随机解释变量问题，同时尽可能利用单个方程中没有包含的而在模型系统中包含的变量样本观测值的信息，但是没有考虑模型系统方程之间的相互性对单个方程参数估计量的影响。 因此，单方程估计方法又称为有限信息估计方法。 单方程估计方法按其方法原理又分为两类。 一类以最小二乘为原理，例如间接最小二乘法（ILS, Indirect Least Square）、两阶段最小二乘法(2SLS, Two Stage Least Squares)、工具变量法（IV, Instrumental Variables）等，称其为经典方法；,一类不以最小二乘为原理，或者不直接从最小二乘原理出发，例如以最大或然为原理的有

27、限信息最大或然法(LIML, Limited Information Maximum Likelihood)，以及仍然应用最小二乘原理、但并不以残差平方和最小为判断标准的最小方差比方法(LVR, Least Variable Ration)等。,系统估计方法利用了模型系统提供的所有信息，包括方程之间的相关性信息。因此也称为完全信息估计方法。 系统估计方法主要包括三阶段最小二乘法(3SLS, Three Stage Least Squares)和完全信息最大或然法(FIML, Full Information Maximum Likelihood)。 本书只介绍几种简单的、常用的单方程估计方法。

28、 在大量的联立方程模型的应用研究中，仍然广泛应用普遍最小二乘法进行模型的估计。,二、狭义的工具变量法 （IV，Instrumental Variables）,方法思路,“狭义的工具变量法” 与“广义的工具变量法”狭义仅指一种特定的工具变量而言。一般认为，狭义的的IV法只适用于恰好识别的结构方程的估计。 它解决结构方程中与随机误差项相关的内生解释变量问题。 方法原理与单方程模型的IV方法相同。 模型系统中提供了可供选择的工具变量，使得IV方法的应用成为可能。,工具变量的选取,对于联立方程模型的每一个结构方程，例如第1个方程，可以写成如下形式：,该方程右端包含内生解释变量（g1-1）个，先决解释变

29、量k1个。如果方程是恰好识别的，有（g1-1）=（k- k1）。可以选择（k- k1）个方程没有包含的先决变量作为（g1-1）个内生解释变量的工具变量。, IV参数估计量,第1个方程的矩阵表示为:,选择方程中没有包含的先决变量X0*作为包含的内生解释变量Y0的工具变量，得到参数估计量为：,关于IV估计量的估计过程见教材P131：,讨论,该估计量具有什么统计特性？ （k- k1）工具变量与（g1-1）个内生解释变量的对应关系是否影响参数估计结果？为什么？ 教材P196 请大家思考并讨论。,IV参数估计量一般情况下，在小样本下是有偏的，但在大样本下是渐进无偏的。如果选取的IV与方程随机干扰项完全不

30、相关，那么其参数估计量是无偏性估计量。（在4.4已经有说明！） 从4.4中知道，IV参数估计量是一个关于该参数估计量的正规方程组的解。如果IV的次序不同，也就是IV被使用的先后不同，那么正规方程组中方程的次序将不同。在一个线性代数方程组中，方程的次序不影响方程组的解。所以，只要选择的IV组中的变量是相同的，只能得到一种参数估计量，而与变量的次序无关。,三、间接最小二乘法 (ILS, Indirect Least Squares),方法思路,联立方程模型的结构方程中包含有内生解释变量，不能直接采用OLS估计其参数。但是对于简化式方程，可以采用OLS直接估计其参数。 间接最小二乘法：先对关于内生解

31、释变量的简化式方程采用OLS估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后通过参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量。,间接最小二乘法只适用于恰好识别的结构方程的参数估计，因为只有恰好识别的结构方程，才能从参数关系体系中得到唯一一组结构参数的估计量。,一个简单的例子,一个结构式模型为,现要估计第1个结构方程的参数，可以证明该方程是恰好识别的，可以采用ILS。该方程有两个内生变量，相应的简化式方程为：,应用普通最小二乘法，在样本数据的支持下对每个简化式方程分别估计其参数，得到参数估计量 将简化式代入第1个结构方程，得到参数关系体系：,由,计算得到结构参数估计值：,请大家动手计算一下！,基本的步骤：

32、,1. 对于结构式模型的某1个恰好识别的结构方程，写出相应的简化式方程； 2. 使用样本数据和OLS法估计简化方程得到简化式参数估计量； 3. 将简化式代入该结构方程，得到从参数关系体系； 4. 根据参数关系体系和简化式参数估计量来计算结构参数估计量。,一般间接最小二乘法的估计过程,其中：,内生变量的简化式模型,代入,用OLS估计简化式模型，得到简化式参数估计量 ，代入该参数关系体系，先由第2组方程计算得到内生解释变量的参数 ，然后再代入第1组方程计算得到先决解释变量的参数 。于是得到了结构方程的所有结构参数估计量。,将 分成两部分，一部分对应结构方程中包含的先决变量 ，另一部分对应结构方程中

33、未包含的先决变量 。,参数关系体系,间接最小二乘法参数估计的统计性质,对于简化式模型应用OLS法得到的参数估计量具有线性性、无偏性、有效性。 通过参数关系体系计算得到结构方程的结构参数估计量在小样本下是有偏的，在大样本下是渐进无偏的。,了解这个结论即可！,间接最小二乘法也是一种工具变量方法,ILS等价于一种工具变量方法：依次选择X作为（Y0,X0）的工具变量。 数学证明见计量经济学方法与应用（李子奈编著，清华大学出版社，1992年3月）第126128页。 估计结果为：,不要求掌握！,四、二阶段最小二乘法 (2SLS, Two Stage Least Squares),2SLS是应用最多的单方程

34、估计方法,IV和ILS一般只适用于联立方程模型中恰好识别的结构方程的估计。 在实际的联立方程模型中，恰好识别的结构方程很少出现，一般情况下结构方程都是过度识别的。为什么？（因为实际的联立方程计量经济学模型一般包含较多数目的结构方程和先决变量） 2SLS是一种既适用于恰好识别的结构方程，又适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。,2SLS的方法步骤,第一阶段：对内生解释变量的简化式方程使用OLS。得到：,用估计量 代替结构方程中的内生解释变量 ，得到新的模型：,教材P199，对于联立方程计量经济学模型（6.4.1）的第1个结构方程（6.4.3），由于内生解释变量Y0 是随机变量，不能直接用OL

35、S估计，但是对于Y0 简化式模型 可以使用OLS。,第二阶段：对该模型应用OLS估计，得到的参数估计量即为原结构方程参数的二阶段最小二乘估计量。,在应用二阶段最小二乘法的整个过程中，并没有涉及结构方程中内生解释变量和先决解释变量的数目，所有二阶段最小二乘法的应用与方程的识别状态无关，既可以用于恰好识别的结构方程，又可以用于过度识别的结构方程。,二阶段最小二乘估计量的统计性质：在小样本下是有偏的，在大样本下是渐近无偏的。由于二阶段最小二乘法也是一种IV法，它的估计量与IV估计量是等价的，所以具有相同的统计性质。,二阶段最小二乘法也是一种工具变量方法,如果用Y0的估计量 作为Y0工具变量，按照工具

36、变量方法的估计过程，应该得到如下的结构参数估计量：,可以严格证明两组参数估计量是完全等价的，所以可以把2SLS也看成为一种工具变量方法。证明过程见计量经济学方法与应用（李子奈编著，清华大学出版社，1992年3月）第130131页。,五、三种方法的等价性证明,上述三种单方程估计方法都适用于恰好识别的结构方程，对于同一个结构方程，选择不同的方法，应该得到相同的参数估计量等价性,三种单方程估计方法得到的参数估计量,可以看到，三种结果是用不同的工具变量方法得到的，区别仅在于工具变量选取不同。,IV与ILS估计量的等价性,在恰好识别情况下。 工具变量集合相同，只是次序不同。参考教材P201的详细解释。

37、正规方程组中方程的次序不同并不影响正规方程组的解。,2SLS与ILS估计量的等价性（在恰好识别情况下）,ILS的工具变量是全体先决变量X 2SLS选取X的线性组合作为结构方程中内生解释变量Y0的IV，选取X0作为自己的IV。 2SLS的每个IV都是全体先决变量的线性组合。 2SLS的正规方程组相当于ILS的正规方程组经过一系列的初等变换的结果二者参数估计量的正规方程组不同，见教材P201 线性代数方程组经过初等变换不影响方程组的解。（证明过程略！）,六、简单宏观经济模型实例演示,教材P202,模型,g1=2,k1=2; g2=2,k2=1 消费方程是恰好识别的，因为k-k1=g1-1=1；投资

38、方程是过度识别的，因为k-k2g2-1；模型是可以识别的。,下列演示中采用了1978-1996年的数据，与教科书不同。,首先判断模型的识别问题。请正确找出模型的内生变量（g=3)和先决变量(k=3含常数项）！,识别问题见教材P189, 数 据,用狭义的工具变量法估计消费方程,用消费方程中为包含的先决变量Gt作为内生解释变量Yt的工具变量,估计结果显示,在工具变量的样本数据直接可得时，TSLS是估计联立方程组最常用的方法，此时TSLS实质就是IV法。,用间接最小二乘法估计消费方程,根据估计得到简化式参数估计量 ，并计算参数关系体系，最后得到结构参数的ILS估计值。,C简化式模型估计结果,估计C简

39、化式中的,Y简化式模型估计结果,估计Y简化式中的,用两阶段最小二乘法估计消费方程,比较上述消费方程的3种估计结果，证明这3种方法对于恰好识别的结构方程是等价的。估计量的差别只是很小的计算误差。,代替原消费方程中的Yt，应用OLS估计（第1阶段）,第2阶段估计结果,工具变量YF的数据直接不可得，必须在第1阶段应用OLS估计得出。,用两阶段最小二乘法估计投资方程,投资方程是过度识别的结构方程，只能用2SLS估计。估计过程与上述2SLS估计消费方程的过程相同。得到投资方程的参数估计量为：,至此，完成了该模型系统的估计。,2SLS第2阶段估计结果,*七、主分量法的应用,方法的提出,主分量方法本身并不是

40、联立方程模型的估计方法，而是配合其它方法，例如2SLS使用于模型的估计过程之中。 数学上的主分量方法早就成熟，Kloek和Mennes于1960年提出将它用于计量经济学模型的估计。,2SLS是一种普遍适用的联立方程模型的单方程估计方法，但是当它在实际模型估计中被应用时，立刻就会遇到不可逾越的困难。其第一阶段用OLS估计简化式方程，是难以实现的。为什么？,方法的原理,所谓主分量方法，就是用较少数目的新变量重新表示原模型中较多数目的先决变量的方法。 例如，如果能够找到5个左右的新变量表示宏观经济模型中的30个先决变量，那么只需要15组以上的样本，就可以进行2SLS第一阶段的估计。,对充当主分量的变

41、量是有严格要求：一是它必须是先决变量的线性组合，二是它们之间必须是正交的。前一条是保证主分量对先决变量的代表性；后一条是保证主分量之间不出现共线性。,主分量的选取,用两个主分量表示两个原变量：,可以证明，a1、a2分别是XX的2个特征值对应的特征向量。,用k个主分量表示k个原变量：,同样可以证明，a1、a2、ak分别是XX的k个特征值对应的特征向量。,用f个主分量表示k个原变量：,选择a1、a2、af分别是XX的f个最大特征值对应的特征向量。,在2SLS中主分量的选取对于简化式方程：,主分量法在ILS中的应用,对于2SLS，直接利用主分量完成第一阶段的估计，得到内生解释变量的估计量。 对于IL

42、S，必须求得到简化式参数，进而计算结构式参数。 首先估计Y=Z+，然后将Z=XA代入，得到Y=X 中的估计量。,*八、k级估计式,k级估计式,本身不是一种估计方法，而是对上述几种方法得到的估计式的概括。 对于联立方程模型中的第1个结构方程：,k级估计式 为：,显然，当：k=0时，即为OLS估计式；k=1时，即为2SLS估计式；k等于有限信息估计方法中的时，即为有限信息估计式。,k级估计式的性质,假设工具变量与随机误差项不相关，即：,且先决变量与随机误差项不相关，即：,那么，容易证明k级估计式是一致性估计式。,工具变量与随机误差项不相关，对k是有限制的，必须有（证明见教科书）：,这就是说，只有在

43、2SLS或有限信息估计方法中，k级估计式是一致性估计式，而在OLS方法中，不具有一致性。,6.5联立方程计量经济学模型若干问题的讨论,一、模型估计方法的比较 二、为什么普通最小二乘法被普遍采用 三、联立方程模型的检验,一、模型估计方法的比较,联立方程模型的应用目的不同，对参数估计量的统计性质有不同的要求，那么，对不同估计方法的统计特征进行比较研究就很重要。,大样本估计特性的比较,在大样本的情况下，各种参数估计方法的统计特性可以从数学上进行严格的证明，因而也可以将各种方法按照各个性质比较优劣。 按渐近无偏性比较优劣：除了OLS方法外，所有方法的参数估计量都具有大样本下渐近无偏性。因而，除了OLS

44、方法最差外，其它方法无法比较优劣。,按渐近有效性比较优劣（各种方法的排序如下）：OLS 非一致性估计，未利用任何单方程外的信息；IV 利用了模型系统部分先决变量的数据信息；2SLS，LIML利用了模型系统全部先决变量的数据信息；3SLS，FIML利用了模型系统全部先决变量的数据信息和结构方程相关性信息。,小样本估计特性的Monte Carlo试验,参数估计量的大样本特性只是理论上的，实际上并没有“大样本”，所以，对小样本估计特性进行比较更有实际意义。 而在小样本的情况下，各种参数估计方法的统计特性无法从数学上进行严格的证明，因而提出了一种Monte Carlo试验方法。 Monte Carlo

45、试验方法在经济实验中被广泛采用。,小样本估计特性的Monte Carlo试验过程：第一步：利用随机数发生器产生随机项分布的一组样本；第二步：代入已经知道结构参数（这是真实参数值）和先决变量观测值的结构模型中；第三步：计算内生变量的样本观测值；,简单了解即可！,第四步：选用各种估计方法估计模型的结构参数。上述步骤反复进行数百次，得到每一种估计方法的参数估计值的序列。第五步：对每种估计方法的参数估计值序列进行统计分析；第六步：与真实参数（即试验前已经知道的结构参数）进行比较，以判断各种估计方法的优劣。,小样本估计特性实验结果比较无偏性OLS 2SLS 3SLS（LIML，FIML）,最小方差性（即

46、有效性）LIML 2SLS FIML OLS,最小均方差性OLS LIML 2SLS 3SLS（FIML）,OLS具有最好的最小方差性,尽管OLS具有最小方差性，但是它是有偏的，偏离真实值最为严重，所以它的最小均方差性也是最差的。,二、为什么普通最小二乘法被普遍采用, 小样本特性,在小样本的情况下，各种参数估计方法的统计特征无法从数学上进行严格的证明。而Monte Carlo试验方法毕竟只是一个经验性结论。 所以，从理论上讲，在小样本情况下，各种估计方法的估计量都是有偏的。,看看已有的关于联立方程计量经济学模型的研究成果，包括一些著名的得到很好应用的模型，相当多地采用普通最小二乘法进行其参数估

47、计。 为什么？, 充分利用样本数据信息,除OLS之外的其它估计方法可以部分地或者全部地利用某个结构方程中未包含的先决变量的数据信息，从而提高参数估计量的统计性质。但是其前提是所有变量具有相同的样本容量。 在实际上变量经常不具有相同的样本容量。 采用先进估计方法所付出的代价经常是牺牲了该方程所包含的变量的样本数据信息。 这一得一失很难判断。请细读教材P211-212的例子。, 确定性误差传递,确定性误差：结构方程的关系误差和外生变量的观测误差。 采用OLS方法，当估计某一个结构方程时，方程中没有包含的外生变量的观测误差和其它结构方程的关系误差对该方程的估计结果没有影响。 如果采用2SLS方法 如

48、果采用3SLS方法,产生影响！, 样本容量不支持,实际的联立方程模型中每个结构方程往往是过度识别的，适宜采用2SLS或3SLS方法，但是在其第一阶段要以所有先决变量作为解释变量，这就需要很大容量的样本。实际上是难以实现的。, 实际模型的递推（Recurred）结构,应用中的联立方程模型主要是宏观经济计量模型。 宏观经济计量模型一般具有递推结构。 具有递推结构的模型可以采用OLS。,补充：递推模型（Recursive Model ）,三、联立方程模型的检验,包括单方程检验和方程系统的检验。 凡是在单方程模型中必须进行的各项检验，对于联立方程模型中的结构方程，以及应用2SLS或3SLS方法过程中的

49、简化式方程，都是适用的和需要的。 我们着重介绍模型系统的检验。,拟合效果检验,对于联立方程计量经济学模型当结构参数估计量已经得到，并通过了对单个方程的检验之后，有 (*) 将样本期的先决变量观测值代入(*)，求解（常使用迭代法）该模型系统，得到内生变量的估计值 。 将估计值与实际观测值进行比较，据此判断模型系统的拟合效果。,模型系统的检验主要包括：,当RMSi=0，表示第i个内生变量估计值与观测值完全拟合。 一般地，在g个内生变量中，RMS5%的变量数目占70%以上，并且每个变量的RMS不大于10%，则认为模型系统总体拟合效果较好。,常用的判断模型系统拟合效果的检验统计量是“均方百分比误差”，用RMS表示。,