1、XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 1高级宏观经济学笔记 (v1.0) 徐 高 12003年11月 1Xu_ XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 2第一部分 经济增长 1Solow增长模型 ()()(),()( tLtAtKFtY = (1.1) 此式可写为：)(kfy = 2)()( tnLtL =&, )()( tgAtA =&, )()()( tKtsYtK =&(1.2) 则 ()( )()()( tkgntksftk +=&(1.3) 实际投资sf(k)持平投资(n+g+)kk*每有效劳力的投资k图1.1 Solow增长模型 黄金率： ( )*)( kgnkfc += (
2、1.4) ()()sgnskgngnskfsc+= ),(),(* 黄金水平的资本存量*GRk应使 ( ) += gngnskfGR),(*(1.5) 数量分析之长期的影响： ( ) () ),(),(* gnskgngnsksf += ()skgnkfskkfs+=+*)()( 2其中：ALKk = , ALYy = , ( )1,)( KFkf =。)(kf满足稻田（Inada）条件：=)(lim0kfk及0)(lim =kfkXGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 3 ()()(*kfsgnkfsk+=(1.6) ()()()()(*kfsgnkfkfskkfsy+=(1.7) 又 )
3、()()(*kfkfkkK= 为在*kk =时的资本产出弹性， 在*kk =时 ()*)( kgnksf += 故() )(1)()()(1)()()()()()(*kkkfkfkkfkfkkfsgnkfkfkfssyysKK =+=(1.8) 数量分析之收敛速度： 资本存量的增长速度是资本存量的函数，写为)(kkk&= 将其在*k处展开成一阶泰勒级数为()*)(kkkkkkkk=&(1.9) 令()*kkkkk=& 则 () ( ) *ktktk = &(1.10) () () *0 kkektkt+()()( )()()()(*kfkfkgngngnkfskkkkk+=+=& () +=
4、gnkK)(1*(1.1) 由上二式可以估算收敛的速度。 增长计量（Growth Accounting）： )()()()()()()()()()( tAtAtYtLtLtYtKtKtYtY&+= (1.12) )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(tAtAtAtYtYtAtLtLtLtYtYtLtKtKtKtYtYtKtYtY&+= )()()()()()()( tRtLtLttKtKtLK+& (1.13) XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 4)()()()()()()()()()(tRtLtLtKtKttLtLtYtYK+=& 3(1.1
5、4) 运用上式可以将每人的增长分解为资本增长的贡献和“Solow剩余”。 2Ramsey-Cass-koopmans模型 2.1 假设 厂商：有大量同样的厂商，每一厂商的生产函数均为Y=F(K,AL)。生产函数的设定与Solow模型中相同。见式(2.2)(2.3)及注释1，但资本折旧为零。 家庭：家庭的效用函数为 dtHtLtCueUtt)()(0=(2.1) =1)()(1tCtCu 4，0，( ) 01 gn (2.2) )(tC是每人的消费，)(tL是经济体中的总人口，H是经济中的家庭数，为贴现率。 2.2 厂商与家庭的行为 厂商：真实利息率为 )(),()( tkfKALKFtr =
6、(2.3) 真实工资率为 )()()()(),()( tkftktkftALALKFtW = (2.4) 每有效劳力(effective labor)的工资为 )()()()()()( tkftktkftAtWtw = (2.5) 家庭的预算约束： =+0)(0)()()()0()()(ttRttRdtHtLtWeHKdtHtLtCe (2.6) 其中=tdrtR0)()( 在时刻s家庭的资本拥有量为 =+=0)()()()()()()0()(ttRsRsRdtHtLtCtWeHKeHsK(2.7) 则家庭的预算约束又可写为 0)(lim)(HsKesRs(2.8) 家庭的效用最大化： 3这里
7、的推导用到了1)()( =+ ttKL 4这种效用函数被称为Constant-relative-risk-aversion（或CRRA）效用函数 XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 5设)(tc为每有效劳力的消费，则每人的消费)()()( tctAtC =，则 ()=1)()0(1)()0(1)()(1)(1111111tceAtceAtctAtCgtgt(2.9) 将上式带入效用函数(2.1)得 ()=0111011)()0()0()(1)(tntgttttdttceeeHLAdtHtLtCeU=011)(ttdttce(2.10) 其中HLAB )0()0(1 ， ( )gn 1 将
8、(2.5)式除以HLA )0()0(可得新的预算约束为 () ()=+=+0)(0)()()0()(ttgntRttgntRdtetwekdtetce(2.1) 家庭的行为： 家庭选择)(tc的路径以最大化在(2.11)约束下的效用(2.10)。 建立Lagrangian函数如下求解最大化问题 =011)(ttdttceBL () ()+=+=+0)(0)()()()0(ttgntRttgntRdtetcedtetwek (2.12) 由一阶条件可得5()tgntRteetcBetcL+=)()(0)(2.13) 对上式(2.13)取对数得 () ()tgndrtgntRtctBt+=+=0)
9、(ln)(ln)(lnln (2.14) 将上式(2.14)左右两边对t求导得 ()gntrtctc+= )()()(& (2.15) 即 gtrgntrtctc =)()()()(&(2.16) 5这里采用的方法，即不考虑积分符号，有些不正规。正规的做法应采用变分法，但在这里变分法实际上简化成了我们这里使用的方法。 XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 62.3 经济体的动态 c的变化： 由于所有的家庭都是一样的，故式(2.16)实际上显示了整个经济体的消费的变化。 将利息的表达式(2.3)带入(2.16)得 gtkftctc =)()()(&(2.17) k的变化： k的变化应为实际投
10、资减去持平投资(n+g)k ()()()()( tkgntctkftk +=&(2.18) dc/dt=0dk/dt=0Ekck(0) k*E1E2saddle pathk*1贴现率下降政府购买永久增加图2.1 k、c的变化，鞍线及贴现率及政府购买的影响 经济的动态： 经济的动态可由图2.1显示。令0=c&及0=k&可分别得到图中的竖线和弧线。图中的红色箭头显示了c与k的变化趋势。任给经济体的初始资本存量（每有效劳力），由图中可见，消费只能取k(0)线与鞍线交点处的值，否则经济体会要么资本趋向于零，要么消费趋向于零。最终，经济体会收敛到E点的平衡状态上，c与k再也不发生变化，达到平衡增长路径。
11、 2.4 平衡增长路径 福利: 由于Ramsey-Cass-Koopmans模型的条件满足第一福利公理，因此，在该模型中的均衡是帕累拖有效的（Pareto-efficient）。 平衡增长路径的特征 XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 7当Ramsey-Cass-Koopmans模型收敛到E点时，模型的表现行为与Solow模型一致。每有效劳力的资本、产出和消费保持不变；总资本、总产出和总消费以(n+g)的速率增长；人均的资本、产出和消费以g的速率增长。 黄金率的资本存量（Golden-Rule Level of Capital） 在Ramsey-Cass-Koopmans模型中，资本存量
12、高于黄金率水平的平衡增长路径是不可能的。由第一章的式(1.5)可知： gngnkfGR+=+= )(6(2.19) 将0=c&带入(2.17)式可得 gkf += )(*(2.20) (2.20)式减去(2.19)式并带入(2.2)式中的假设得 ()01)()(*= gnkfkfGR (2.21) 又)(f是减函数，故 GRkk ， 1 (3.1) 其它假设有),(ttttLAKFY =，( )11+=ttAgA，)(ttkfr =，)()(ttttkfkkfw = 每人在其生命的第一阶段挣钱并消费，在第二阶段消费其前一阶段剩余的财富及财富所得的利息。 3.2 家庭的行为 出生于t的人的第二阶
13、段的消费为 ()( )tttttCAwrC11121 +=+(3.2) 即 tttttwACrC =+121111(3.3) 家庭要最大化其在(3.3)约束下的效用(3.1) +=+121111211111111tttttttCrCwACCL (3.4) 一阶条件为 =ttCC110L(3.5) 1121211110+=+=tttrCCL(3.6) 解得 1111211+=+ tttrCC(3.7) 将上式(3.7)带入约束(3.3)得 ( )()()()ttttwArC+=11111111(3.8) 则收入中被存起来的比例为 ( )()()()+=111111)(rrs (3.9) XGs“
14、高级宏观经济学(2e)”学习笔记 9则 ttttwArsC )(111 += (3.10) 3.3 经济体的动态 k的变化： tttttwALrsK )(11 += (3.1) 将上式左右同除以11 + ttLA得 ()()trtwrsgnk )(11111 += (3.12) 再带入1+tr与tw的表达示得 ()()()()(11111 tttttkfkkfkfsgnk +=+(3.13) 上式(3.13)表明了1+tk是tk的隐函数。当tk达到ttkk =+1时达到平衡状态，k再不改变。 对数效用函数与Cobb-Douglas生产函数 设 +=21)(1 srs 设 () kwkkf =
15、1)( 则 ()()()ttkgnk +=+1211111(3.14) 在此简化条件下，经济体动态可由图2.2表示。 XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 10k0k1k1k2k*Old ktkt+145贴现率下降政府购买的永久上升k*New1k*New2图2.2 k的变化及贴现率和政府购买的影响 3.4 贴现率与政府购买的影响 如图2.2所示，贴现率的下降和政府购买的永久上升分别表现为曲线的上升和下降。 4研发模型 4.1 分析框架与假设 需要将研发（R&D）部门及技术的进步率内生如模型中。7()() =1)(1)()(1)( tLatAtKatYLK， 10 B，0，0 (4.2) )
16、()( tsYtK =&(4.3) )()( tnLtL =&， 0n (4.4) 7在这个模型中有两个重要的简化。第一，研发部门和生产部门均为标准化的Cobb-Douglas生产函数；第二，储蓄率、投入研发部门的资本比例和劳力比例均外生且恒定，分别为s、aK和aL。 XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 114.2 知识与资本的变化 将(4.1)带入(4.3)得 ()()=111)()()(11)( tLtAtKaastKLK&(4.5) 将上式除以K(t)，并设( ) ( ) 111LKKaasc得 =1)()()()()()(tKtLtActKtKtgKK&(4.6) 对上式求对数并
17、对时间求导得 ()()(1)()(tgntgtgtgKAK+= &(4.7) 同理，(4.2)除以A(t)，并设LKAaBac 1)()()()()()(=tAtLtKctAtAtgAA&(4.8) 求对数并对时间求导得 ()(1)()()(tgntgtgtgAKAA+= &(4.9) 分别将0)( =tgK&与0)( =tgA&带入式(4.7)与(4.9)得 nggAK+= ， nggAK=1(4.10) (dgK/dt0)n0gAgKgKgA0-n/dgA/dt=0(dgA/dt0)(dgA/dt ，经济体将会最终收敛到E点。可以解出，在E点 ()ngA+=1*， nggAK+=*(4.1
18、) 在这种情况下，当经济达到平衡状态，储蓄率s，投入R&D的资本和人力比例aK和aL均对长期增长没有任何影响。 gKgKgAgA0 0nndgA/dt=0dgA/dt=0dgK/dt=0dgK/dt=0-n/-n/g*Kg*AE(a)+1图4.2 1+时的相图 第二种情况：1+ 如图4.2(b)所示。在此时，经济体将最终进入两直线所夹的区域。资本和知识的增加速度会越来越快，直至无穷大。在这种情况下储蓄率s的增大会使经济的发展速度更大。 第三种情况：1=+ 当n不为零时，见图4.3（a）。此时的情况与1+情况类似。 当n为零时，两直线重合，见图4.3（b）。在这种情况下经济体将会收敛到一个平衡的
19、增长路径上（收敛到直线上）。但具体将是哪个路径（直线上的哪一点）则无法得知。 XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 13gKgKgAgA0 0ndgA/dt=0dgK/dt=dgA/dt=0dgK/dt=0-n/(a)(b)图4.3 1=+时的相图 4.3 “干中学”与AK模型 干中学：知识的积累是一般的生产活动的副产物。 =1)()()()( tLtAtKtY (4.12) )()( tBKtA =， 0B， 0 (4.13) 式(4.12)(4.13)与描述资本和劳力积累的式(4.3)(4.4)一起刻画了这个经济的特征。 将(4.13)代入(4.12)得 ( ) =111)()()()
20、( tLtKBtKtY (4.14) () =111)()()()( tLtKtKsBtK&(4.15) 与4.2节中的分析类似，这里的增长情况也可由( ) + 1与1的大小关系（等价于与1的大小关系）分为三类：1时，将会有爆炸性的增长；1=时，如果n0则为爆炸性增长，如n=0，则式（4.14）化为 )()( tbKtY =， 11LBb (4.16) )()( tsbKtK =&(4.17) 这是又一个长期增长内生并决定于s的模型。一般将此模型中的b写成A，称此模型为“Y=AK”模型（AK模型）。 XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 145国家间的收入差距 经济增长研究的一个根本的目标
21、就是理解在不同国家间人均收入的巨大差异。 5.1 扩展的Solow模型：包含人力资本 假定： =1)()()()( tHtAtKtY (5.1) 其中Y，K与A与Solow模型中的设定一样。H是所有工人提供的总的劳力服务（labor service）。其中即包括原始劳力（raw labor，人天生就有的能力），以及人力资本（human capital，后天习得的技能）。 )()()( tKtsYtK =&(5.2) )()( tgAtA =&， )()( tnLtL =&(5.3) 为了简化，假定所有的工人都受了相同年限E的教育 )()()( EGtLtH = (5.4) 其中)(G是人力资本
22、受教育年限E影响的函数。8EeEG=)(， 0 (5.5) 模型的分析： 定义k、y分别为每有效劳力服务的物质资本量和产出 )()()()()(tLEGtAtKtk = (5.6) )()()()()()(tLEGtAtYtkfty = (5.7) ()( ) ( ) )()()()()( tkgntsktkgntksftk +=+=&(5.8) 经济体将收敛至0=k&，此时 +=11*gnsk (5.9) 在平衡增长路径上，人均产出将以g的速率增长。 此模型中，s变化的影响与Solow模型中完全一样。 在平衡增长路径上，E的增长对人均产出的影响幅度与它对G(E)的影响幅度一样。 80)( G
23、，0)( b (6.2) 110)(,)0(,0,0 =sL (7.23) XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 27该模型的推论是真实工资是顺周期的，加成（产品的价格和边际成本的比率，markup）是反周期的。 情况三：粘性价格，灵活工资，劳动力市场的真实不完美 设劳动力市场中有一些非瓦尔拉斯因素，使实际工资高于劳动力市场的出清价格。 )(LwPW=， 0)( w (7.24) 情况四：粘性工资，灵活价格，与不完全竞争 由于市场的不完全竞争，商品的价格在其边际成本的基础上有一个加成。 )()(LFWLP= (7.25) 其中是加价率，)(LFW 为边际成本。 由)()( LLF 的大小不
24、同，劳动力市场中的劳动力需求曲线既可能向右下倾斜，也可能水平，也有可能向右上倾斜（横坐标为L，纵坐标为PW）。 7.4 Philips曲线和总供给曲线 Philips 1958年发现，失业与名义工资变化率之间存在显著的负相关性。可表示为： =NNNWWWtttt11(7.26) N表示充分就业人数。Wt和Nt分别表示第t期的工资和就业水平。 由Philips曲线导出总供给曲线 设生产函数为 ttANY = (7.27) 则真实工资为 =ttttttNYNYPW (7.28) 对（7.27）、（7.28）两式取对数得（小写字母为相应大写字母的自然对数）： ttnAy += ln nAy += l
25、n (7.29) ttttnypw += ln (7.30) 由()XX +1ln可知，Philips曲线（7.26）式可以写为： NNNNNWWWWWtttttttlnln111( )nnwwttt=1(7.31) 由（7.29）（7.30）和（7.31）三式可得： XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 28()()yyyypptttt= 11 (7.32) 其中() += 1，( ) = 1，y为实现充分就业时的产出水平的对数形式。设1tttpp为第t期的通货膨胀率。则（7.32）式在省略了不重要的常数项后可以写为 tty = (7.33) 上式（7.33）通常被称为“准Philips
26、曲线”（Quasi Philips Curve）。表明了产出与通货膨胀之间的关系。由于1tp也是一个外生给定的常数，（7.33）可进一步改写为 ttyp = (7.34) （7.34）式即是向上倾斜的总供给曲线。 附加预期的Philips曲线 Friedman指出，人关心的不是名义工资，而是实际工资。Philips曲线应为 =NNNPWPWPWtttttett1111(7.35) 令( ) ()XPWPWttett= 11，利用1ln XX可将（7.35）式改写为 ()11 +=tettttppnnww (7.36) 上式（7.36）被称为“附加预期的Philips曲线”（Expectatio
27、ns-Augmented Philips Curve）。类似（7.33）式的推导，可以从（7.36）式推出“附加预期的总供给曲线”为 etttpyp += (7.37) 确定预期通货膨胀率的形成和变化方式是判断Philips曲线位置的关键。 适应性预期假说：行为人可以从预期的错误中吸取教训，并对未来的预期进行适当的调整。则 ( )ettetetppapp111 =， 0a (7.38) 即 ()ettetpaapp111+= (7.39) 递归消去etp1后可得 ()=1111tiiitetpaap (7.40) 在1etp，附加预期时均衡状态下的产出和价格将分别低于和高于忽略预期时的水平。
28、就长期而言，稳态中的预期价格水平和预期通货膨胀率将不再发生变化。根据（7.38）式，此时的适应性预期已转变为完美预期。以式（7.35）的Philips曲线为例，稳态中的实际工资为一常数。由tetpp =可解出失业率恒为0，Philips曲线为垂直。垂直的Philips曲线所代表的失业率又被称为“自然失业率”。自然失业率的一个推论是长期的产出水平与通货膨胀率或价格水平无关，即长期的Philips曲线和总供给曲线也是一条垂线。 自然失业率假说与其推论被统称为自然率假说。它彻底否定了长期内失业与通货膨胀之间的替代关系，等于宣判了凯恩斯式的需求政策的无效。 通过计量检发现，美国的数据支持自然率假说，而
29、英国的数据则正相反。 8不完全名义调整的微观基础 名义工资和价格的缓慢调整是凯恩斯模型的中心。本章中给出三中解释。在A部分的模型中，生产者没有观察到总体价格水平，因此他们在不具有商品相对价格的完全知识下作出生产的决定，造成名义的不完美（nominal imperfection）。在B部分的模型中，由于并非所有的价格和工资都是在同时调整，所以货币的冲击会产生真实的影响。在C部分的模型中，货币的真实影响来源于名义调整中的小摩擦。 A部分 Lucas不完美信息模型 8.1 完美信息的情况 生产者的行为 在经济中有许多不同的产品。对一个生产产品i的代表性生产者而言，其个人生产XGs“高级宏观经济学(2
30、e)”学习笔记 30函数为 iiLQ = (8.1) 其中iL为劳动量，iQ为产量。个人的消费为 PLPPQPCiiiii= (8.2) 其中P为所有商品的价格指数。 iiiiiiLPLPLCU11=， 1 (8.3) 由效用函数的一阶条件（FOC）可得 11=PPLii或 ()pplii=11(8.4) 其中小写字母代表相应大写字母的对数。 需求 设对第i种商品的生产者的平均需求为 ()ppzyqiii+= ， 0 (8.5) 其中，y为总实际需求的对数，iz为对商品i的需求冲击，为每种商品的需求弹性。对所有商品而言，iz具有零均值。 iqy =， ipp= (8.6) 模型的总需求为 pmy = (8.7) 均衡 由（8.4）及（8.5）可得 () ()ppzyppiii+= 11(8.8) 解出 ()pzypii+=11(8.9) 对上式两边求均值，并注意iz的均值为零，得 pyp +=11(8.10) 因此，均衡状态时有 0=y (8.1) 代入总需求（8.7）式有 pm= (8.12)
