1、浙江省 2012 届高三数学二轮复习专题训练：点、直线、平面之间的位置关系I 卷一、选择题1下列命题中不正确的是 ( ）A若 lBblAalba则， ,B若 c， ，则 C若 ， ， ，则 D若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外【答案】D2设 m， n 是平面 内的两条不同直线， l1， l2是平面 内的两条相交直线，则 的一个充分而不必要条件是( )A m 且 l1 B m l1且 n l2C m 且 n D m 且 n l2【答案】B3高为 的四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，点 S、 A、 B、 C、 D 均在半径为 1 的2同一球面上，则底面 ABCD
2、 的中心与顶点 S 之间的距离为( )A B 102 2 32C D32 2【答案】A4正方体 ABCD A1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为( )A B23 33C D23 63【答案】D5设 m， n是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出一列四个命题：若 ,/，则 n；若 ， ， ,则 m；若 ,/mn，则 /；若 ， ，则 .其中正确命题的序号是A和 B和 C和 D和【答案】A6已知 m、 n 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A m ， n ， m ， n B ， m ， n m nC m ， m nn D n m，
3、 n m 【答案】D7 已知直线 l与平面成30角，则在内 ( ） A没有直线与 l垂直 B至少有一条直线与 l平行 C一定有无数条直线与 l异面 D有且只有一条直线与l共面【答案】C8设 l、 m、 n 为不同的直线， 、 为不同的平面，则正确的命题是( )A若 ， l ，则 l B若 ， ，则 lC若 l m， m n，则 l nD若 m ， n 且 ，则 m n【答案】D9已知 ,是两条不同直线， 、 是两个不同平面，下列命题中的假命题是 ( )A若 n/,/则B若 n则,/C若 ,则mD若 则m【答案】A解析：由 /,n无法得到 m，n 的确切位置关系.10 设 是两条不同的直线， ,
4、是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m， /，则 若 /， /， m，则 若 /， n，则 mn/ 若 ， ，则 /其中正确命题的序号是 ( )A和 B和 C和 D和【答案】A11设 m、 n是不同的直线， 、 、 是不同的平面，有以下四个命题：（1）/(2） /m（3） /m（4） /mn，其中，假命题是（ ）A （1） （2） B （2） （3） C （1） （3） D （2） （4）【答案】D12给出互不相同的直线 m、 n、 l 和平面 、 ，下列四个命题：若 m ， l A， Am，则 l 与 m 不共面；若 m、 l 是异面直线， l ， m ，且 n l， n m，则 n ；
5、若 l ， m ， l m A， l ， m ，则 ；若 l ， m ， ，则 l m.其中真命题有( )A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【答案】BII 卷二、填空题13 若 OA O1A1， OB O1B1，则 AOB 与 A1O1B1的关系是_【答案】相等或互补14下面四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB 平面 MNP 的图形序号是 (写出所有符号要求的图形序号） 【答案】15给出命题：在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；设 l， m 是不同的直线， 是一个平面，若 l ， l m，则 m ；已知 ， 表示两个不同平面， m
6、 为平面 内的一条直线，则“ ”是“ m ”的充要条件；若点 P 到三角形三个顶点的距离相等，则点 P 在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心； a， b 是两条异面直线， P 为空间一点，过 P 总可以作一个平面与 a， b 之一垂直，与另一个平行其中正确的命题是_(只填序号)【答案】16给出命题：在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；设 l， m 是不同的直线， 是一个平面，若 l ， l m，则 m ；已知 ， 表示两个不同平面， m 为平面 内的一条直线，则“ ”是“ m ”的充要条件；若点 P 到三角形三个顶点的距离相等，则点 P 在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心；
7、a， b 是两条异面直线， P 为空间一点，过 P 总可以作一个平面与 a， b 之一垂直，与另一个平行其中正确的命题是_(只填序号)【答案】三、解答题17如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形， E、 F 分别为 PC、 BD 的中点，侧面 PAD底面 ABCD，且 PA PD AD.22(1)求证： EF平面 PAD；(2)求证：平面 PAB平面 PCD.【答案】(1)连结 AC，则 F 是 AC 的中点， E 为 PC 的中点，故在 CPA 中， EF PA，又 PA平面 PAD， EF平面 PAD， EF平面 PAD.(2)平面 PAD平面 ABCD
8、，平面 PAD平面 ABCD AD，又 CD AD， CD平面 PAD， CD PA.又 PA PD AD，22 PAD 是等腰直角三角形，且 APD ，即 PA PD. 2又 CD PD D， PA平面 PCD.又 PA平面 PAB，平面 PAB平面 PCD.18如图，在三棱锥 P ABC 中， AB AC， D 为 BC 的中点， PD平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD上，已知 BC8， PO4， AO3， OD2.(1)证明： AP BC；(2)在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A MC B 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由【答案】方法一：(1)证
9、明：如右图，以 O 为原点，以射线 OD 为 y 轴的正半轴，射线 OP 为 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O xyz.则 O(0,0,0)， A(0，3,0)， B(4,2,0)， C(4,2,0)， P(0,0,4)，(0,3,4)，(8,0,0)，由此可得0，所以，即 AP BC.(2)解：假设存在满足题意的 M，设 ， 1，则 (0，3，4) (4，2,4) (0，3，4)(4，23 ，44 )，(4,5,0)设平面 BMC 的法向量 n1( x1， y1， z1)，平面 APC 的法向量 n2( x2， y2， z2)由得Error!即Error! 可取 n1(0,1， )2
10、34 4由即Error! 得Error!可取 n2(5,4，3)由 n1n20，得 43 0，2 34 4解得 ，故 AM3.25综上所述，存在点 M 符合题意， AM3.方法二：(1)证明：由 AB AC， D 是 BC 的中点，得 AD BC.又 PO平面 ABC，所以 PO BC.因为 PO AD O，所以 BC平面 PAD，故 BC PA.(2)解：如下图，在平面 PAB 内作 BM PA 于 M，连接 CM.由(1)知 AP BC，得 AP平面 BMC.又 AP平面 APC， 所以平 BMC平面 APC.在 Rt ADB 中， AB2 AD2 BD2( AO OD)2( BC)241
11、，得 AB 12 41在 Rt POD 中， PD2 PO2 OD2，在 Rt PDB 中， PB2 PD2 BD2，所以 PB2 PO2 OD2 DB236，得 PB6.在 Rt POA 中， PA2 AO2 OP225，得 PA5.又 cos BPA ，PA2 PB2 AB22PAPB 13从而 PM PBcos BPA2，所以 AM PA PM3.综上所述，存在点 M 符合题意， AM3.19如图，在空间四边形 ABDP 中， AD ， AB ， AB AD， PD ，且 PD AD AB， E 为 AP中点(1)请在 BAD 的平分线上找一点 C，使得 PC平面 EDB；(2)求证：
12、ED平面 EAB.【答案】(1)设 BAD 的平分线交 BD 于 O，延长 AO，并在平分线上截取 AO OC，则点 C 即为所求的点证明：连接 EO、 PC，则 EO 为 PAC 的中位线，所以 PC EO，而 EO平面 EDB，且 PC平面 EDB， PC平面 EDB.(2) PD AD， E 是边 AP 的中点， DE PA又 PD (平面 ABD)， PD AB，由已知 AD AB， AB平面 PAD，而 DE平面 PAD， AB DE由及 AB PA A 得 DE平面 EAB.20一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中 M、 N 分别是 AF、 BC 的中点)(1)求证： MN平
13、面 CDEF；(2)求多面体 A CDEF 的体积【答案】由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱 ADE BCF，且 AB BC BF2， DE CF2 ， CBF 2 2(1)证明：取 BF 的中点 G，连结 MG、 NG，由 M、 N 分别为 AF、 BC 的中点可得， NG CF， MG EF，平面 MNG平面 CDEF，又 MN平面 MNG， MN平面 CDEF.(2)取 DE 的中点 H. AD AE， AH DE，在直三棱柱 ADE BCF 中，平面 ADE平面 CDEF，平面 ADE平面 CDEF DE. AH平面 CDEF.多面体 A CDEF 是以 AH 为高，以
14、矩形 CDEF 为底面的棱锥，在 ADE 中， AH 2S 矩形 CDEF DEEF4 ，2棱锥 A CDEF 的体积为V S 矩形 CDEFAH 4 13 13 2 2 8321如图，在四面体 ABOC 中， OC OA， OC OB， AOB120，且 OA OB OC1.(1)设 P 为 AC 的中点，证明：在 AB 上存在一点 Q，使 PQ OA，并计算 的值ABAQ(2)求二面角 O AC B 的平面角的余弦值【答案】解法一：(1)证明：在平面 OAB 内作 ON OA 交 AB 于 N，连结 NC.又 OA OC， OA平面 ONC. NC平面 ONC， OA NC.取 Q 为 A
15、N 的中点，则 PQ NC. PQ OA.在等腰 AOB 中， AOB120， OAB OBA30.在 Rt AON 中， OAN30. ON AN AQ.12在 ONB 中， NOB1209030 NBO， NB ON AQ. 3.ABAQ(2)连结 PN、 PO.由 OC OA， OC OB 知： OC平面 OAB.又 ON平面 OAB， OC ON.又由 ON OA 知： ON平面 AOC. OP 是 NP 在平面 AOC 内的射影在等腰 Rt COA 中， P 为 AC 的中点， AC OP.根据三垂线定理，知： AC NP. OPN 为二面角 O AC B 的平面角在等腰 Rt CO
16、A 中， OC OA1， OP 22在 Rt AON 中， ON OAtan30 33在 Rt PON 中，PN ，OP2 ON2306cos OPN POPN22306 155解法二：(1)证明：取 O 为坐标原点，分别以 OA， OC 所在的直线为 x 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz(如图所示)则 A(1,0,0)， C(0,0,1)， B( ， ，0)12 32 P 为 AC 中点， P( ，0， )12 12设 ( (0,1)，( ， ，0)，32 32(1,0,0) ( ， ，0)(1 ， ，0)32 32 32 32( ， ， )12 32 32 12 PQ OA，0
17、，即 0， 12 32 13存在点 Q( ， ，0)使得 PQ OA 且 3.12 36 ABAQ(2)记平面 ABC 的法向量为 n( n1， n2， n3)，则由 n， n，且(1,0，1)，得Error! 故可取 n(1， ，1) 3又平面 OAC 的法向量为 e(0,1,0)，cos n， e (1， r(3)， 1)(0， 1， 0)51 35二面角 O AC B 的平面角是锐角，记为 ，则 cos 15522如图，已知三棱锥 ABPC 中，APPC， ACBC，M 为 AB 中点，D 为 PB 中点，且PMB 为正三角形。(1）求证：DM平面 APC； (2）求证：平面 ABC平面
18、 APC；(3）若 BC=4，AB=20，求三棱锥 DBCM 的体积【答案】 （1）由已知得， MD是 ABP 的中位线 APMDAPCD面面 ,面(2） PB为正三角形，D 为 PB 的中点 B，又 A, 面 C面BAP又 B, C面 面平面 ABC平面 APC (3）由题意可知， PBMD面， D是三棱锥 DBCM 的高，7103ShVDBCM23如图，棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 为菱形， AC BD O，侧棱 AA1 BD，点 F 为 DC1的中点(1)证明： OF平面 BCC1B1；(2)证明：平面 DBC1平面 ACC1A1.【答案】(1)四边形 ABCD 为菱形且 AC BD O， O 是 BD 的中点又点 F 为 DC1的中点，在 DBC1中， OF BC1， OF平面 BCC1B1， BC1平面 BCC1B1， OF平面 BCC1B1.(2)四边形 ABCD 为菱形， BD AC，又 BD AA1， AA1 AC A，且 AA1， AC平面 ACC1A1， BD平面 ACC1A1. BD平面 DBC1，平面 DBC1平面 ACC1A1.24如图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB BB1 BC， AC1平面 A1BD， D 为 AC 的中点
