1、2013 年高考函数客观压轴题的多解或妙解廖东明函数是高中数学的核心内容，它最能体现高中数学的综合性、灵活性高考试题中的函数客观压轴题，凝聚着命题者的智慧、独创性，也能淋漓尽致地考生综合运用知识和数学思想方法、新颖独到化难为易的解决问题的能力一、分段函数与含参不等式交融问题【例 1】 （2013 年高考新课标全国卷 I 文第 12 题理第 11 题）已知若 ，则 的取值范围是（ ）2,0()ln).xf|()|fxaA B C D,12,12,0【分析】利用函数 与 的图象数形结合分类|()|yfy讨论求解；或者分类讨论将不等式 的绝对值符号脱|fx去并利用相关知识求解【解法 1】 （数形结合
2、与分类讨论结合） 的图象如|()|fx图所示， 为过原点的一条直线依题意，直线 在yax ya函数 的图象的下方或有公共点当 时，显然不|()|f0满足（即使 很小，当正数 充分大时，直线 与 的图象相交之后位于x|()|f图象的上方） 当 时显然满足当 时，找 与| 0ax2|yx（ ）相切的情形，联立消去 得 ，由 解2x0y20xa()0a得 ，数形结合知 时满足条件综上， ，选 Da2,),【解法 2】 （分类讨论与代数法结合）当 时，不等式 即0|()|f，由二次函数知识知只需 ，即 2()x2当 时，不等式 即 ，构造函数 ，0|()|fxaln(1)xa()ln1)gxax则 若
3、 ，则 ， 在 上单调递增，1()gax00g(,)，满足条件若 ，则 在 上单调递增，在()a上单调递减，因此当 （其中 ）时 ，即(1,)a0x00ln1xln(1)xa不满足0综上， ，选 D2,0【点评】分类讨论与分段函数密切相伴，数形结合与藏图之式不分；以形助数、以数析形，在直观启迪、细微刻画中求解问题二、含参不等式存在性问题【例 2】 （2013 年高考新课标全国卷 II 文第 12 题）若存在正数 使 成立，x2()1a则 的取值范围是（ ）aA B C D(,)(2,)(0,),【分析】由 变形为 ，然后数形结合求解或转化为不等式(1xa1xa“能成立”问题1()2ax【解法
4、1】不等式 可变形()x为 在同一平面直角坐标系中作出 和 的图象由题意，在1()2xayxa1()2x区间 上，直线有一部分要在曲线的下方，观察图象知，有 ，所以 ，0,1a选 D【解法 2】不等式 可化为 设 （ ） ，()1xa()x()()xg0由函数 和 都是增函数，所以 在 上单调递增，所以yxg0,（ ） ，因此要存在正数 使 成立，只()01g(0,)x2()1a需 a【点评】不等式“能成立（存在） ”与“恒成立”的求解方法都是转化法，一是转化为最值问题，常需要分离参数；二是转化为函数图象问题，常数形结合抓临界值来成立但是，不等式“能成立（存在） ”与“恒成立”是有区别的， “
5、能成立”只需要找到存在“一个或若干个”或满足条件的某个区间，而不是在指定的区间上都成立三、图形运动与函数交汇创新问题【例 3】 （2013 年高考江西卷理第 10题）如图，半径为 的半圆与等边三角形1夹在两平行线 之间， ，ABC2,l1/l与半圆相交于 两点，与三角形lFG两边相交于 两点设 的,EDAF长为 （ ） ， ，若 从 平行移动到 ，则函数 的x0yBCl12l()yfx图象大致是（ ）【分析】本题主要考查函数建模、函数图象的变化，考查运动变化的观点以及观察、分析、判断、解决问题的能力本题函数解析式求解难度不大，可以通过求函数的解析式进而利用其导函数作出判定也可巧取几个特征值结合
6、排除法求解，或增速的定性研究【解法 1】 （定量）由题意，正三角形 的高为 ，边长为 过点 作 边ABC123ABC的垂线， 于 ， 于 ，则 ，所以APEDQEPQcosx，而 ，所以 （23(1cos)xBByBD432cs2x） 因为导数 ，且 随 的增大而增大，故选 D0x23sin0xyx【解法 2】 （特值）因为圆的半径为 ，所以 的长 （ ）等于圆弧所对的1AFG0x圆心角（角的单位：弧度） 由题意，正三角形 的高为 ，边长为 当 时，BC1230x，当 时， ，排除选项 B当 ，弦心距 ，23yx23y2x2cos4dr直线 向上平移了 ， 的增加量应比 小，排除选项 A（增量
7、l10.13()等于 ）和选项 C（增量大于 ） ，故选 D23()2【解法 3】 （定性）因为圆的半径为 ，所以 的长 （ ）等于圆弧所对的1AFGx0圆心角（角的单位：弧度） 当 向上平移相等的距离 ， 的增加量 也是相等的，但l hyy是 的增加量 却是不相等的，越往上越小因此，当 匀速增加时， 是加速增加的，xx排除选项 A（ 匀速增加） 、B （ 加速减小） 、C（ 是减速增加） ，故选 Dyy【评注】图形运动问题常常集代数、几何于一体，设计一个或几个动态元素，然后建立函数模型来求解的综合问题此类问题，往往是命题者通过几何画板来构题由于是选择题，应遵循“小题小做”的原则，巧选几个特征
8、值结合排除法是解决此类问题的上策特别是当函数解析式难求的时候，尤其要利用特征值去求解增速的定性研究要关注的意义yx四、含参函数与含参二次方程交融问题【例 4】 （2013 年高考安微卷理第 10 题）已知函数 有两个极32()fxabxc值点 若 ，则关于 的方程 的不同实根个数为12,1()fxx23(0f（ ）A B C D356【分析】 与方程 结构相同，所以2()0fab2()()fxafb， ，进而利用 、 、 的图象分 、1()fxx)yf1y12x两种情形数形结合求解2【解】依题意 是方程 的两个相异的实根，所以由方程12, 2(30fxb可得 或 当 为极大值点时， ，3()(
9、)0fafb1)2()fx112， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，可知1xx1,2, 2(,)与 的图象有两个不同的交点（横坐标为 ） ， 与 的图yf 3yx()f象只有一个交点（横坐标为 ， ） ，即方程 的有434x0fafb个不同实根当 为极大值点时， ， ， 在 和32211()fx()2,上单调递增，在 上单调递减，可知 与 的图象有两个不同1(,)x1(,)yf的交点（横坐标为 ） ， 与 的图象只有一个交点（横坐标为 ，13,xyf 4x） ，即方程 的有 个不同实根综上，选 A4322()0fab3【点评】发现 与 结构一致，把问()x2()0fxaxb题转化为求方程
10、与 的实根的个数，进而分类讨论和数形结合是解决本1f2f题的关键五、 系数为 的含参三次函数性质问题3x【例 5】 （2013 年高考新课标全国卷 II 文第 11 题理第 10 题）已知函数，下列结论中错误的是（ ）2()fabcA ， B函数 的图象是中心对称图形0R0()fx()yfxC若 是 的极小值点，则 在区间 单调递减()fx0,D若 是 的极值点，则0x()f 0()fx【分析】先排除 D，然后抓住 图象往两边延伸的情形及零点存在定理排除 A；联想到函数 （ ）是奇函数关于原点对称，作某种平移可得 的图象，排3ye ()fx除 B熟知遇过的三次函数图象与性质，即知选项 C 中的
11、结论错误【解】选项 D 中的结论显然正确因为三次函数 中 的系数为 ，所以当()fx310时 ，当 时 ， 的图象在 上是连续曲线，x()fxx()fxR根据零点存在定理可知选项 A 中的结论正确若 是 的极小值点，则 必然还0 ()fx存在一个极大值点 （ ） ， 在 上单调递增，在 上单调递减，101,10(,在 上单调递增，所以选项 C 中的结论错误因为 可以改0(,) 32)fxabc写成 的形式，它可以由奇函数 的图象（关于原3()fxmnxpyn点对称）平移得到，所以它的图象关于点 成中心对称，选项 B 中的结论正确 （由(,)m比较系数法可以求出 的对称中心为 ，本题不必求出）
12、故选()f3279)acbC【点评】函数 若存在两个极值点 （ ） ，则当32fxabxd12,x12x时， 在区间 、 上单调递增，在区间 上单调递减；当0a()1(,)(,)()时， 在区间 、 上单调递减，在区间 上单调递增注f 2 ,意：当 充分大时， 的威力 “巨大” ， 与 的威力显得“苍白” |x3六、含参函数的字母极值点处的极值范围问题【例 6】 （2013 年高考湖北卷理第 10 题）已知 为常数，函数 有a()ln)fxax两个极值点 （ ） ，则（ ）12,12xA ， B ，()0fx()f1()0fx21fC ， D ，12 ()x【分析】易得 ，要确定 在 、 、
13、上()lnfxa()f1,2,(,)x的值的符号（是正数还是负数） ，难度很大令 得到 ，数形结合，0xlna从动直线 （恒过定点 ）与曲线 相切到相交，观察图象来确定，则yax(0,1)ly可化难为易【解】 ，由题意 （ ）是方程()lnfxaln2112,x12x的两个根当直线 与曲线ln210xy相切时，设切点为 ，则切线方程为y0(,l)，即 ，则00l()x01lnx，解得 ， ，切点为 要使012,ln.ax02a(1,)直线 （恒过定点 ）与函数 的图象有两个不同的交点，则要从切y(,1)lnyx线位置处顺时针旋转且不能到达与 轴平行的位置，所以 ， x102a12x于是 、 随
14、 的变化如下表：()fxfx120x10,12(,)2(,)f() 极小值 极大值 所以 ， 1)(0fxfa21()2fxfa（或者注意到 ， ，所以1ln111()ln)fxax1()a因为 ，所以 令02l0xa22()l)fx2(l)（ ） ，则 ， 在 上单调递增，所以()n1)gx1lng0(gx1,） ，故选 D2f2(g【点评】本解法利用假设相切法和动直线运动法来推断极值点与某一常数的关系及参数 的取值范围，经典而独到；令 ，利用两图象（含参图象虽然会变，但是参数a()0fx一旦确定即随之确定）的位置关系（谁在上谁在下）来判断 在单调区间上的值的()fx符号，别开生面，当解 （
15、或 ）遇到不可跨越的坎时，这种解法就上升()f为通法了七、高斯函数问题【例 7】 （2013 年高考陕西卷理第 10 题）设 表示不大于 的最大整数，则对于任xx意实数 ，有（ ）,xyA B C D2xy【分析】本题主要考查新定义问题的探究方法，借助取整函数的意义，取特殊值进行判断结论正确，需要给出证明；找到一个反例即可否定结论的正确性【解】 ， ，排除选项 A；取 ，则 ，1.51.50.5x21x，排除选项 B；取 ， ，则 ，20x0.7x.8yy，排除选项 C由四个选项中有一个正确，故选 D事实上，y， ， ， ，从而y1， ，当 时()x(,),)x，当 ， ，D 正确x(1,yy
16、【点评】本题新定义的函数为取整函数，也叫高斯函数高斯函数 具有如下常见x性质： 的定义域为 ，值域为 ； ， ；yRZ01；设 ，则 ；若 ，则 ；11xaxa22 ， ； 高斯xyy,.xxZ函数是高考的一个热点，也是高中数学联赛的一个热点八、含参函数在给定区间上为增函数求参数范围问题【例 8】 （2013 年高考大纲全国卷理第 9 题）若函数 在 是21()fxax(,)2增函数，则 的取值范围是（ ）aA B C D1,01,)0,33,)【分析】利用导数转化为不等式恒成立问题；也可将函数 分解为一个二次函数(fx和一个双钩函数（ （ ， ） ，进而利用相关知识求解byax【解法 1】
17、（导数法） ，因为函数 在 是增函数，所21()fax()f1,)2以 即 在 上恒成立设函数 ，则 在()0fx2x,gx(gx是减函数， ，所以 ，选 D,2()3g【解法 2】 （巧用二次函数与双钩函数） 21()fxax，二次函数 的图象是开口向上的抛物1()(2)xbabx2yb线，对称轴为 ；双钩函数 在 上单调区间的分界点为1(2)yabx(0,)因为函数 在 是增函数，所以 且 ，即12xab)fx, 1212ab且 ，进而得到 ，选 D443【点评】二次函数和双钩函数的单调区间的分界点都有公式可套，联想到它们的函数图象的形状，结合“增函数 增函数 增函数” ，即可萌生解法 2
18、 这种存创造性的解法九、给轴含参函数的最大值问题【例 9】 （2013 年高考新课标全国卷 I 第 16 题）若函数 的2()1)()fxxab图象关于直线 对称，则 的最大值为_2x()fx【分析】轴为 转化为 ，然后巧赋值构建方程组求参数2(f；求最大值时，或利用导数，或利用轴的性质作换元 后配方求解,ab t【解法 1】依题意，函数 满足 所以 ，()fx)2)fxfx(3)1,40.ff即 解得 ， 所以 8(93)0,564.ab8a15b2(1(85)fx，22(15)()fxxx 4)x由序轴标根法知 在区间 、 上为正数，在 、f,(,5(,2)上为负数，所以 和 均为极大值点
19、，也是最大值点，(2,)5max(ff()16f【解法 2】同解法 1 得到 令 ，则 ，2(81)xx2txt，仅当 即22()fgtttt2(56t125时， 取得最大值 5(f十、复杂函数方程与三角函数交汇问题【例 10】 （2013 年高考四川卷第 10 题）设函数 （ ， 为自()xfeaRe然对数的底数） 若曲线 上存在点 使得 ，则 的取值范围sinyx0(,y0y是（ ）A B C D1,e1,e1,1,【分析】透彻理解 转化为 是解题的切入点，由 及0()fy0()fy()0fx得出 是一种深入，由 （ ）分离参数 ，进而sinyx0,1yxea0,1xa研究 （ ）的值域是解题的关键2()gex,【解】因为 ，而 ， ，所以 ，0sin()f0()fy0,1y设 ， ，则 即 在0fyxa,1x2xe2xe上有解令 ，则 ，,1x 2()ge1g，从而当 时 ，当 时 ，()2xh(,ln)(h(ln,)(h所以 ，所以 在 上单调递增所以lng3l00,，即 故所求 的取值范围是 ，选 A0(1)a,e【点评】把握解题的切入点，不断转化条件，善于将问题转化为自己熟知的问题，是解决数学问题的要诀上述问题体现了数学解题的思想方法，融会贯通，用于解决其它简单的客观类函数试题，则可轻车熟路、得心应手作者单位：江西省宁都县宁师中学
