1、新概念型问题试题一、选择题1、如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的 5 个出口中的一个下列判断：5 个出口的出水量相同；2 号出口的出水量与 4 号出口的出水量相同；1，2，3 号出水口的出水量之比约为 1：4：6；若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正 比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的 6 倍其中正确的判断有（ ）个 A1 个 B个 C个 D个答案：B二、填空题1、( 上 海 市 )一个函数的图像关于 y 轴成
2、轴 对称图形时，我们称该函数为“偶函数” 如果二次函数 24yxb是“偶函数” ，该函数的图像与 x 轴交于点 A 和点 B，顶点为 P，那么 ABP 的面积是 答案：8；2、对任意两实数 a、 b，定义运算“*”如下： )(baba. 根据这个规则，则方程 x9 的解为_答案：3 或 21373、定义： a是不为 1 的有理数，我们把 1a称为 的差倒数如：2 的差倒数是12， 的差倒数是 ()已知 13， 2a是 1的差倒数， 3a是 2 的差倒数， 4a是 3的差倒数，依此类推，则 201= 答案： 34、现定义运算“” ，对于任意实数 a、 b，都有 a b a23 a+b，如：353
3、 233+5，若 x26，则实数 x 的值是_ _答案： 1 或 4 5、数学家们在研究 15、12、10 这三个数的倒数时发现： 112502因此就将具有这样性质的三个数称之为调和数，若 x、 y、2 (xy2 且均为正整 数)也是一组调和数则 x、 y 的值分别为 答案：6、36、定义运算“”的运算法则为: a b= +23 ，则 (2 3) 3 = 答案：27、现定义运算“” ，对于任意实数 a、 b，都有 a b a23 a+b，如：353 233+5，若 x26，则实数 x 的值是_ _答案： 1 或 4 三、解答题1、 ( 上 海 市 )（本题满分 12 分，其中第（1）小题 3
4、分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 5 分）已知点 A、 B 分别是 x 轴、 y 轴上的动点，点 C、 D 是某个函数图像上的点，当四边形 ABCD（ A、 B、 C、 D 各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图像的“伴侣正方形” 例如：在图 1 中，正方形 ABCD 是一次函数 1yx图 像的其中一个 “伴侣正方形” （1）如图 1，若某函数是一次函数 yx，求它的图像的所有 “伴侣正方形”的边长；（2）如图 2，若某函数是反比例函数 k(0)，它的图像的“伴侣正方形”为 ABCD，点 (,)Dm在反比例函数图像上，求 m 的值及反比例函数的解析式；（3）如图 3，若某函
5、数是二次函数 2yaxc(0)，它的图像的“伴侣正方形”为ABCD， C、 D 中的一个点坐标为 (3,4)，请你直接写出该二次函数的解析式答案：解：（1） （I）如图 1，当点 A 在 x 轴正半轴、 点 B 在 y 轴负半轴上时：正方形 ABCD 的边长为 2（1 分）（II）当点 A 在 x 轴负半轴、点 B 在 y 轴正半轴上时：设正方形边长为 a，易得 32，（1 分）（第 24 题图 3）xy (3,4)-2 -1 O 1 321234xyOBDAC1x（第 24 题图 1） （第 24 题图 2）xyO解得 23a，此时正方形的边长为 23 （1 分）所求“伴侣正方形”的边长为
6、或 （2）如图 2，作 DE x 轴， CF y 轴，垂足分别为点 E、 F，易证 ADE BAO CBF点 D 的坐标为 (,)m， 2， DE = OA = BF = m， OB = AE = CF = 2 - m OF = BF + OB = 2，点 C 的坐标为 (,2) （1分） 2()m，（1 分）解得 1（1 分）反比例函数的解析式为 2yx（1 分）（3） 2138yx或 27340或 217x或 2357yx（5分）注：第（3）小题写对一个函数解析式得 2 分，之后每写对一个得 1 分2、(本题满分 10 分) 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的 2 倍，我们称这种三角形
7、为倍角三角形如图 28-1，倍角ABC 中，A=2B，A、B、C 的对边分别记为a,b,c，倍角三角形的三边 a,b,c 有什么关系呢 ？让我们一起来探索（第 24 题图 2）xyO 1 32132ABCDEFxyOBDAC1x（第 24 题图 1）ca bCABcb aA BC（图 28-1） （图 28-2） （图 28-3） （图 28-4）（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究.请你结合图形填空：（2）如图 28-4，对于一般的倍角ABC，若CAB=2CBA ，CAB、CBA、C 的对边分别记为 a、b、c，a、b、c 三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图28-4 给出的辅助线提示
8、加以证明解：（1）每空 1 分共 4分（2） cba， （2 分）证明正确（4 分）3、如图，台风中心位于点 P，并沿东北方向 PA移动，已知台风移动的速度为 30千米/时，受影响区域的半径为 20千米， B市位于点 的北偏东 75方向上，与 P点相距20千米. （1）请你说明本次台风会影响 市；（2）求这次台风影响 市的时间. 答 案：解：作 APBC，垂足为 ， 30APB， 2016C（5 分） ；设 D到三角形 角的已知量 abbca图 28-2 A=2B= 90图 28-3 A=2B= 6三角形 角的已知量 abbca图 28-2 A=2B= 9022图 28-3 A=2B= 633
9、cb acDBACbc aBA CA北P BE对 B市有影响，则 2401620DE， 83 （10 分）4、如图， P 为 ABC 内一点，连接 PA、 PB、 PC，在 PAB、 PBC 和 PAC 中，如果存在一个三角形与 ABC 相似， 那么就称 P 为 ABC 的自相似点如图，已知 Rt ABC 中， ACB=90， ACB A， CD 是 AB 上的中线，过点 B作 BE CD，垂足为 E， 试说明 E 是 ABC 的自相似点在 ABC 中， A B C如图，利用尺规作出 ABC 的自相似点 P（写出作法并保留作图痕迹） ；若 ABC 的内心 P 恰是该三角形的自相似点，求该三角形
10、三个内角的度数答案：解在 Rt ABC 中， ACB90， CD 是 AB 上的中线， 12CDAB， CD=BD BCE ABC BE CD， BEC90， BEC ACB BCE ABC E 是 ABC 的自相似点 作图略 作法如下：（ i）在 ABC 内，作 CBD A；（ ii）在 ACB 内，作 BCE ABC； BD 交 CE 于点 P则 P 为 ABC 的自相似点连接 PB、 PC P 为 ABC 的内心 12BCA， 12PCBA P 为 ABC 的自相似点 BCP ABC PBC A， BCP ABC=2 PBC =2 A， ACB2 BCP=4 A A+ ABC+ ACB1
11、80 A+2 A+4 A180 1807该三角形三个内角的度数分别为 1807、 36、 7205、定义 pq， 为一次函数 ypxq的特征数（1）若特征数是 21m， 的一次函数为正比例函数，求 m的值；（2）已知抛物线 ()2yxn与 x轴交于点 AB、 ，其中 0n，点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴交于点 C，且 OA 的面积为 4， 为原点，求图象过 AC、 两点的一次函数的特征数（本小题满分 5 分） 解：(1) 由题意得 10m. . -1 分（2）由题意得 点 A 的坐标为（- n，0） ，点 C 的坐标为（0，-2 n）. 2 分 OC 的面积为 4， 2n . 点 A 的坐标为（-2，0） ，点 C 的坐标为（0，-4）. 3 分设直线 AC 的解析式为 ykxb. 2,4.kb ,.b 4 分 直线 AC 的解析式为 24yx. 图象过 AC、 两点的一次函数的特征数为 24， . 5 分
