1、 1 / 19高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题 5 分，共 70 分）1一个年级有 12 个班，每个班的同学从 1 至 50 排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为 14 的同学留下进行交流，这里运用的是（ ）A系统抽样 B分层抽样 C抽签抽样 D随机抽样2下列命题中的假命题是（ ）Ax R，lgx=0 BxR，tanx=1 C xR，x 30 DxR ，2 x03 “x21”是“x 1”的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分C充要 D既不充分也不必要4下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是 （ ）A B C D5某程序框图如图所示，若输出
2、的 S=57，则判断框内为（ ）Ak4？ Bk5？ Ck6？ Dk7？6已知命题 p：“|x1|2”，命题 q：“xZ”如果“p 且 q”与“非 q”同时为假命题，则满足条件的 x 的取值范围为（ ）Ax|x3，或 x1，xZ Bx| 1x3，x ZC1，0，1， 2，3 D 0，1，22 / 197一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为（ ）A B C D8设 0，则方程 x2sin+y2cos=1 不能表示的曲线为（ ）A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆9在样本颇率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它 8 个长方形的面积和的 ，且样本容量为 140，则中间一组
3、的频数为（ ）A28 B40 C56 D6010有一个正方体棱长为 1，点 A 为这个正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点 P，则点 P 到点 A 的距离大于 1 的概率为（ ）A1 B C1 D111若椭圆 过抛物线 y2=8x 的焦点，且与双曲线 x2y2=1 有相同的焦点，则该椭圆的方程为（ ）A B C D12过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的直线，交双曲线于 P、Q，F 1 是另一焦点，若PF 1Q= ，则双曲线的离心率 e 等于（ ）A B C D13已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1=2AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于（ ）A
4、B C D14过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 O 是坐标原点，若|AF|=5，则AOB 的面积为（ ）A5 B C D二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）15某学院的 A，B，C 三个专业共有 1200 名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本已知该学院的 A 专业有 380 名学生，B 专业有 420 名学生，则在该学院的 C 专业应抽取 名学生16观察程序框图如图所示若 a=5，则输出 b= 3 / 1917如图是甲、乙两名篮球运动员 2013 年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中
5、位数之和为 18对于以下命题：| | |=| + |是 ， 共线的充要条件；对空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若 =2 + ，则 P、A、B、C 四点共面如果 0 ，那么 与 的夹角为钝角若 ， ， 为空间一个基底，则 + ， + ， + 构成空间的另一个基底；若 = 2 +3 ， =2 +4 6 ，则 其中不正确结论的序号是 三、解答题（每题 12 分，共 60 分）19某校 100 名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100（1）求图中 a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计
6、这次 100 名学生数学成绩的平均数及中位数4 / 1920设 F1，F 2 分别为椭圆 C： + =1（ab0）的左、右两个焦点，点在椭圆上，且点 A 到 F1，F 2 两点的距离之和等于 4（1）求椭圆的方程（2）若 K 为椭圆 C 上的一点，且F 1KF2=30，求F 1KF2 的面积21已知双曲线 C： =1（a0，b0）的离心率为 ，实轴长为 2（1）求双曲线 C 的方程；（2）求直线 y=x+1 被双曲线 C 截得的弦长22已知 =（0，1，1） ， =（1，3，0） ，（1）若 k 与 + 互相垂直，求实数 k 的值；（2）若 =（x，1，1） ，且| |= ，求实数 x 的值2
7、3已知如图几何体，正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD=2，M 为 AF 的中点，BNCE ，垂足为 N（）求证：CF平面 BDM；（）求二面角 MBDN 的大小5 / 19高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 70 分）1一个年级有 12 个班，每个班的同学从 1 至 50 排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为 14 的同学留下进行交流，这里运用的是（ ）A系统抽样 B分层抽样 C抽签抽样 D随机抽样【考点】系统抽样方法；收集数据的方法【分析】学生人数比较多，把每个班级学生从 1 到 50 号编排，要求每班编
8、号为 14 的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法【解答】解：当总体容量 N 较大时，采用系统抽样将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为预先制定的，在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号本题中，把每个班级学生从 1 到 50 号编排，要求每班编号为 14 的同学留下进行交流，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选 A2下列命题中的假命题是（ ）Ax R，lgx=0 BxR，tanx=1 C xR，x 30 DxR ，2 x0【考点】命题的真假判断与应用【分析】A、B、C 可通过取特殊值法
9、来判断； D、由指数函数的值域来判断【解答】解：A、x=1 成立；B 、x= 成立；D、由指数函数的值域来判断对于 C 选项x=1 时， （1） 3=10，不正确故选 C3 “x21”是“x 1”的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分C充要 D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由 x21，解得：x1 或 x1进而判断出结论【解答】解：由 x21，解得：x1 或 x1“x 21”是“x 1”的必要不充分条件故选：B6 / 194下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是 （ ）A B C D【考点】变量间的相关关系【分析】观察两个变
10、量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，若带状越细说明相关关系越强，得到两个变量具有线性相关关系的图是和【解答】解：两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，两个变量具有线性相关关系的图是和 故选 B5某程序框图如图所示，若输出的 S=57，则判断框内为（ ）Ak4？ Bk5？ Ck6？ Dk7？【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入 S 的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1
11、 1/第一圈 2 4 是第二圈 3 11 是第三圈 4 26 是第四圈 5 57 否7 / 19故退出循环的条件应为 k4故答案选 A6已知命题 p：“|x1|2”，命题 q：“xZ”如果“p 且 q”与“非 q”同时为假命题，则满足条件的 x 的取值范围为（ ）Ax|x3，或 x1，xZ Bx| 1x3，x ZC1，0，1， 2，3 D 0，1，2【考点】复合命题的真假【分析】先求出 p 为真命题的等价条件，利用“p 且 q”与“非 q”同时为假命题，得到 q 为真命题，p 为假命题然后解 x 的取值范围即可【解答】解：由|x1|2，解得 x3 或 x 1，即 p：x 3 或 x1非 q 为
12、假命题，q 为真命题又 p 且 q 为假命题，p 为假命题，即非 p：1x 3，满足条件的 x 的取值范围为1x3 且 xZ，x=1， 0，1，2，3即1，0，1，2，3故选：C7一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为（ ）A B C D【考点】n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有 23=8 种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有 1 种结果，根据对立事件的概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有 23=8 种结果，满足
13、条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有 1 种结果，至少一次正面向上的概率是 1 = ，故选 A8设 0，则方程 x2sin+y2cos=1 不能表示的曲线为（ ）A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆【考点】抛物线的标准方程8 / 19【分析】逐一检验答案，当 sin=0 或 cos=0 时，方程表示直线当 sin=cos0 时，方程表示圆当 sin 与 cos 符号相反时，双曲线不论 sin 与 cos 怎样取值，曲线不可能是抛物线，从而进行排除筛选【解答】解：当 sin=0 或 cos=0 时，方程表示直线当 sin=cos 0 时，方程表示圆当 sin 与 cos 符号相反时，双曲线不论
14、 sin 与 cos 怎样取值，曲线不可能是抛物线故选 C9在样本颇率分布直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它 8 个长方形的面积和的 ，且样本容量为 140，则中间一组的频数为（ ）A28 B40 C56 D60【考点】频率分布直方图【分析】设中间一组的频数为 x，利用中间一个小长方形的面积等于它 8 个长方形的面积和的 ，建立方程，即可求 x【解答】解：设中间一组的频数为 x，因为中间一个小长方形的面积等于它 8 个长方形的面积和的 ，所以其他 8 组的频数和为 ，由 x+ =140，解得 x=40故选 B10有一个正方体棱长为 1，点 A 为这个正方体的一个顶点
15、，在这个正方体内随机取一个点 P，则点 P 到点 A 的距离大于 1 的概率为（ ）A1 B C1 D1【考点】几何概型【分析】根据题意，分析可得，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，与点 A 距离小于等于 1 的点在以 A 为球心，半径为 1 的八分之一个球内，计算可得其体积，易得正方体的体积；由几何概型公式，可得点 P 到点 A 的距离小于等于 1 的概率，借助对立事件概率的性质，计算可得答案【解答】解：根据题意，分析可得，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，与点 A 距离小于等于 1 的点在以 A 为球心，半径为 1 的八分之一个球内，其体积为 V1= ；9 / 19正方体的体积
16、为 13=1，则点 P 到点 A 的距离小于等于 1 的概率为： ，故点 P 到点 A 的距离大于 1 的概率为 1 ，故选：D11若椭圆 过抛物线 y2=8x 的焦点，且与双曲线 x2y2=1 有相同的焦点，则该椭圆的方程为（ ）A B C D【考点】圆锥曲线的共同特征【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到 c 的值，然后根据椭圆的基本性质得到 a 与 b 的关系，设出关于 b 的椭圆方程，把抛物线的焦点坐标代入即可求出 b 的值，得到椭圆方程【解答】解：抛物线 y2=8x 的焦点为（2，0） ，双曲线 x2y2=1 的焦点坐标为（ ，0） ， （
17、，0） ，所以椭圆过（2，0） ，且椭圆的焦距 2c=2 ，即 c= ，则 a2b2=c2=2，即 a2=b2+2，所以设椭圆的方程为： + =1，把（2，0）代入得： =1 即 b2=2，则该椭圆的方程是： 故选 A10 / 1912过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的直线，交双曲线于 P、Q，F 1 是另一焦点，若PF 1Q= ，则双曲线的离心率 e 等于（ ）A B C D【考点】双曲线的简单性质；双曲线的应用【分析】根据由题设条件可知 ，|F 1F2|=2c，由此可以求出双曲线的离心率e【解答】解：由题意可知 ，|F 1F2|=2c， ， ，4a 2c2=b4=（c 2a2） 2=
18、c42a2c2+a4，整理得 e46e2+1=0，解得 或 （舍去）故选 C13已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1=2AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于（ ）A B C D【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角【分析】设 AB=1，则 AA1=2，分别以 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设 =（x，y，z）为平面 BDC1 的一个法向量，CD 与平面BDC1 所成角为 ，则 sin=| |，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可【解答】解：设 AB=1，则 AA1=2，分别以 的方向为 x 轴、y 轴、z轴的正
19、方向建立空间直角坐标系，11 / 19如下图所示：则 D（0，0，2） ，C 1（1，0，0） ，B（1，1，2） ，C （1， 0，2） ，=（1，1，0） ， =（1，0，2） ， =（1，0，0） ，设 =（x，y，z）为平面 BDC1 的一个法向量，则 ，即 ，取=（2， 2，1） ，设 CD 与平面 BDC1 所成角为 ，则 sin=| |= ，故选 A14过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 O 是坐标原点，若|AF|=5，则AOB 的面积为（ ）A5 B C D【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质【分析】设 A（x 1，y 1） 、B
20、（x 2，y 2） ，算出抛物线的焦点坐标，从而可设直线 AB 的方程为 y=k（x 1） ，与抛物线方程联解消去 x 可得 y2 y4=0，利用根与系数的关系算出y1y2=4根据 |AF|=5 利用抛物线的抛物线的定义算出 x1=4，可得 y1=4，进而算出|y1y2|=5，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到AOB 的面积【解答】解：根据题意，抛物线 y2=4x 的焦点为 F（1，0） 设直线 AB 的斜率为 k，可得直线 AB 的方程为 y=k（x1 ） ，由 消去 x，得 y2 y4=0，设 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，由根与系数的关系可得 y1y2=412
21、/ 19根据抛物线的定义，得|AF|=x 1+ =x1+1=5，解得 x1=4，代入抛物线方程得：y 12=44=16，解得 y1=4，当 y1=4 时，由 y1y2=4 得 y2=1；当 y1=4 时，由 y1y2=4 得 y2=1，|y 1y2|=5，即 AB 两点纵坐标差的绝对值等于 5因此AOB 的面积为：S=AOB =SAOF +SBOF = |OF|y1|+ |OF|y2|= |OF|y1y2|= 15= 故选：B二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）15某学院的 A，B，C 三个专业共有 1200 名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 1
22、20 的样本已知该学院的 A 专业有 380 名学生，B 专业有 420 名学生，则在该学院的 C 专业应抽取 40 名学生【考点】分层抽样方法【分析】根据全校的人数和 A，B 两个专业的人数，得到 C 专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用 C 专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果【解答】解：C 专业的学生有 1200380420=400，由分层抽样原理，应抽取 名故答案为：4016观察程序框图如图所示若 a=5，则输出 b= 26 13 / 19【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，根据框图的流程计算程序运行的结果，即可得解【解答】解：模拟程序的
23、运行，可得a=5 不满足条件 a5，b=5 2+1=26，输出 b 的值为 26故答案为：2617如图是甲、乙两名篮球运动员 2013 年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 53 【考点】茎叶图【分析】由茎叶图可知甲、乙的得分数据，分别求出两组数据的中位数，作和得答案【解答】解：由茎叶图可知，甲、乙的得分数据分别为：甲：17，22，22，28，34，35，36，中位数为 28；乙：12，16，21，29，31，32，中位数为 甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 28+25=53故答案为：5318对于以下命题：| | |=| + |是 ， 共线的充要条件；对空间任意一点
24、O 和不共线的三点 A、B、C，若 =2 + ，则 P、A、B、C 四点共面14 / 19如果 0 ，那么 与 的夹角为钝角若 ， ， 为空间一个基底，则 + ， + ， + 构成空间的另一个基底；若 = 2 +3 ， =2 +4 6 ，则 其中不正确结论的序号是 【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用不等式| | |=| + | ， 方向相反，可判断判断；利用共面向量定理判断是否正确；利用 0，那么 与 的夹角为钝角或平角，来判断是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可判断；根据向量共线的充要条件，可判断【解答】解：对于，| | |=| + |
25、， 方向相反，故| | |=| + |是 ， 共线的充分不必要条件，故错误；对于 ，对空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若=2 + ，221= 11，根据共面向量定理 P、A、B 、C 四点不共面，故错误对于 ，如果 0，那么 与 的夹角为钝角或平角，故错误；对于 ，用反证法，若 + ， + ， + 不构成空间的一个基底；设 + =x（ + ）+（1 x） （ + ）x =（x1） + =x +（1 x） ，即 ， ， 共面， ， ， 为空间的一个基底，故正确；对于 ，若 = 2 +3 ， =2 +4 6 ，则 = ，则 ，故正确故不正确结论的序号是： ，故答案为：三、解答题（每题
26、 12 分，共 60 分）19某校 100 名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100（1）求图中 a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这次 100 名学生数学成绩的平均数及中位数15 / 19【考点】频率分布直方图【分析】 （1）根据频率和为 1，列出方程求出 a 的值；（2）根据频率分布直方图计算出平均数与中位数的值【解答】解：（1）由频率分布直方图可知：2a+0.04+0.03+0.02=0.1，所以 a=0.005；（2）根据频率分布直方图，估计平均数为：550.05+650.4+7
27、50.3+850.2+950.05=73（分） 估计中位数为：70+ 10= （分） 20设 F1，F 2 分别为椭圆 C： + =1（ab0）的左、右两个焦点，点在椭圆上，且点 A 到 F1，F 2 两点的距离之和等于 4（1）求椭圆的方程（2）若 K 为椭圆 C 上的一点，且F 1KF2=30，求F 1KF2 的面积【考点】椭圆的简单性质【分析】 （1）由点 A 到 F1，F 2 两点的距离之和等于 4可得 2a=4，解得 a又点在椭圆上，可得 ，解得 b2，即可得出（2） =1记|KF 1|=m，|KF 2|=n，则 m+n=4，由余弦定理可得：，可得 mn利用，即可得出【解答】 解：（
28、1）点 A 到 F1，F 2 两点的距离之和等于 42a=4，解得 a=216 / 19又点 在椭圆上， ，解得 b2=3，所以所求椭圆的方程为 （2） =1记|KF 1|=m，|KF 2|=n，则 m+n=4，由余弦定理可得： ， ， ，又 ， 21已知双曲线 C： =1（a0，b0）的离心率为 ，实轴长为 2（1）求双曲线 C 的方程；（2）求直线 y=x+1 被双曲线 C 截得的弦长【考点】双曲线的简单性质【分析】 （1）利用双曲线 C： =1（a0，b0）的离心率为 ，实轴长为 2，求出a，c，可得 b，即可求双曲线 C 的方程；（2）y=x+1 代入 =1，整理可得 x22x3=0，
29、求出 x，即可求直线 y=x+1 被双曲线C 截得的弦长17 / 19【解答】解：（1）双曲线 C： =1（a0，b0）的离心率为 ，实轴长为 2，a=1，c= ，b= ，双曲线 C 的方程 =1；（2）y=x+1 代入 =1，整理可得 x22x3=0，x=1 或 3，直线 y=x+1 被双曲线 C 截得的弦长= =4 22已知 =（0，1，1） ， =（1，3，0） ，（1）若 k 与 + 互相垂直，求实数 k 的值；（2）若 =（x，1，1） ，且| |= ，求实数 x 的值【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】 （1）根据两非零向量垂直的充要条件，即可建立关于 k 的方程，解
30、方程即得 k 的值；（2）先求向量 的坐标，根据坐标表示出向量 的长度，即可建立关于 x 的方程，解方程即得 x 的值【解答】解：（1） ， ，由 与 互相垂直可知： ，得： ；（2） ，由条件可知： ，解得：x=1；即实数 x 的值为：123已知如图几何体，正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD=2，M 为 AF 的中点，BNCE ，垂足为 N（）求证：CF平面 BDM；（）求二面角 MBDN 的大小18 / 19【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】 （）连接 AC，BD 交于 O，连接 MO，由三角形中位线定理可得 OMCF ，再由
31、线面平行的判定得答案；（）分别以 AD，AB，AF 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 MBD 与平面 DNB 的一个法向量，利用两个平面法向量所成角求得二面角 MBDN 的大小【解答】 （）证明：连接 AC，BD 交于 O，连接 MO，M 为 AF 的中点， OMCF，OM平面 BDM，CF平面 BDM，CF 平面 BDM；（）解：分别以 AD，AB，AF 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，AF=2AB=2AD=2，M 为 AF 的中点，BNCE ，D（1，0，0） ，B（0，1，0） ，M（0，0，1） ，N（ ，1， ） ，则 ， ，设平面 MBD 的一个法向量为 ，则 ，取 z1=1，得 ；， ，设平面 DNB 的一个法向量为 =（x 2，y 2，z 2） ，则 ，取 x2=1，得 则 cos = = 二面角 MBDN 的大小为 9019 / 19
