1、第 3 课时 空间向量与空间角单元过关试卷命制学校：沙市五中 命制教师：赵晓晶一、基础过关1若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150，则直线 l 与平面 所成的角等于 ( )A30 B60C150 D以上均错2直线 l1，l 2 的方向向量分别是 v1，v 2，若 v1与 v2所成的角为 ，直线 l1，l 2 所成的角为 ，则 ( )A BCcos |cos | Dcos |cos |3已知 A ，P ， ，平面 的一个法向量 n ，则PA ( 32，12，2) (0， 12， 2)直线 PA 与平面 所成的角为 ( )A30 B45C60 D1504在正三棱柱 ABCA1B1
2、C1 中，若 AB BB1，则 AB1 与 C1B 所成角的大小为( )2A60 B90C105 D755.在正四面体 ABCD 中，点 E 为 BC 中点，点 F 为 AD 中点，则异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 ( )A. B.13 12C. D.23 636若两个平面 ， 的法向量分别是 n(1,0,1)，(1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_高中数学选修 2-1：空间向量与立体几何（共 2 页）第 1页7二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4，AC6，BD 8，CD2 ，则该二面角的大小为1
3、7_8在空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC ，则 cos ， 的值为3 OA BC _二、能力提升9.如图，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点处，顶点 A、B、V 分别在 x、 y、z 轴上，D 是线段 AB 的中点，且 ACBC2，VDC.当 时，求异面直线 AC 与 VD3所成角的余弦值10.如图，已知点 P 在正方体 ABCDABC D的对角线BD上，PDA60.(1)求 DP 与 CC所成角的大小；(2)求 DP 与平面 AADD 所成角的大小11.如图，四棱锥 FABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线AC2，BD .CF 与平面 ABCD 垂
4、直， CF2.求二面角 BAFD 的大2小三、探究与拓展12.如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，EF AB，EFFB，AB 2EF ，BFC 90 ，BFFC，H 为 BC 的中点(1)求证：FH 平面 EDB；(2)求证：AC平面 EDB；(3)求二面角 BDEC 的大小高中数学选修 2-1：空间向量与立体几何（共 2 页）第 2页答案1B 2.D 3.C 4.B 5.C 660 7.60809解 由于 ACBC2，D 是 AB 的中点，所以 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0) ，D(1,1,0)当 时，在 RtVCD 中，CD ，3 2故 V(
5、0,0， )6所以 (2,0,0)， (1,1， )AC VD 6所以 cos ， AC VD AC VD |AC |VD | . 2222 24所以异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为 .2410.解 如图，以 D 为原点， DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz.则 (1,0,0)， (0,0,1)DA CC 连接 BD，B D.在平面 BBD D 中，延长 DP 交 BD于 H.设 (m ，m,1) (m 0)，DH 由已知 ， 60，DH DA 由 | | |cos ， ，DA DH DA DH DH DA 可得 2m .2m2 1解得 m ，所以 .22 DH ( 22，22
6、，1)(1)因为 cos ， DH CC ，22 0 22 0 1112 22所以 ， 45 ，即 DP 与 CC所成的角为 45.DH CC (2)平面 AADD 的一个法向量是 (0,1,0)DC 因为 cos ， DH DC ，22 0 22 1 1012 12所以 ， 60.DH DC 可得 DP 与平面 AADD 所成的角为 30.11.解 过点 A 作 AE平面 ABCD.以 A 为坐标原点， 、 、 方向分别为 x 轴、y 轴、zBD AC AE 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图) 于是 B ，D ，( 22，1，0) ( 22，1，0)F(0,2,2)设平面 ABF 的法向量
7、 n1(x，y ，z) ，则由Error!得Error!令 z1，得Error!所以 n1( ，1,1)2同理，可求得平面 ADF 的法向量 n2( ，1,1)2由 n1n20 知，平面 ABF 与平面 ADF 垂直，所以二面角 BAFD 的大小等于 .212(1)证明 四边形 ABCD 为正方形，ABBC.又 EFAB，EFBC.又 EFFB，EF平面 BFC.EFFH ，ABFH.又 BFFC，H 为 BC 的中点，FHBC.FH平面 ABC.以 H 为坐标原点， 为 x 轴正方向， 为 z 轴正方向，建立HB HF 如图所示的空间直角坐标系设 BH1，则 A(1，2,0)，B(1,0,0
8、)，C(1,0,0) ，D( 1，2,0) ，E(0，1,1) ，F(0,0,1)设 AC 与 BD 的交点为 G，连接 GE，GH，则 G(0，1,0)， (0,0,1)又 (0,0,1)，GE HF .HF GE 又 GE平面 EDB，HF平面 EDB，FH平面 EBD.(2)证明 ( 2,2,0)， (0,0,1)， 0，AC GE AC GE ACGE.又 ACBD，EG BD G，AC 平面 EDB.(3)解 (1，1,1)， ( 2，2,0)设平面 BDE 的法向量为BE BD n1(1， y1，z 1)，则 n11y 1z 10， n122y 10，BE BD y 11，z 10，即 n1(1，1,0) (0，2,0)， (1，1,1)CD CE 设平面 CDE 的法向量为 n2(1 ，y 2，z 2)，则 n2 0，y 20，n 2 0，CD CE 1y 2z 20，z 21，故 n2(1,0 ， 1)cosn 1，n 2n1n2|n1|n2| ，122 12n 1，n 260，即二面角 BDEC 的大小为 60.
