1、不等式的性质教学重点：不等式的性质及运用性质判断命题的正误及作差法比大小 重难点剖析： 1不等式定义：a-b0 ab, a-b=0a=b, a-b0, x1-x2b bb, bc ac (传递性) (3) ab a+cb+c (cR) (4) c0 时，ab acbc cb acb, cd a+cb+d。 (2) ab0, cd0 acbd。 (3) ab0 anbn (nN, n1)。 (4) ab0 (nN, n1) 。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换
2、。因此，要正确理解和应用不等式性质。 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 典型例题： 例 1设 x, yR，判断下列各题中，命题甲与命题是等价关系。 (1)命题甲： ，命题乙： (2)命题甲： ，命题乙： 分析与解答： (1)当 x0 且 y0 时，由实数的性质可知 x+y0, xy0, 当 xy0 时，x,y 同号；又 x+y0，可知 x, y 同 x0 且y0。 因此，命题甲是命题乙
3、的充分必要条件。 (2) x20, y20, x+y4, xy4, 即 ，反之， ，反例如下：令 x=100, y= , 此时，x+y4, xy4, 但 x2，而 ybc abac。 a 2b2, ab0 。 a 3b3, ab0 。 （2）ab，则 成立的等价条件是（ ） 。 A、ab0 B、b0b D 、0 在线测试选择题1下列命题正确的是( ) (A)若 acbc ab (B)若 a2b2 ab (C)若 ab am2bm2 (B) ab (C)a3b3，ab0 (D)a2b2，ab0 3已知 ab，cd，则下列命题中正确的是( )(A)a-cb-d (B) (C)acbd (D)c-b
4、d-a 4若 x+y0，a0 则 x-y 的值为( ) (A)大于 0 (B)小于 0 (C)等于 0 (D)符号不确定 5正数 a，b，c，d 满足 a+d=b+c，|a-d|bc (D)ad 与 bc 大小不定答案与解析 答案：1、D 2、C 3、D 4、A 5、C解析：1、解答：分析：用验证法。 (A)中若 c0，b0，b0，据平方法则可得，故本题应选(D)。 2、解答：用淘汰法。 (A)中若 m=0 不成立；(B)中若 c0 (a-b)(a2+ab+b2)0。 a 2+ab+b20 恒成立，故 a-b0。 ab，又ab0，(D)中 a2b2 (a+b)(a-b)0，不能说明 ab，故本
5、题应选(C)。 3、解答：用特殊值法。 令 a=1，b=0，c=-1，d=-2，代入验证知(D)成立。 另解用直接法， ab -b-a， 又cd， +可得 c-bd-a。故本题应选(D)。 4、解答：用直接法。 a0 y0 x0， x-y=x+(-y)0。故本题应选(A)。 5、解答：用直接法。 由 a+d=b+c，得 a 2+2ad+d2=b2+2bc+c2 (a2+d2)-(b2+c2)=2bc-2ad。 由|a-d|bc，故本题应选(C)。 求商比大小 原型：若 b0，则 。 分析：根据不等式的性质定理 4，很容易证明。 证明：若 b0, 则 ，故由 ab，得 ，即 。 反之由 ，得 ，即 ab， 类似地，由 a0, b0 且 ab时，比较 aabb 与 abba 的大小。 分析：因为 a0,b0, 故 aabb0, abba0，尝试作商比较这两个正数的大小关系。 证明：因为 a0, b0，且 ab。(1)当 ab0 时，有 ，从而得 ， 又 abba0，故 aabbabba； （2）当 00，故 aabbabba；综合(1),(2)，可得：a abbabba。应用 3：设 00 a2+b22ab ，即有 ，故选 C。 说明：作差比较和作商比较是证明不等式的两种最基本的方法，其关键是合理进行恒等变形，最终达到便于判断两边差的正、负符号，或两边之商是否大于 1。
