1、第 32 课时 二分法求方程的近似解【学习目标】1通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；2能借助计算器用二分法求方程的近似解； 3体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一 【课前导学】一、提出问题能否求解方程式 lnx + 2x 6=0; 能否解出这个方程的近似 解？（创设问题情景，激发学生探究热情）【问题情境】一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式求根如何求得方程的根呢？函数 f (x) = lnx + 2x
2、6 在区间(2，3)内有零点如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围取区间(2，3)的中点 2.5，用计算器算得 f (2.5) 0.084因为 f (2.5)f (3)0，所以零点在区间(2.5，3)内.再取内间(2.5，3)的中点 2.75，用计算器算得 f (2.75)0.512 因为 f (2.5)f (2.75)0，所以零点在区间(2.5，2.75)内 由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了例如，当精确度为 0.01 时，由于|2.539 062 5
3、2.531 25| = 0.007 812 50.01，所以，我们可以将 x = 2.531 25 作为函数 f (x) = lnx + 2x 6 零点的近似值，也即方程 lnx + 2x 6 = 0 根的近似值【课堂活动】一、建构数学：1对于区间a，b 上连续不断且 f (a)f (b)0 的函数 y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2给定精确度 ，用二分法求函数 f (x)零点近似值的步聚如下：（1 ）确定区间a，b ，验证 f (a)f (b)0，给定精确度 ；（2 ）求区间( a，b)
4、的中点 c；（3 ）计算 f (c)；若 f (c) = 0，则 c 就是函数的零点；若 f (a)f (c)0 ，则令 b = c(此时零点 x0( a，c) ；若 f (c)f (b)0 ，则令 a = c(此时零点 x0(c，b)（4 ）判断是否达到精确度 ：即若| a b| ，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复（2）（4） 二、应用数学：例 1 利用二分法求方程 的近似解237x分析：关键是如何进一步有效的缩小根所在的区间解：原方程即为 ，令 ，用计算器或计算机作出对应的表0732)(xf格与图象，则 ，说明在区间 内有零点 ，0)1(2f )2,1(0x取区间 的中点 ，用计数
5、器计算得 ，因为 ，所以,5. 3.5f 0)5.1(f.)51(0x再取区间 的中点 ，用计数器计算得 ，因为 ，,. 87.).(.f所以 .2.同理可得 )5.1,37(0x4375.1,(0x由于 ，624. 所以方程的近似解可取为 .【点评】利用同样的方法可以求方程的近似解例 2 求方程 的解的个数及其大致所在区间lg3x【分析】用二分法求方程的近似解的原理的应用，学生小组合作共同完成解：见教材 P78 例 2【变式训练】求函数 的一个正数零点（精确到 ）3()2fxx0.1零点所在区间 中点函数值符号 区间长度解：（2.5625,2.625）三、理解数学：1利用计算器，求方程 的一
6、个近似解（精确到 0.1） 012x解：设 ，2()fx先画出函数图象的简图. (如右图所示)因为 ，10,(3)ff所以在区间 内，方程 有一解，记为 .取210x1x2与 的平均数 ，因为 ，32.5.5f所以 .1x再取 与 的平均数 ，因为 ，. (.).43750f所以 .如此继续下去，得 1(2)0,3)2,ffx1(2)0,.5.5ffx. (,)37,(.).7ff 1(.375)0,(2.4375)0(2.375,ffx，.4)因为 与 精确到 的近似值都为 ，所以此方程的近似解为 25.0.12.4.124x利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.【课后提升】1.若函
7、数 在区间 上为减函数，则 在 上（ D ）.()fx,ab()fx,abA. 至少有一个零点 B. 只有一个零点C. 没有零点 D. 至多有一个零点2. 下列函数图象与 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ B ）.3. 函数 的零点所在区间为（ B ）.()2ln()3fxA. B. C. D. ,3,4(,5)(,6)4. 用二分法求方程 在区间2 ，3 内的实根，由计算器可算得 ，20x (2)1f， ，那么下一个有根区间为 （2,2.5） .()16f(.5)6f5. 函数 的零点个数为 1 ，大致所在区间为 （3,4） .lg7x6. 利用计算器，求方程 的近似解（精确到 0.1） 4x解:方程 24x可以化为 分别画函数 xy与 的图象，由图象可以知道，方程 的解在区间 内，那么对于区间424x(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为 .(1,2) 1w.w.w.st.c.o.m高考试%题库
