1、课时训练 12 离散型随机变量的方差一、选择题1.设随机变量 B(n,p),且 E()=1.6,D()=1.28,则( )A.n=8,p=0.2 B. n=4,p=0.4C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45答案:A解析:由已知解得2.设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=pk(1-p)1-k(k=0,1,0p1),则 E(X)和 D(X)的值分别为( )A.0 和 1 B.p 和 p2C.p 和 1-p D.p 和(1 -p)p答案:D解析:由分布列的表达式知随机变量 X 服从两点分布,所以 E(X)=p,D(X)=(1-p)p.3.已知 的分布列为X来源 :gkstk-1
2、0 1P若 =2+2,则 D()的值为( )A.- B. C. D.答案:D解析:E() =-1+0+1=-,D()=,D()=D(2+2)=4D ()=.4.已知随机变量 , 满足 +=8,且 服从二项分布 B(10,0.6),则 E()和 D()的值分别是( )A.6 和 2.4 B.2 和 2.4C.2 和 5.6 D.6 和 5.6答案:B解析:由已知 E()=100.6=6,D()=100.60.4=2.4.+=8,=8-.E()=-E()+8=2,D()=(-1)2D()=2.4.5.已知 A1,A2 为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学
3、一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过高校的个数为随机变量 X,则D(X)=( )A. B. C. D.答案:A解析:由已知 X 的取值可能为 0,1.P(X=0)=,来源:gkstkP(X=1)=,E(X)=0+1,D(X)=.二、填空题6.若随机变量 的分布列如下: 0来源:1 xgkstkgkstkP若 E()=1.1,则 D ()= . 答案:0.49解析:由 E()=0+1+x=1.1,解得 x=2,可得 D()=(0-1.1)2+(1-1.1)2+(2-1.1)2=0.49.7.随机变量 的分布列如下: -1 0 1P a b c其中 a,b,c 成等差数列
4、.若 E()=,则 D()的值是 . 答案:解析:根据已知条件,得解得 b=,a=,c=,D()=.三、解答题8.设在 12 个同类型的零件中有 2 个次品,抽取 3 次进行检验,每次抽取 1 个,并且取出不再放回,若以 表示取出次品的个数,求 的分布列、期望值及方差.解: 的可能值为 0,1,2,P(=0)=;P(=1)=;P(=2)=. 的分布列为 0 1 2PE()=0+1+2,D()=.9.(2012 湖北高考,理 20)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm) 对工期的影响如下表:降水量 X X300 300X700 700X900 X900工期延误天数 Y 0 2
5、6 10历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9.求:(1)工期延误天数 Y 的均值与方差 ;(2)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率 .解:(1)由已知条件和概率的加法公式有:P(X300)=0.3,P(300X700)=P(X700)-P(X300)=0.7-0.3=0.4,P(700X900)=P(X900)-P(X700)=0.9-0.7=0.2.P(X900)=1-P(X900)=1-0.9=0.1.所以 Y 的分布列为来源:gkstkY 0 2 6 10P 0.3 0.4 0.2
6、 0.1于是,E(Y)=00.3+20.4+6 0.2+100.1=3;D(Y)=(0-3)20.3+(2-3)20.4+(6-3)20.2+(10-3)20.1=9.8.故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8.(2)由概率的加法公式,P(x 300)=1-P(X300)=0.7,又 P(300x900)=P(X900)-P(X300)=0.9-0.3=0.6.由条件概率,得 P(Y6|X300)=P(X900|X300)=.故在降水量 X 至少是 300mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是.10.(2013 浙江高考,理 19)设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球 ,c
7、个蓝球,且规定: 取出一个红球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分.(1)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取( 有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和,求 的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等 )1 个球,记随机变量 为取出此球所得分数.若 E()=,D()=,求 abc.解:(1)由题意得 =2,3,4,5,6.故 P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=,来源:gkstkP(=5)=,P(=6)=,所以 的分布列为 2 3 4 5 6P(2)由题意知 的分布列为 1 2 3P所以 E()=,D()=,化简得解得 a=3c,b=2c,故 abc=321.
