1、1第四章 习题1.考虑如下扩展式博弈，指出以下博弈不存在纯战略序贯均衡，求出其混合战略序贯均衡（Gibbons 书上练习 4.2） 。2.考虑下图扩展式博弈，并回答如下问题（Myerson 书上练习 4.5） 。a.求出以上博弈所有的序贯均衡。b.如果除掉行动“g” ，求出以上博弈所有的序贯均衡。23.考虑下图扩展式博弈，回答如下问题（Myerson 书上练习 4.1）a.计算对应的信息集上的信念；b.计算在给定信息集上参与人 1 和参与人 2 的期望支付；c.确定在所有信息集上参与人的非理性行为；d.找出以上博弈一个序贯均衡。1.1 (0.6) 2.2 2, 1 -8, 6 -9,0 1,4
2、 0.25 (0.1) 1,4 9,0 0.75 2.3 (0.9) a b c d (0.4) 2.2 c(0.05)d(0.95)0(0.1) (0.9) c d 4.考虑如下扩展式博弈，求出所有的序贯均衡。 （Myerson 书上例子）35. 考虑下图扩展式博弈，并回答如下问题。 （Myerson 练习 4.3）a.当 ，求出三个纯战略纳什均衡；1xb.求出参与人的信息集 2.2 和信息集 2.3 之间后验信念的关系；c.证明当 x=1 时，证明以上三个纳什均衡中有两个是序贯均衡，有一个不是序贯均衡；d.当 x 至少为多少时以上三个纳什均衡都是序贯均衡。6.考虑下图扩展式博弈，分析并回答
3、如下问题。a.求出所有的分离均衡和混同均衡；b.利用剔除劣战略精炼以上均衡；c.利用直观标准精炼以上所有均衡。47.考虑一个企业融资和资本结构的博弈。企业由于进行一项新的项目需要向投资者融资 I，新项目预期收益为 ，并且满 ， 为投资者的机会成本。在R(1)Ir没有投资之前的获利能力 是企业的私人信息， 可能取值 ，还可能取值 ，LH两者满足 。博弈时序如下：自然首先决定 的概率为 ；企业家0HL p观察到 之后，向投资者提供股份 ；投资者观察到 之后，决定是否(01)ss向企业提供融资；如果投资者拒绝融资，则投资者的支付为 ，企业的支(1)Ir付为 ；如果投资者接受融资，投资者的支付为 ，企
4、业的支付为()sR。(1)sRa.写出以上博弈的扩展式；b.在什么条件以上博弈存在分离均衡；c.在什么条件以上博弈存在混同均衡。8. 考虑一个三阶段两个参与人的不完全信息博弈。在每一个阶段，参与人 1 有三 个行 动： ，参与人 2 有两个行动： 。参与人 1 有三种等概率的,SRH,SR类型： 。在任何阶段，如果参与人 1 类型是 且两个参与人都选择行动,srh s则得到 1，否则就是 0；如果参与人 1 类型是 且两个参与人都选择行动 则S rR得到 1，否则就是 0；如果参与人 1 类型是 且参与人 1 选择行动 则得到 1，hH否则就是 0。参与人 2 没有任何私人信息。在任何阶段，如
5、果两个参与人都选5择行动 或者 ，则参与人 2 将得到 1，否则就是 0。现在问是否存在一个序SR贯均衡以下事件是正概率事件，第一阶段参与人 1 选择 ，第二阶段两个人都H选择 ，第三阶段参与人 2 选择 （摘自 Tirole 和 Fudenberg 练习 8.7） 。R9. 考虑两人提供公共物品不完全信息博弈，提供公共物品是 01 决策。参与人 i提供公共物品成本 是在都定义域为 的独立的均匀分布，而且参与人的提ic0, 4供成本是参与人私人信息。.如果该博弈重复两次，即在第一阶段，两个参与人同时决定是否提供公共物品，在第二阶段，每个参与人在观察到第一阶段决策后，每个参与人也同时决定是否提供
6、公共物品，每个阶段参与人的成本和效用如下图所示，求解本博弈的对称序贯均衡。表 4.1 2S1S提供 不提供提供 ，12c2，21c不提供 2， 0，010. 工会和企业老板在信息不对称条件下就工资进行讨价还价；员工的保留工资为0，企业利润 服从 均匀分布，企业利润 是企业老板的私人 信息。在H0, 第一阶段，工会提出要求工资 ，如果企业老板接受，则博弈结束，老板支付1W为 ，工会为 ；如果老板拒绝，则博弈进行第二阶段。在第二阶段，工1W1会同样提出工资要求 ；如果企业接受，则企业老板得到 ，工会得到2 2W；如果企业老板拒绝则进行第三阶段博弈。在第三阶段，工会同样提出工资2要求 ；如果企业接受
7、，则企业老板得到 ，工会得到双方各得。现在假3 3定双方的贴现因子都为 ，求解以上博弈的序贯均衡（Gibbons 书中例子 4.3.B加以改编） 。611 考虑一个企业进入市场的信号传递博弈。市场需求函数 ；潜在进入者9pQ的生产固定成本为 0，其边际成本 ；在位者厂商固定生产成本为 0，其边2c际成本可能是 或 ，且 的概率为 ；在位者厂商的边际成本是在1c141位者的私人信息，但 的概率为 是共同知识。博弈时序如下：第一阶段，p自然以 的概率选择 ；第二阶段在位者决定市场价格和产量水平，进入p1者观察价格和产量后决定是否进入；在第三阶段，如果进入者没有进入，在位者依旧是市场垄断者。如果进入
8、者已经进入，在位者和进入者进行古诺博弈，此时进入者已经知道在位者的边际成本。现假定进入者进入成本为 6，时间贴现率为 1（改自 Milgrom 和 Roberts1982 的论文） 。a.求出一个分离均衡。b.在什么条件下存在混同均衡，并求出一个混同均衡。c.求出一个满足剔除严格劣战略标准的分离均衡。d.求出一个满足直观标准的混同均衡。12.考虑一个囚徒困境在不对称信息下的有限次博弈。其一次性博弈的支付矩阵如下图所示。现在假定每个参与人都有 的可能性是“傻子” ， 可能性是个1“精明人” 。精明人总是选择对自己最有利的行动，支付如下表。傻子有一种特殊的偏好，总是按照以下的方式行事：开始选择努力
9、工作；一直努力工作，除非对方在上一次偷懒；如果对方上次偷懒，自己将从本次开始一直偷懒下去。假定贴现因子 ，证明：不论 多小（ 大于 0） ，存在一个 ；使得只要10T博弈重复的次数 ；一开始就选择“偷懒”不是精明人的最优行为；更为0T一般地，只要 ,双方都会努力工作。t表 4.2 2S1S努力 偷懒努力 2,2 -1,3偷懒 3,-1 0,0713. 考虑一个三个参与人两个阶段的动态博弈。只有参与人 1 和参与人 2 存在私人信息，参与人 的类型 等于 的概率都是 ，并且参与人之间(1,2)iiii或 者 0.5类型满足： 。现在假设参与人 212)()7probprob1 和参与人 2 在第
10、一阶段选择行为战略，参与人 3 在第二阶段选择行为战略。若在某一个序贯均衡之中，不管何种类型参与人 i 总是选择行动 。现在假设*ia参与人 1 还是选择 但是参与人 2 偏离原来均衡的行为战略 ，则问在此条件*1a 2下，求出参与人 3 第二阶段关于 的与原来序贯均衡一致或兼容的后验信1(,)念（摘自 Tirole 和 Fudenberg 练习 8.8） 。14. 证明如果一个博弈具有完美回忆，则序贯均衡一定是纳什均衡。15. 证明如果一个动态博弈中参与人类型之间是完全独立的，每个参与人至多有两个类型或者至多两个阶段，则贝叶斯精练纳什均衡一定是序贯均衡。贝叶斯精练纳什均衡定义与序贯均衡定义非
11、常类似，仅仅关于零概率事件定义是不同的，参与人关于不同参与人类型的后验信念是完全独立的，即参与人 i 关于参与人j 的类型信念和参与人 k 类型信念是完全独立的；在 阶段后验信念仅仅由 阶t t段行为战略和 阶段后验信念决定。1t16. 泽尔腾（1975）为了精炼纳什均衡，剔除不可置信的威胁，考虑参与人的犯错的可能性。具体地说，对于任何有限博弈，如果一个战略组合满足以下条件，则称战略组合 为颤抖手均衡：0(1) ()2lim ,(3) )arg()kiii ikiiissut表 示 任 何 战 略 都 有 正 概 率 使 用（ ）a.证明任何有限博弈至少存在一个擅抖手均衡。b.如果 是代理人标
12、准式的擅抖手均衡，则必然存在一个信念系统 ，使得 是一个序贯均衡。(,)817. 考虑如下战略式博弈，回答如下问题。如果表 4.3 中严格劣战略 不存在，12,DR则以下战略式博弈之中唯一颤抖手均衡是 。如果表 4.3 中严格劣战略12(,)UL是存在的，则以下战略式博弈之颤抖手均衡不再是唯一的（摘自 Tirole12,DR和 Fudenberg 练习 8.9） 。表 4.3 2S1S2LM2R1U1,1 0,0 -1,-2M0,0 0,0 0,-21D-2,-1 -2,0 -2,-218. 考虑如下一个廉价交谈博弈。信号发送者的类型是 的均匀分布，接受者0,1的行动空间为 。信号发送者的支付
13、函数为 ，接受0,1A 2(/4)SUat者为 ，其中 为接受者采取的行动， 发送者的类型。2()RUatata.证明完全信息交流，即发送者总是如实报告类型是不可能的。b.求出两者信息交流最大时的序贯均衡。19.考虑下图扩展式博弈，回答如下问题（Myerson 书中练习 4.9）1.1 2.2 3.3 x 1y 1 x 2y 2x 3y 33,1,0 0,1,2 1,0,2 1,3,0 1,1,9 3.3 x 3y 39a.证明在任何序贯均衡中，参与人 3 行动概率为 1，即信息集 3.3 总是可到达。b.证明如果参与人 1 和参与人 2 关于参与人 3 行动的信念有所不同，则参与人1 和参与
14、人 2 理性决策导致参与人 3 行动的概率为 0。20.考虑如下扩展式博弈，分析回答如下问题（Myerson 书中例子 4.9） 。a.如果去掉下半部分博弈树，则以上博弈的唯一序贯均衡是都选择 fi;b.如果存在一个序贯均衡参与人 1 在第一阶段选择 g1,则 的最小值。21.考虑垄断者通过价格显示质量的模型。消费者的效用函数为 ， 为usp偏好参数， 为产品质量， 购买商品价格，即消费者只购买一单位商品。假sp定偏好参数取值为 和 ，各自比例分别为 和 。垄断厂商的产品质量可10p1能是 ,花费成本 ；产品质量也可能是 ，花费成本 ；并且满足： ，1c0s0c10s。假定以上博弈重复两次，偏
15、好参数是公共信息，产品质量是产商的私0c人信息。考虑以下两组参数（摘自和 Tirole 书中练习 2.7）： 1010102/, c, =2, s,/2, =1/3p/2 pS10a.如果消费者了解产品质量信息，证明在 条件下高质量垄断厂商仅向消费者1S提供产品，低质量垄断厂商向所有消费者出售产品；而 条件下则相反。1 2Sb.假定消费者通过第一期购买才能获得质量信息，而且只有第一期购买的消费者第二期才会购买。证明在 条件存在分离均衡，高质量产商比低质量产商索1S取更高的价格；而在 条件下则结论正好相反。222. 考虑如下两阶段科斯动态，思考垄断者动态定价问题。一个耐用品市场上存在一个垄断者，
16、两种类型消费者。消费者类型，即耐用品对于消费者的价值是私人信息，价值 的概率为 ，价值 的概率为 ，且 ，vpvp,0vp以及 。假设不存在价格歧视，垄断者在任何阶段仅仅能够提供一个价格，0p在两个阶段之中消费者仅仅购买一单位耐用品或者零单位耐用品。现在假设如果在第一阶段消费者拒绝垄断者要价 之后，垄断者关于消费者是类型m后验信念是 （摘自 Tirole 和 Fudenberg 例子 10.2） 。v()uva. 在给定垄断者后年信念 后，求出垄断者第二阶段最优要价。()vb. 假设消费者和垄断者的贴现因子都是 ，求出第一阶段垄断者最优要价。c. 在此基础上讨论垄断者本身之间跨期价格竞争机制。
