1、3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；学习过程 一、课前准备（预习教材 P92-96 找出疑惑之处）复习 1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量 ， 是平面上两个 向量，总,ab是存在 实数对 ，使得向量 可以用 来表示，表达式为 ，,xyP,ab其中 叫做 . 若 ，则称向量 正交分解. ,ab复习 2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取 x 轴和 y 轴上的 向量作为基底，对平面上任意向量 ，有且只有一对实数 x， y，使得 ， ，则称有,ij a axiyj序对 x
2、y为向量 的 ，即 .a二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量 ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？a这几个向量有何位置关系？新知：1 空间向量的正交分解：空间的任意向量 ，均可分解为不共面的三个向量 、a 1a、 ，使 . 如果 两两 ，这种分解就是空间向量2a3123a123,的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量 ，,abc对空间任一向量 ，存在有序实数组 ，使得 . 把 的一个基底，pxyzpxaybzc都叫做基向量.,abc反思：空间任意一个向量的基底有 个.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为
3、，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j ,k表示.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a，且设 i、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 ，使得 ，则称有序,xyzxyz实数组 为向量 a 的坐标，记着 .,xzp设 A ，B ，则 .1(,)2(,)xyzAB向量的直角坐标运算：设 a ，b ，则123(,)123(,)ab ；,aab ；123,a ；(,)(Rab .123b试试：1. 设 ，则向量 的坐标为 .ijka2. 若 A ，B ，则 .(1,02)(3,1)AB3. 已知 a ，b ，求 ab，ab，8a，ab
4、5,4) 典型例题例 1 已知向量 是空间的一个基底，从向量 中选哪一个向量，一定可以与向量,abc ,abc构成空间的另一个基底？,paq变式：已知 O,A,B,C 为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点,OABCO,A,B,C 是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.例 2 如图，M,N 分别是四面体 QABC 的边 OA,BC 的中点， P,Q 是 MN 的三等分点，用,OABC表示 和 .PQ变式：已知平行六面体 ，点 GABCD是侧面 的中心，且 ， ，试用向量 表示下列向量:BOa,bOc,abc .,;OA 动手试试练 1.
5、 已知 ，求：2,31,03,2abc ； .bc68a练 2. 正方体 的棱长为 2，以 A 为坐标原点，以 为 x 轴、yABCD AB,D轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点 ， 的坐标分别是 ， 1D,C， .三、总结提升 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1.
6、 若 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）a,bcA. B. ,baC. D. , 2,b2. 设 i、j、k 为空间直角坐标系 O-xyz 中 x 轴、 y 轴、z 轴正方向的单位向量，且，则点 B 的坐标是 ABi3. 在三棱锥 OABC 中，G 是 的重心（三条中线的交点） ，选取 为基底，AC,OABC试用基底表示 O4. 正方体 的棱长为 2，以 A 为坐标原点，以 为 x 轴、y 轴、ABCD AB,Dz 轴正方向建立空间直角坐标系，E 为 BB1 中点，则 E 的坐标是 .5. 已知关于 x 的方程 有两个实根， ，且2350txtcatb，1,3,02ab当 t 时， 的模取得最大值 .c课后作业 1. 已知 ,求 线段 AB 的中点坐标及线段 AB 的长度.3,57,243AB,AB2. 已知 是空间的一个正交基底，向量 是另一组基底，若 在 的坐,abc ,abcp,abc标是 ，求 在 的坐标.123p,bac
