1、 高三数学章末综合测试题：第三章 三角函数、解三角形1、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知 是第一象限角，tan ，则 sin 等于( )34A. B. C D45 35 45 35解析 B 由Error!得 sin .352在ABC 中，已知 sin(AB)cos Bcos( AB )sin B1，则ABC 是( )A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等边三角形解析 A sin(A B)cos Bcos( AB)sin B sin(AB)Bsin A1，又 sin A1 ，sin A1，A90，故 ABC
2、 为直角三角形3在ABC 中，A60，AC16，面积为 220 ，那么 BC 的长度为( )3A25 B51 C49 D493解析 D 由 SABC ABACsin 604 AB220 ，得 AB55，再由余弦定12 3 3理，有 BC216 255 221655cos 602 401，得 BC49.4设 ， 都是锐角，那么下列各式中成立的是( )Asin()sin sin Bcos()cos cos Csin()sin() Dcos()cos()解析 C sin( )sin cos cos sin ，sin()sin cos cos sin ，又、 都是锐角， cos sin 0，故 sin
3、()sin( )5张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的北偏东 30方向上，15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75方向上，则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是( )A2 km B3 km C3 km D2 km2 2 3 3解析 B 如图，由条件知 AB24 6.在ABS 中，BAS30，1560AB6，ABS 18075105，所以ASB 45.由正弦定理知 ，BSsin 30 ABsin 45所以 BS 3 .故选 B.ABsin 30sin 45 26(2011威海一模)若函数 yAsin
4、(x)m 的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为 ，2直线 x 是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( )3Ay4sin By 2sin 2(4x 6) (2x 3)Cy 2sin 2 Dy2sin 2(4x 3) (4x 6)解析 D Error!Error!T ， 4.y2sin(4x )2.2 2Tx 是其对称轴，sin 1.3 (43 ) k( kZ) k (kZ) 43 2 56当 k1 时， ，故选 D.67函数 ysin(2x )(0 )是 R 上的偶函数，则 的值是 ( )A0 B. C. D4 2解析 C 当 时，y sin cos 2x，而 ycos 2x 是偶函数2
5、(2x 2)8在ABC 中“cos A sin Acos Bsin B”是“C90”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 B C90 时，A 与 B 互余，sin Acos B，cos Asin B，有 cos Asin Acos Bsin B 成立；但当 AB 时，也有 cos Asin Acos Bsin B 成立，故“cos Asin Acos Bsin B”是“C 90”的必要不充分条件9ABC 的三边分别为 a，b，c，且满足 b2ac,2bac，则此三角形是( )A钝角三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形解析 D 2bac，
6、4b 2( ac )2，又b 2ac，( ac) 20，ac，2bac2a，ba，即 abc.10f(x )Asin(x)( A0，0) 在 x1 处取最大值，则( )Af(x 1)一定是奇函数 Bf (x1)一定是偶函数Cf(x1) 一定是奇函数 Df(x1)一定是偶函数解析 D f(x)Asin(x)(A0，0)在 x1 处取最大值， f (x1)在 x0 处取最大值，即 y 轴是函数 f(x 1)的对称轴，函数 f(x1) 是偶函数11函数 ysin 在区间 上的简图是( )(2x 3) 2，解析 A 令x0 得 ysin ，( 3) 32排除 B，D.由f 0，f 0，排除 C.( 3
7、) (6)12若 tan lg(10a)，tan lg ，且1a ，则实数 a 的值为( )4A1 B. C1 或 D1 或 10110 110解析 C tan( )1 1lg 2alg a0，tan tan 1 tan tanlg10a lg1a1 lg10alg1a所以 lg a0 或 lg a1，即 a1 或 .110二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13(2011黄冈模拟)已知函数 f(x)Acos(x )的图象如图所 示，f ，则 f(0)_.(2) 23解析 由图象可得最小正周期为 . 所以 f(0)f ，注意到 与 关于 对称，23
8、 (23) 23 2 712故 f f .(23) (2) 23【答案】 2314设 a、b、c 分别是ABC 中角 A、B、C 所对的边， sin2Asin 2Bsin Asin Bsin 2C，且 满足 ab4，则ABC 的面积为_解析 由 sin2Asin 2Bsin Asin Bsin 2C，得 a2b 2abc 2，2cos C1.C60.又ab4，S ABC absin C 4sin 60 .12 12 3【答案】 315在直径为 30 m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其 轴截面顶角为 120，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的 高度为_m.解析 轴
9、截面如图，则光源高度 h 5 (m)15tan 60 3【答案】 5 316. 如图所示，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C，各段弧所在的圆经过同一点 P(点 P 不在 C 上) 且半径相等设第 i 段弧所对的圆心角为 i(i1,2,3)，则cos cos sin sin _.13 2 33 13 2 33解析 记相应的三个圆的圆心分别是 O1，O 2，O 3，半径为 r，依题意知，可考虑特殊情 形，从而求得相应的值当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知 有 1 2 32 ，此时 cos cos sin sin23 43 13 2 33 13 2 33cos cos c
10、os cos .1 2 33 43 ( 3) 3 12【答案】 12三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分) 在ABC 中，如果 lg alg clg sin Blg ，且 B 为锐角，试判断此三角形的22形状解析 lg sin Blg ，sin B ，22 22B 为锐角，B45.又lg alg clg ， .22 ac 22由正弦定理，得 ，sin Asin C 22 sin C2sin A2sin(135C)，2即 sin Csin Ccos C，cos C 0，C90，故ABC 为等腰直角三角形18(12 分) 已知函数 f(
11、x)2cos 2x2sin xcos x1(xR ，0) 的最小正周期是 .2(1)求 的值；(2)求函数 f(x)的最大值，并且求使 f(x)取得最大值的 x 的集合解析 (1)f(x)1cos 2xsin 2x1sin 2xcos 2x 2 sin 2.2 (2x 4)由题设，函数 f(x)的最小正周期是 ，可得 ，2 22 2所以 2.(2)由(1)知，f(x) sin 2.2 (4x 4)当 4x 2k(k Z) ，即 x (kZ)时，4 2 16 k2sin 取得最大值 1，所以函数 f(x)的最大值是 2 ，此时 x 的集合为Error!.(4x 4) 219(12 分) 在ABC
12、 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 .sin Aa 3cos Cc(1)求角 C 的大小；(2)如果 ab6， 4，求 c 的值CA CB 解析 (1)因为 ， ，asin A csin C sin Aa 3cos Cc所以 sin C cos C所以 tan C .3 3因为 C(0，) ，所以 C .3(2)因为 | | |cos C ab4，CA CB CA CB 12所以 ab8.因为 ab6，根据余弦定理，得c2a 2b 22abcos C( ab) 23ab12.所以 c 的值为 2 .320(12 分) 在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， m
13、(2bc，cos C)，n(a，cos A)，且 m n.(1)求角 A 的大小；(2)求 y2sin 2Bcos 的值域(3 2B)解析 (1)由 m n 得(2bc)cos A acos C0.由正弦定理得 2sin Bcos Asin Ccos Asin Acos C0.所以 2sin Bcos Asin(A C )0，即 2sin Bcos Asin B0.因为 A，B (0，)，所以 sin B0，cos A ，12所以 A .3(2)y2sin 2Bcos cos 2Bsin sin 2B3 31 cos 2B sin 2B12 32sin 1.(2B 6)由(1)得 0B ，所以
14、 2B ，23 6 676所以 sin ，所以 y .(2B 6) ( 12，1 (12，221(12 分) 设函数 f(x)sin(2x )(0)的图象过点 .(8， 1)(1)求 ；(2)求函数 yf(x )的周期和单调增区间；(3)画出函数 yf(x )在区间0， 上的图象解析 (1)f (x)sin(2x)的图象过点 ，(8， 1)1sin ， 2k (kZ)，(4 ) 4 2又 (，0)， .f (x)sin .34 (2x 34)(2)由题意，T ，由(1)知 f(x)sin ，22 (2x 34)由 2k 2x 2k (kZ)得增区间为 (kZ)2 34 2 k 8，k 58(3)f(x)在0 ，上的图象如图：22(12 分) 已知 sin ， .( 4) 35 4 34(1)求 cos 的值；( 4)(2)求 sin 的值解析 (1)sin ，且 ，( 4) 35 4 340 ，cos .42 ( 4) 45(2)sin sin sin cos cos sin .( 4 4) ( 4) 4 ( 4) 4 7210
