1、1.6.2 微积分基本定理【 学 情 分 析 】 ：在 上 一 节 教 学 中 ， 学 生 已 经 学 习 了 微 积 分 基 本 定 理 ， 并 且 初 步 学 会 使 用 微 积 分 基 本 定 理 进 行求 定 积 分 的 计 算 本 节 需 要 在 上 一 节 的 基 础 上 ， 进 一 步 理 解 定 积 分 的 几 何 意 义 ， 以 及 利 用 几 何意 义 求 几 何 图 形 的 面 积 学 生 在 学 习 了 几 种 初 等 函 数 ， 必 然 会 设 法 计 算 它 们 的 一 些 定 积 分 另外 学 生 在 之 前 还 学 习 一 些 具 有 特 殊 函 数 性 质 （
2、 奇 偶 性 ） 的 函 数 ， 这 些 函 数 也 是 可 以 作 为 研 究 的对 象 【 教 学 目 标 】 ：（ 1） 知 识 与 技 能 ： 进 一 步 熟 悉 运 用 基 本 定 理 求 定 积 分 ； 增 强 函 数 知 识 的 横 向 联 系 ;（ 2） 过 程 与 方 法 ： 理 解 定 积 分 的 值 与 曲 边 梯 形 面 积 之 间 的 关 系 ；（ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 培 养 学 生 的 探 究 精 神 与 创 新 思 想 。【 教 学 重 点 】 ：（ 1） 运 用 基 本 定 理 求 定 积 分（ 2） 定 积 分 的 值 与 曲 边 梯 形
3、 面 积 之 间 的 关 系【 教 学 难 点 】 ：（ 1） 求 函 数 的 一 个 原 函 数 ()fx()Fx（ 2） 理 解 定 积 分 的 值 与 曲 边 梯 形 面 积 之 间 的 关 系【 教 学 突 破 点 】 ：合 理 利 用 复 合 函 数 的 求 导 法 则 来 求 原 函 数 ()x【 教 学 过 程 设 计 】 ：教 学 环 节 教 学 活 动 设 计 意 图一、提出问题师 ： 上 一 节 课 ， 我 们 学 习 微 积 分 基 本 定 理 （ 投 影 微 积 分基 本 定 理 ） ， 并 且 使 用 微 积 分 基 本 定 理 计 算 了 一 些 简 单的 定 积
4、分 下 面 我 们 看 看 试 试 计 算 这 些 定 积 分 ， 看 看 你能 发 现 什 么 结 论 ？生 ： 计 算 ， 讨 论 例 题 1： 计 算 下 列 定 积 分 ：（ 1） ； （ 2）20(cosin1)dxx 1dx解 ： （ 1） cscosin 202sino3x原 式 =（ 2） 时 ，1lx 12lnlln2lx原 式师 （ 总 结 ） ： 运 用 微 积 分 基 本 定 理 求 定 积 分 的 关 键 是 求出 满 足 的 函 数 F(x)()Ff（ 课 本 P60） 例 题 2： 计 算 下 列 定 积 分 ：（ 1） ； （ 2） ； （ 3）sindxsin
5、d20sindx温 故 而 知 新(2)题 主 要 是 学 生 容 易 忽 视定 义 域 ， 误 为导 致 无12lnl()ln2x法 计 算 解 ： (cos)inx ，00ind(cos)(s0)2，22si(cos)xx 00ind(cos)(cs0)二 、探索新知生 ： （ 可 能 会 回 答 ） 2 200sindsisindxxx师 ： 这 是 一 个 定 积 分 的 性 质 ：（ 其 中 ） ()d()()bcbaacfxfxfacb师 ： 试 试 利 用 曲 边 梯 形 的 面 积 表 述 所 发 现 的 结 论 x+12yOx12yOx+12yO生 ： 定 积 分 的 值 可
6、 以 是 正 值 、 负 值 或 0生 ： （ 书 本 P60） (1)当 对 应 的 曲 边 梯 形 位 于 x 轴 上 方时 ， 定 积 分 的 值 为 正 值 ， 等 于 曲 边 梯 形 的 面 积 ；教 师 利 用 函 数 图 象 引 导 学 生归 纳给 出 一 般 结 论（ 2） 当 对 应 的 曲 边 梯 形 位 于 x 轴 下 方 时 ， 定 积 分 的 值为 负 值 ， 等 于 曲 边 梯 形 的 面 积 的 相 反 数 师 ： 根 据 你 们 的 结 论 ， 我 们 可 以 进 一 步 补 充 课 本 P51页 的 定 积 分 的 几 何 意 义 ： dc- + baO xy
7、y=f(x)一 般 情 况 下 （ 如 下 图 ） ， 定 积 分 的 几 何 意 义 是()dbafx介 于 x 轴 、 函 数 的 图 象 以 及 直 线 之 间 各()fx,b部 分 面 积 的 代 数 和 ， 在 x 轴 上 方 的 面 积 取 正 号 ； 在 x轴 下 方 的 面 积 取 负 号 师 ： 如 果 在 区 间 上 恒 为 正 ， 则 定 积 分()fx,ab， 为 面 积 值 ； 但 是 ， 不 能 推 出()d0baf ()d0bafx在 区 间 上 恒 为 正 x,ab师 ： 由 上 图 我 们 还 可 以 等 出 一 个 结 论 ：若 在 区 间 上 不 是 恒
8、为 非 负 的 ， 则 函 数 与 x()f,轴 以 及 直 线 所 围 的 图 形 的 面 积,xab为 例 如 上 图 中 ，()dbaf()()d()dbc baacfxfxfxfx例 题 3： 已 知 在 上 连 续 ， 若 是 奇 函 数 ，()fx,a()fx则 并 证 明 你 的 结 论 。()daf附 证 明 ： （ 1） 在 上 连 续 ,是 奇 函 数 ，()fx,a ，()fxf,设 ， 则 有 ,Ff()Fxf着 重 说 明 定 积 分 的 值 与 曲 边梯 形 面 积 之 间 的 关 系 ： 令 位于 x 轴 上 方 的 曲 边 梯 形 的面 积 取 正 值 ， 位
9、于 x 轴 下方 的 曲 边 梯 形 的 面 积 取 负 值 ，这 样 定 积 分 的 值 就 是 曲 边 梯形 面 积 的 代 数 和显 示 出 数 形 结 合 的 威 力复 合 函 数 的 求 导 法 则 的 逆运 用()()()()()FxffxFxFx （ C 为 常 数 ）令 ， 则 有 ， 0x(0)0 ()F d()()()0aafxFaFa 原 式 得 证师 ： 本 题 从 几 何 直 观 上 是 非 常 容 易 理 解 的 ， 但 是 要 使 用微 积 分 基 本 定 理 证 明 ， 关 键 是 证 明 奇 函 数 的 原 函 数 是 偶函 数 这 个 性 质 容 易 误 为
10、()Fx再 次 强 调 运 用 微 积 分 基 本定 理 求 定 积 分 的 关 键 是 求 出原 函 数 F(x)三 ：实践新知练 习 ： 若 是 偶 函 数 ， 则 ()fx0()d2()aafxfx证 明 ： 在 上 连 续 ,是 偶 函 数 ，,a ，()fx,x设 ， 则 有 ,Ff()Ffx()()()()xxFx （ C 为 常 数 ）令 ， 则 有 ， 0x(0)F2(0) ()d()aafxaFC 002()202()f原式得证巩 固新 知练 习 ：1 P62 习题 1. 6 B 组第 1 题（1）（3）2 P62 习题 1. 6 B 组第 2 题（1）（3）总 结归 纳定
11、积 分 的 几 何 意 义 ：一 般 情 况 下 ， 定 积 分 的 几 何 意 义 是 介 于 x 轴 、()dbafx函 数 的 图 象 以 及 直 线 之 间 各 部 分 面 积 的()fx,b代 数 和 ， 在 x 轴 上 方 的 面 积 取 正 号 ； 在 x 轴 下 方 的 面积 取 负 号 布 置作 业1 P62 习题 1. 6 B 组第 1 题（ 2）（4）2 P62 习题 1. 6 B 组第 2 题（ 2）（4）3 P62 习题 1. 6 B 组第 3 题设 计反 思对 于 例 题 3， 在 证 明 某 些 关 键 的 地 方 要 提 示 ， 也 可 以 采用 老 师 讲 授
12、 的 方 法 ， 再 进 行 模 仿 练 习 。 如 果 实 在 困 难 ，略 去 严 格 的 数 学 证 明 也 未 尝 不 可 。（基础题）1. 的值是（ ）2(sinco)dx(A)0 (B) (C)2 (D)44答案：C解释： 2 2(sinco)dcsinxx 2. 曲线 与坐标轴所围成的面积是（ ）3(0)2y(A)2 (B)3 (C) (D)45答案：B解释：3 322200cosdcs(cos)dSxxx3202sini1x3. 与 x 轴所围成图形的面积为 i()y答案：4解释： 2 200sindsisindxxx2co()44. 设 ，求 。01()5xf20()fxd解释： 2121200101()()()56fxdfxfxx（难题）5.求 22ma,.yxo2x122解释：由图形可知220()max,1,xf 012201.xdd原 式6.设 为 上以 为周期的连续函数，证明对任何实数 ，有()fRTa0()d()aTTfxfx证明： 为 上以 为周期的连续函数fx ()(,fTf设 ，则有Fxf()()FxTf()() ()()xFTx （C 为常数）xT ()CF令 ，则0x(0FTxyo12令 ，则xa()CFaT ()d()TaafxFaC 00 )0Tf 原式等证。
