1、2.1 合情推理与演绎逻辑（二）【 内 容 分 析 】 ：类 比 是 重 要 的 推 理 方 法 ， 在 掌 握 一 定 的 数 学 基 础 知 识 （ 如 数 列 、 立 体 几 何 、 空 间 向 量 等 等 ）后 ， 对 数 学 问 题 的 探 究 方 法 加 以 总 结 ， 上 升 为 思 想 方 法 。【 教 学 目 标 】 ：1、 知 识 与 技 能 ：（1）结合数学实例，了解类比推理的含义（2）能利用类比方法进行简单的推理，2、 过 程 与 方 法 ：通 过 课 例 ， 加 深 对 类 比 这 种 思 想 方 法 的 认 识 。3、 情 感 态 度 与 价 值 观 ：体验并认识类
2、比推理在数学发现中的作用。【 教 学 重 点 】 ：（ 1） 体 会 并 实 践 类 比 推 理 的 探 索 过 程（ 2） 类 比 推 理 的 局 限【 教 学 难 点 】 ：引 导 和 训 练 学 生 从 已 知 的 线 索 中 归 纳 出 正 确 的 结 论【 教 学 过 程 设 计 】 ： 教 学 环节教 学 活 动 设 计 意 图一、问题情景学生阅读1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更;
3、 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.4利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.引 入 课 题通 过 阅 读 教材 体 会 类 比推 理 的 思 维过 程二 、概 念教 学由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比练习：(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材 73
4、探究 填表）小结：平面空间，圆球，线面.讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.类 比 推理 联想 普 遍联 系三、例题讲解例 2：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）类比角度 实数的加法 实数的乘法运算结果 若 则,abR若 则,abR运算律 ()()c()()c逆运算加法的逆运算是减法，使得方程 有唯一解0ax乘法的逆运算是除法，使得方程 有唯一解1ax单位元 分 析 探 索 过程例 3、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.思维：直角三角形中， ，3 条边的长度 ，2 条直角边 和 109C,abc,ab条斜边 ；
5、c3 个面两两垂直的四面体中， ，4 个面的面积09PDFEF和123,S3 个“直角面” 和 1 个“斜面” . 拓展：三角形到四面体123,SS的类比.例 4、 （可作为研究性学习材料）四、课堂训练例:(2001 年上海)已知两个圆x 2+y2=1:与x 2+(y-3)2=1,则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例。解析：类比猜想 1)圆心 2）半径 推广的命题为：设圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2 与 (x-c)2+(y-d)2=r2（ac 或bd),则由式减去式可得上述
6、两圆的对称轴方程。五、小结类比推理的几个特点1）类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3）类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.练习 P93 1，2.3，4.5 ; P 94 11） 联 想2） 探 索 性3） 不 确 定 性指 出 类 比 推理 的 结 果 不一 定 可 靠【 练习与测试】 ：（基础题）1）已知扇形的弧长为 l,半径为 r，类比三角形的面积公式 S ，可知扇形的面积公式为_ah212)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体
7、的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A；B； C； D 3)由“ 正三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 4）定义运算 a b= 则对 x R，函数 f(x)=1 x 的解析式为_。)(ba5）三角形的面积公式为 S （a,h 分别表示三角形的边和该边上的高） ，类比四面体的体积 Vh216）在三角形 ABC 中， 于 D，则有 ，类比此性质，给出空间四面ABC,90ABC2体的一个猜想，并判断该猜想是否正确。答案：1）
8、s= lr22）C3）正棱锥的侧棱长相等 4）f(x)=1 x)1(x5） 四面体的体积 V （S,h 分别表示四面体的底面积和该面上的高）Sh316）在棱锥 SABC 中， ，则OCS,AB于平 面平 面CCABO2SAB（中等题）1）a,b 为实数，则由 或 ，类比向量运算中 可以得出什么结论？0abb0ba2）若三角形的内切圆半径为 r 三边的长分别为 a,b,c,则三角形的面积 根据类比思想，)(21crs若四面体的内切球半径为 r，四个面的面积分别为 ，则此四面体的体积 V_ 4321,s3) 在 中，若 ，则 的外接圆半径 ，将此结论拓展到ABC,ACbBaAC2abr空间，可得出
9、的正确结论是：在四面体 中，若 两两垂直，SSB、 、，则四面体 的外接球半径,SabSc_R4)六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 如图 1 在平行四边形 ABCD 中，有 AC2+BD2=2(AB2+AD2)，那么在图 2 所示的平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，有 AC12+BD12+CA12+DB12=（ ）.A2（ AB2+AD2+AA12） B3（ AB2+AD2+AA12） C4（ AB2+AD2+AA12） D4（ AB2+AD2）答案：1） 或0ba0b或 a2）V )(34321SSr3） c4）C（难题）1）若数列 是等差数列，对于 ，则数列 也是等差数列。类比上述性质，na )(12nnaab nb若数列 是各项都为正数的等比数列，对于 ，则 = 时，数列 也是等比数列。c 0nda.321nd2）如图，已知命题：若矩形 ABCD 的对角线 BD 与边 AB 和 BC 所成角分别为 ，则、若把它推广到长方体 ABCDA1B1C1D1中，试写出相应命题形式： ,1os2_ .D CBAD1 C1CDABA1B1答案：1） =ndna.321200704022）长方体 ABCDA1B1C1D1中，BD 与同一顶点三个侧面所成角分别为 ，则、2coscos2
