1、函数的奇偶性及周期性课前考点引领考点分析 考点新知 函数奇偶性的考查一直是近几年江苏命题的热点，命题时主要是考查函数的概念、图象、性质等. 能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期性分析和解决有关问题了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性.掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题. 了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些问题.1. (习题改编) 函数 f(x)mx 2(2m1)x1 是偶函数，则实数 m_答案：12解析：由 f(x)f(x) ，知 m .122. (练习改编) 函数 f(x)x 3 x 的图象关于_对称. 答案
2、：原点解析：由 f(x)(x) 3(x)x 3xf(x)，知 f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称3. (原创) 设函数 f(x)是奇函数且周期为 3，若 f(1)1，则 f(2015)_答案：1解析：由条件，f(2015)f(67132)f(2)f(1) f(1)1.4. (练习) 对于定义在 R 上的函数 f(x)，给出下列说法： 若 f(x)是偶函数，则 f(2)f(2)； 若 f(2) f(2) ，则函数 f(x)是偶函数； 若 f(2)f(2) ，则函数 f(x)不是偶函数； 若 f(2)f(2) ，则函数 f(x)不是奇函数其中，正确的说法是_(填序号) 答案：解析：根据偶函数的
3、定义，正确，而与互为逆否命题，故也正确，若举例奇函数 f(x)由于 f(2)f(2)，所以都错误x 2，x0，x 2，x0 时，f(x) x 3x1，则当 x0 ，f( x)x 3x1，由于 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)，所以 f(x)x 3x1.1. 奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数2. 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1) 考查定义域是否
4、关于原点对称(2) 根据定义域考查表达式 f(x) 是否等于 f(x)或f(x) 若 f(x) f(x)，则 f(x)为奇函数若 f(x) f(x) ，则 f(x)为偶函数若 f(x) f(x)且 f(x)f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数若存在 x 使 f(x)f(x)且 f(x)f(x) ，则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数3. 函数的图象与性质奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称4. 函数奇偶性和单调性的相关关系(1) 注意函数 yf(x) 与 ykf(x)的单调性与 k(k0)有关(2) 注意函数 yf(x) 与 y 的单调性之间的关系1f（
5、x）(3) 奇函数在a，b和 b，a上有相同的单调性(4) 偶函数在a，b和 b，a上有相反的单调性5. 函数的周期性设函数 yf(x)，xD，如果存在非零常数 T，使得对任意 xD，都有 f(xT)f(x) ，则称函数 f(x)为周期函数，T 为函数 f(x)的一个周期 (D 为定义域)课中技巧点拨题型 1 判断函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性：(1) f(x)x 3 ；(2) f(x) ；(3) f(x)(x1) ；(4) f(x)1x 21x1 x1 x 223xx解：(1) 定义域是(，0)(0，) ，关于原点对称，由 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数(2) 去掉绝对值
6、符号，根据定义判断由 得 故 f(x)的定义域为1，0)(0 ，1，关于原点对称，且有 x20.1 x20，|x 2| 20，) 1x1，x0且 x 4.)从而有 f(x) ，这时有 f(x) f(x)，故 f(x)为奇函数1 x2x 2 2 1 x2x 1 （ x）2 x 1 x2x(3) 因为 f(x)定义域为1， 1)，所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数(4) 因为 f(x)定义域为 ， ，所以 f(x)0，则 f(x)既是奇函数也是偶函数3 3备 选 变 式 （教 师 专 享 ）判断下列函数的奇偶性：(1) f(x)x 4x；(2) f(x) ； (3) f(x)lg(x )2()
7、0x21x解：(1) 定义域为 R，f( 1)0，f(1) 2，由于 f(1)f(1)，f(1)f(1)，所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2) 因为函数 f(x)的定义域是(，0) (0，)，并且当 x0 时，x0，所以 f(x)(x) 2(x)(x 2x) f(x)(x0) 当 x0 时，x0，所以 f(x)( x) 2(x) (x 2x)f(x)(x0)故函数 f(x)为奇函数(3) 由 x 0，得 xR ，由 f(x) f(x)lg( x )lg(x )lg10，所以 f(x)x2 1 x2 1 x2 1f(x) ，所以 f(x)为奇函数题型 2 函数奇偶性的应用例 2 (1)
8、 设 aR，f(x) (xR)，试确定 a 的值，使 f(x)为奇函数；a2x a 22x 1(2) 设函数 f(x)是定义在( 1，1) 上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若 f(a2)f(4 a 2)1 且 a2.综上，实数 a 的取值范围是 0 时，xm 21，解得20 时，f(x) x 24x，则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为_答案：( 5，0) (5，)解析：作出 f(x)x 24x(x0)的图象，如图所示由于 f(x)是定义在 R 上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出 xx 表示函数 yf(x)的图象在 yx 的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(5，0)(5
9、，) 3. (2013天津)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)内单调递增若实数 a 满足 f(log2a)f(log a)2f(1)，则 a 的取值范围是_答案：12 12，2解析：因为 f(log a)f(log 2a)f(log 2a)，所以原不等式可化为 f(log2a)f(1)12又 f(x)在区间 0，)上单调递增，所以|log 2a|1，解得 a2.124. (2013盐城二模)设函数 yf(x)满足对任意的 xR，f(x)0 且 f2(x1) f 2(x)9.已知当 x0，1) 时，有 f(x) 2|4x2|，则 f _答案：(2 0136 ) 5解析：由
10、题知 f 2，因为 f(x)0且 f2(x1)f 2(x)9，故 f ，f 2，f ，如此循环得 f(12) (32) 5 (52) (72) 5f ，即 f .(6712) (4168 12 ) 5 (2 0136 ) 51. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) ,则 f(2 015)_答案：12log(1),0xff解析：由已知得 f(1)log 221，f(0)0，f(1) f(0)f(1)1，f(2)f(1)f(0) 1，f(3)f(2)f(1) 1(1)0，f(4)f(3)f(2) 0( 1)1，f(5)f(4) f(3)1，f(6)f(5) f(4)0，所以函数 f(x)
11、的值以 6 为周期重复性出现，所以 f(2 015)f(5)1.2. 已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0x2 时，f(x)x 3x，则函数 yf(x)的图象在区间0，6上与 x 轴的交点个数为_答案：7解析：由条件，当 0x2 时，f(x)x(x1)(x1) ，即当 0x2 时，f(x) 0 有两个根 0，1，又由周期性，当 2x4时，f(x) 0 有两个根 2，3，当 4x6时，f(x)0 有两个根 4，5，而 6 也是 f(x)0 的根，故 yf(x) 的图象在区间 0，6上与 x 轴的交点个数为 7.3. 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0时
12、，f(x)x 2，若对任意的 xt，t2，不等式 f(xt)2f(x)恒成立，则实数 t 的取值范围是_答案： ，)2解析： 当 x0时，f(x) x2 且 f(x)是定义在 R 上的奇函数，又 f(xt)2f(x) f( )，易知 f(x)在 R 上2x是增函数， xt x， t( 1)x. xt，t 2 ， t( 1)(t2)， t .2 2 2 24. 已知 f(x)是偶函数，且 f(x)在0 ，)上是增函数，若 x 时，不等式 f(1xlog 2a)f(x2) 恒成立，12，1求实数 a 的取值范围解： f(x) 是偶函数，当 x 时，不等式 f(1xlog 2a)f(x2) 等价于
13、f(|1xlog 2a|)f(2x)12，1又 f(x)在 0，)上是增函数， |1xlog 2a|2x， x21xlog 2a2x， 1 log2a 1，3x 1x上述不等式在 x 上恒成立， log2a ， 2log 2a0，解得 a1.12，1 (1 3x) max (1x 1) min 141. 函数奇偶性的判断，本质是判断 f(x)与 f(x)是否具有等量关系，前提是定义域关于原点对称，运算中，也可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)f( x)0 或 f(x)f(x) 0)是否成立2. 若 f(x)是偶函数，则 f(x)f(x)f(|x|)3. 奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函数在对称的区间上有相反的单调性备课札记
