1、回归课本-数学必修 1 解答一集合与函数的性质1. 试选择适当的方法表示下列集合：（1）函数 的函数值的集合； （2） 与 的图象的交点集合.2yx3yx5x解：（1） ， 2174故所求集合为 .|y（2）联立 解得 ， ）故所求集合为 2. 已知集合 ，35x21xy2,1|37Ax，求 、 、 、 . （P 14 10）|510B()RCAB()RRCAB()R解： ，（3 分） ， ()|0Rx或 ()|5RCB或， .7CA()|710Rx或3. 设全集 ， ， . （P 12 例 8 改编）*|9UN1,2,456求 ， ； ， ；由上面的练习，你能得出什么结论？请结()B()()
2、UCAB()UC合 Venn 图进行分析 .解： ， ， ，1,2345,6A3()7,8.又 ，(),78UCB4,5678UA1,2UB ， .1,2,(),C由上可知 ， . ()UUA()UUACVenn 图如右 4. 已知集合 集合 B 满足 ，则集合 B 有 4 个.,212,1A解： 集合 B 有 个.45.设集合 ， . （P 14 B 4 改编）|(4)0,AxaR|(1)0x（1）求 ， ； （2）若 ，求实数 a 的值；（ 3）若 ，则 的真子集共有 BA5aA7 个,;集合 P 满足条件 ，写出所有可能的集合 P.P解：当 时， ， ，故 ， ；当 时， ，,4B1,4
3、BA1,4，故 ， ；当 且 时， ， ，故1,41,4A1,a,4a,B， .（2）由（1）知，若 ，则 或 4. ,Ba（3）若 ，则 ， ，故 ，此时 的真子集有 7 个。因5,4B1,45ABA， ，所以可能的集合 P 为： ，共 4 个.4A4,6.设集合 则从集合 A 到 B 集合的映射共有 个。,cba,10解：根据映射的定义知，映射个数即为两个不同元素在在三个位置的可重排列数： .827.已知函数 .（1）求 的定义域与值域（用区间表示） （2）求证 在 上递3()4xf()fx ()fx1,)4减.解：（1）要使函数有意义，则 ，解得 .所以原函数的定义域是 .41014x|
4、， 所以值域为312()33104 4xxyx（2）在区间 上任取 ，且 ，则|,412,12x， ，又 ，121 1233xfxx1012,4x， ， 函数 在 上递减. 240,0f12fx()f,)8.已知函数 (1) 的单调区间； （2）求 的最大值和最小值.,4)(xf () x（2）当 时，求 的最小值.,5()f解：（1） 由函数图像可得， 函数 在 上为增函数.,212xf ()f4,（2）由（1）知，函数 的最小值为f .0)(f9已知函数 是偶函数，且在 是减函数，判断 在 是增函数还是减函数，并()fx, ()fx0,证明你的判断。解： 在 是增函数.下证明此判断.(用增
5、函数的定义或导数证明.证明略)f0,10. 已知函数 ，求 、 、 的值.（P 49 B4）(4,0xf(1)f3)f(1)fa解： ， ） .(1)5f32265,af7. 已知函数 . （P 16 8 题）fxx（1）证明 在 上是减函数;（2）当 时，求 的最大值和最小值. (),)2,x()fx解：（1）证明：在区间 上任取 ，且 ，则有112,1，212 2()()()()()fxxx ， （4 分） 即2,1210,x12()0fx ，所以 在 上是减函数 12)ff,（2）由（1）知 在区间 上单调递减，所以(fx5maxmin(),()51ffff11. 已知函数 其中 （P
6、84 4）)log),(log(aax0且（1）求函数 的定义域； （2）判断 的奇偶性，并说明理由；ffg（3）求使 成立的 的集合. (0x解：（1） .若要上式有意义，则 ，即 .分）所)l(1)l()aafxx10x1x以所求定义域为 .（2）设 ，则()()Fxfg()()log()log()(aFfxxF所以 是偶函数. f（3） ，即 ， .()0fxglog(1)l()0aaxxlog(1)l()aaxx当 时，上述不等式等价于 ，解得 .01a0当 时，原不等式等价于 ，解得 . 综上所述, 当 时，原不等式的10x1x1a解集为 ；当 时，原不等式的解集为 .10xa012
7、.中华人民共和国个人所得税规定，公民工资、薪金所得不超过 2000 元的部分不必纳税，超过 2000 元的部分为全月应纳所得税，此项税款按下列分段累计计算：全月应纳税所得额 税率（%）不超过 500 元部分 5超过 500 元至不超过 2000 元部分 10超过 2000 元至不超过 5000 元部分 15某人一月份应缴纳此项税款为 26.78 元，那么他当月的税前工资、薪金所得是多少？解:依题意,计税方式是分段计税 ,所以,某人的工资略高于 2500 元.即(元).8.2517.025二基本初等函数1.求不等式 中的 x 的取值范围.1,01472aaxx解:(略)。 答案 3,;3, 2.
8、已知 x + x 1 = 3，求下列各式的值:(1) ; 21.)(;)(22xx解:(略)。 答案 .5753.(1)已知 ,试用 表示ba3lg,la;log12(2) 已知 ,试用 表示o2b.564解: .l1l5l)1( 3log13333141414 27l12log7l1)27(log)(og6l2 .31ab4.已知 ,则 .0525. 对于函数 . （1）探索函数 的单调性；（2）是否存在实数 a 使得2()()xfaR()fx为奇函数. （P 91 B3）()fx解: (1) 的定义域为 R, 设 ,则f12x1212() 1xxfa= , , ,12()xx120,0xx
9、即 ,所以不论 为何实数 总为增函数. 12()0,fx12()fxa()fx（2）假设存在实数 a 使 为奇函数, ()f即 , 解得: xxa1.三函数的应用1 （1）已知函数 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （P 40 9）()fx 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2f (x) 3.51 1.02 2.37 1.56 0.38 1.23 2.77 3.45 4.89（2）已知二次方程 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求 的取值范围. 2()3mxm解：（1）由 ， ， ， .50fA(.5)ffA().50fA得到函数在（2，1.5）
10、、 （0.5，0） 、 （0，0.5）内有零点.（2）设 = ，则 =0 的两个根分别属于 (-1,0)和(1,2).()fx2)1xfx所以 ，即 ， 0f()7m17202. 某商场经销一批进货单价为 40 元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元 50 51 52 53 54 55 56日均销售量/个 48 46 44 42 40 38 36为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？ （P 49 例 1）解：由题可知，销售单价增加 1 元，日均销售量就减少 2 个. 设销售单价定为 x 元，则每个利润为（x40）元，日均销量为 个.48(50)x由于 ，且 ，得40x82
11、(50)47x则日均销售利润为 ， .24()59y7易知，当 ，y 有最大值. 7()所以，为了获取最大利润，售价定为 57 元时较为合理. 3 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量 Q 呈指数函数型变化，满足关系式 ，其中 是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ 40tQe0（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（P 44 9）解：（1） ， ， ， 为减函数. 0te40tQe 随时间的增加，臭氧的含量是减少. （2）设 x 年以后将会有一半的臭氧消失，则 ，即 ， 4012x4012x两边去自然对数， ， 1ln402x解得 . 287
12、年以后将会有一半的臭氧消失 . 40ln278x4 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量 与月份数 的关系，yx模拟函数可选用二次函数 （其中 为常数，且 ）或指数型函数2()fxpqxr,pqr0p（其中 为常数） ，已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用上述哪个函()xgabc,abc数作为模拟函数较好？并说明理由.（P 51 例 2）解：当选用二次函数 的模型时， ，由2()fxpqr20fxpqr，有 ， 解得 ， 12,.,31.ff
13、f14.93r.5,.3,.7r .当选用指数型函数 的模型时，4f ()xgabc 由 有,xgabc,2.,1.,，解得 ， .231.c0.8,.5,.4c135g根据 4 月份的实际产量可知，选用 .作模拟函数较好. .xy5. 如图， 是边长为 2 的正三角形，记 位于直线OABOAB(0)t左侧的图形的面积为 . 试求函数 的解析式,并画出函数()ft()ft yf的图象. （P 126 B2）解：（1）当 时，如图，设直线 与 分别交于 、01xC两点，则 ，又 ， ，DCt31DE3Dt22ftOt（2）当 时，如图，设直线 与 分别交于 、 两点，则 ，1xtOABMN2At又 ，3MNBEA3MN 2232ft tt （3）当 时， . ft2,013,2,tfttttxyOBAx=t
