1、23 双曲线一、学习内容、要求及建议二、预习指导1预习目标(1)通过本节的学习，能熟练利用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程；(2)掌握双曲线的简单的几何性质，如：范围、对称性、顶点( 实轴、虚轴)、渐进线和离心率等；(3)能根据双曲线的几何性质确定双曲线方程；(4)了解双曲线在实际问题中的初步应用；(5)体会数形结合、分类讨论等思想方法2预习提纲(1)回顾 22 节椭圆的相关知识，回答下列问题：椭圆的标准方程是如何建立的?椭圆有哪些几何性质?(2)阅读课本第 3643 页，回答下列问题：平面内与两定点 F1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数(大于 0 小于 F1F2)的点的轨迹叫做_，此
2、时两定点叫做_，两定点间距离叫做_若常数等于 F1F2，则点的轨迹是_焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为_，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为_，其中 a，b，c 的关系为_；双曲线 (a0，b0)上的点中，横坐标 x 的范围是 ，纵坐标 y 的21y范围是 ；双曲线 (a0，b0)关于_对称它的对称中心叫做双曲线的2xy知识、方法 要求 建议双曲线的标准方程 了解1通过椭圆与双曲线的定义之间的关系， 让学生大胆猜测双曲线的标准方程 鼓励学生观察，比较， 类比，猜想， 培养学生的理性思维能力2能熟练地利用待定系数法、定义法或转移代入法求双曲线方程双曲线的几何性质 了解1与椭圆类比， 探索
3、a， b， c， e 的几何意义以及它们之间的关系2通过方程研究双曲线的几何性质， 进一步感受解析几何的基本思想直线与双曲线的位置关系 了解直线与双曲线的位置关系的讨论类似于直线与椭圆的位置关系的讨论_；双曲线的标准方程为 (a0，b0)中，点 A1(a，0)、A 2(a，0) 叫做21xy_，线段 A1A2 叫做双曲线的_，线段 B1B2(B1(0，b)、B 2(0，b)叫做双曲线的_直线_叫做双曲线的_其中实轴和虚轴等长的双曲线叫做_；双曲线 (a0，b0)的渐近线方程为_，双曲线的2xy_，叫做双曲线的离心率(3)课本第 37 页例 1、例 2 是双曲线及其标准方程的基本题型，采用的方法
4、是 _，若将例 1 条件中的“绝对值” 去掉，所求方程为_?第 38 页例 3 是应用问题，思考部分同学们可以借助电脑等技术手段进行研究；第 42 页例 1 介绍了求双曲线基本量的方法，若将方程改为 呢?2143yx第 33 页例 2 要注意求双曲线的标准方程前，先要确定实轴所在的坐标轴3典型例题(1)双曲线的标准方程待定系数法：双曲线的标准方程有两种形式，其主要是由于坐标系的建立方式不同而引起的因此在根据题设条件求双曲线的标准方程时应注意先确定焦点的位置即方程的形式，然后用待定系数法，通过解方程或方程组得解例 1 求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点坐标为 F1(0， 13)，双
5、曲线上一点 P 到两焦点距离之差的绝对值是 24；(2) ，经过点 A(5，2)，且焦点在 x 轴上；2a(3)过两定点(3 ， )，( ， 5)436分析： 求双曲线的标准方程需先由条件确定焦点位置( 若不确定则要讨论)，然后解方程或方程组得 a、b解：(1)由题意设双曲线的标准方程为： (a0，b0)21yx 2a=24， a=12 一个焦点 F1(0，13)， c=13， b 2=c2a 2=25故所求双曲线的标准方程为： ；145yx(2)由题意设双曲线的标准方程为： (a0，b0)21 双曲线经过点(5，2)， 2ab又 a= ， a 2=20，b 2=16，故所求双曲线的标准方程为
6、： ；2106xy(3)若焦点在 x 轴上，则设方程为： (a0，b0)2 双曲线过两定点 ，)5,31()4,( 解得： (舍去)29516,ab267a若焦点在 y 轴上，则设方程为 (a0，b0) ，21yx 双曲线过两定点 ， 解得： )5,316()4,( 29,561,ab2916ab故所求双曲线方程为： 2916yx点评：判断焦点在哪一条坐标轴上，不是比较 x2、y 2 的系数的大小，而是看 x2、y 2 系数的正负号，焦点在系数为正的那条坐标轴上简记为“焦点在轴看符号”第(3) 问也可以将方程设成 mx2+ny2=1(mn0)的形式定义法：由双曲线定义知：平面内动点与两定点距离
7、差的绝对值是常数，且常数大于 0 小于两定点间距离的轨迹才是双曲线要特别注意绝对值以及常数的范围例 2 在 MNG 中，已知 NG=4，当动点 M 满足条件 sinGsin N= sinM 时，求动点 M 的轨21迹方程分析：求轨迹方程时，若没有直角坐标系，应先建立适当的坐标系，然后将条件坐标化解：以 NG 所在直线为 x 轴，以线段 NG 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系 sinGsinN= sinM， 由正弦定理得： MNMG =221 点 M 的轨迹是以 N、G 为焦点的双曲线的右支 (除去与 x 轴的交点) 2a=2，2c=4 ， a=1，c =2， b2=c2a 2=3 动点 M
8、 的轨迹方程是 (x0 且 y0)13yx点评：双曲线的定义中，|PF 1PF 2|=2a(02a2c )若 2a=0，则 P 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线；若 2a=2c，则 P 的轨迹是直线 F1F2 去掉 F1 与 F2 之间的部分PF 1=PF2=2a(02a2c) 表示双曲线以 F2 为焦点的一支，PF 1PF 2=2a(02a2c) 表示双曲线以 F1 为焦点的一支例 3 某人在以 AB 为直径的半圆形区域内，要到 P 点去，他只能从半圆形区域内先到 A 点，再沿 AP 到达 P 点，或先到 B 点，再沿 BP 到达 P 点，其中AP=100m，BP=150 m，APB =
9、600，问怎样走最近?分析：本题是一道关于几何建模的应用题，关键是在区域内确定是先往 A 还是先往 B 的分界线 “最近”的数学语言是；到 P 点距离最近半圆内的点有三类：沿 AP 到 P 近；沿 BP到 P 近； 沿 BP、AP 到 P 等距其中类点集是第类与第类点集(分界线)解：设 M 是分界线上一点，则： MA+AP=MB+BP即 MAMB=BPAP=50故 M 点在以 A、B 为焦点的双曲线的左支上在APB 中，AP=100 ，BP=1500，APB=60 o故：AB 2=17500以 AB 为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，则双曲线弧：=1(x25)65370
10、y故当某人在分界线右侧时，沿 BP 走最近；当某人在分界线左侧时，沿 AP 走最近；当某人在分界线上时，沿 AP、BP 一样近点评：解决实际应用问题，关键是将实际问题数学化，即建立数学模型，用数学的观点和方法来处理利用定义求焦半径的长、曲线上一点与两焦点构成的三角形的周长、面积、角度等例 4 设 F1、 F2 为双曲线 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且满足F 1PF2=900，214xy求：(1)F 1PF2 的周长；(2) F1PF2 的面积分析：曲线上的点与两焦点构成的三角形的边长、面积等问题常利用曲线的定义 解： 点 P 在双曲线 上2xy |PF1 PF2|=4在F 1PF2 中，F
11、 1F22=PF12+PF222PF 1PF2cosF1PF2 F1PF2=900，且 F1F2= 4 PF12+PF22=32解方程组 得： 或21|,3P123,P123,.P(1) 12 1 44FC(2) 12()(3)8PS 故F 1PF2 的周长为 ，面积为 443点评：双曲线上一点与两焦点构成的三角形的问题，常利用正弦定理、余弦定理结合双曲线的定义来处理(2)双曲线的几何性质已知双曲线方程得几何性质：化标准式例 5 分别求下列双曲线的离心率与渐近线方程：(1)16x29y 2=144；(2)3x 2y 2=3分析：由双曲线的标准方程求描述双曲线几何性质的量时，常先化方程为标准式，
12、并写出基本量 a、b、c，然后求得所需解：(1)原方程化为： 2196则 a=3，b=4，c=5 ， 53cea渐近线方程为： 4yx(2)原方程化为：213则 ，b=1，c=2， 3a23cea渐近线方程为： 3yx点评：双曲线的离心率跟 a、c 有关，故只需化方程为标准式到离心率定义即可由双曲线方程求渐近线方程时可以不将方程化标准式，只需将方程中的常数项换成 0 即得，如双曲线(a0，b0)，将方程中常数项 1 换成 0 即得渐近线方程为： ，即21xy 20xyab本题中只需分别将 144 和3 均换成 0 即得渐近线方程： 和 433yx已知双曲线的几何性质求标准方程：定型，定 a、b
13、 例 6 分别求下列双曲线的标准方程：(1)一个顶点是 A(5，0)，离心率为 ；56(2)过点 M(5，3)，离心率 ；2e(3)一个焦点是 F(6，0)，一条渐近线为 ；yx(4)焦距是 10，虚轴长为 8分析：由条件求双曲线的标准方程常用待定系数法，用待定系数法时首先需由条件判定焦点所在轴，即方程的形式，若不能判断，则需要讨论焦点位置，其次是求 a、b，求 a、b 时注意利用恒等式：c 2=a2+b2解：(1)由题意焦点在 x 轴上，故可设双曲线的标准方程为： (a0，b0)21xy则 一个顶点 A(5，0)， a=5 ， c=665e又 b2=c2a 2， b 2=11故双曲线的标准方
14、程为：215xy(2)若焦点在 x 轴上，设方程为： (a0，b0)2则 ， 2eca又 b2=c2a 2， b= a 双曲线过点 M(5，3)， 291b解方程组得：a 2=b2=16故双曲线的标准方程为：x 2y 2=16若焦点在 y 轴上，设方程为： (a0，b0)x则同理有：b=a， 2951ab a2=b2=16(舍去)， 双曲线的标准方程为：x 2y 2=16(3)法一：由题意焦点在 x 轴上，故设方程为： (a0，b 0)1x则由题设 解得：226,cba21,4.ab故双曲的标准方程为：21xy法二： 是一条渐近线y 双曲线的渐近线为： ， 设双曲线方程为：2x 2y 2=(0
15、)0即2x (6，0)是它的一个焦点， ，即 =24362故双曲线的标准方程为： 14xy(4)若焦点在 x 轴上，设方程为： (a0，b0)2由题意：2c=10，2b=8， b=4，c =5又 a2=c2b 2， a 2=9， 双曲线的标准方程为：2196xy若焦点在 y 轴上，则同理有：a 2=9，b 2=16，即方程为：2x故双曲线的标准方程为： 或196xy2196x点评：由题设条件求双曲线的标准方程时，若条件与焦点、顶点等有关，则方程形式确定；若条件与实轴长、虚轴长、焦距、离心率等有关，则方程形式不定，需分类讨论，但不是简单的交换在题设条件中，若出现渐近线方程，则经常采用题(3)法二
16、的处理方法来进行一般地，双曲线 (a0，b0) 渐近线相同的双曲线方程为： (0)若21xy 2xyab0，则与已知双曲线焦点所在轴相同；若 0，则与已知双曲线焦点所在轴不同特别地=0 时，则为双曲线的渐近线(3)直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系问题常联立两曲线方程，消元转化为关于 x 或 y 的方程，利用判别式、韦达定理、点差等方法来处理已知直线和双曲线相交，求弦的中点、弦长、范围等问题：联立方程，利用韦达定理、弦长及式结合判别式解决，若直线过焦点，则可利用定义；由已知条件求直线方程或双曲线方程：将条件转化为字母的方程或方程组，解方程或方程组即可例 7 直线 y=ax+1 与双曲
17、线 3x2y 2=1 相交于 A、B 两点(1)当 a 为何值时，A、B 两点分别在双曲线的两支上?当 a 为何值时，A、B 两点在双曲线的同一支上?(2)当 a 为何值时，以 AB为直径的圆过原点分析：将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理处理解：由 得：(3 a2)x22ax 2=0(*)21,3yx 直线与双曲线交于 A、B 两点 即： 过2230,48(),a6a3设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，则 ，1223x12xa(1)若 A、 B 位于双曲线的两支上，则 26,0,a且 3a若 A、B 位于双曲线的同一支上，则 263,0,3aa且 或63a(2) 以 AB 为
18、直径的圆过原点， x 1x2+y1y2=0又 y1=ax1+1，y 2=ax2+1， (a 2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0 ， 21()022)103a a2=1，即：a=1，满足 6且故当 a=1 时，以 AB 为直径的圆过原点点评：直线与双曲线的交点个数问题，常通过联立方程将问题转化为方程的根的个数问题若直线与双曲线有一个交点，则有两种可能情形：一是直线和双曲线相切；二是平行于渐近线若直线与双曲线有两个交点，两点可能位于双曲线的同一支上，也可能位于双曲线的两支上，此时可利用方程的根的符号来解决但却必须注意方程的最高次项系数可能为 0的情形例 8 已知双曲线的中心在原点，焦点在
19、x 轴上，过双曲线的右焦点且斜率为 的直线交51双曲线于 P、Q 两点，若 OPOQ 且 PQ=4，求双曲线方程 分析：设双曲线方程，将 OPOQ 和 PQ=4 转化为变量的方程组，解方程组即可解：设双曲线方程为： (a，b0) 右焦点 F(c，0)P( x1，y 1)、Q (x2，y 2)21xy则 PQ： 15()yc由 得：(5b 23a 2)x2+6a2cx3a 2c25a 2b2=0(*)22,()5bxa则：2121226(),5cxb OPOQ， x1x2+y1y2=0 y1y2= (x1c)(x 2c )， 8x 1x23c (x1+x2)+3c2=0， 8a 2b2=3b2c
20、23a 2c253即：3b 48a 2b23a 4=0， (b23a 2)(3b2+a2)=0， b 2=3a2 c2=a2+b2， c =2a， 方程(*)化为：4x 2+4ax9a 2=0，且 x1+x2=a，x 1x2= a249 PQ=4， 22391()4()45aa即 a2=1，b 2=3，检验知：0，故双曲线方程为： 213yx点评：解析几何问题处理的基本方法是代数化，在代数化过程中应注意处理条件的灵活性，本题若直接将“PQ =4”代数化，则计算较烦且容易出错因此在处理直线与曲线位置关系时，一是选择恰当的方程形式，如本题中双曲线方程可设为 mx2ny 2=1(m0，n0)，以简化
21、方程；二是注意条件的灵活处理，本题先由“OPOQ”得出 a、b 间关系，然后再利用“PQ =4”求a、b，大大简化了计算过程和计算量4 自我检测(1)若动点 P 到点 F1(3，0)、F 2(3，0) 的距离的差的绝对值为 4，则动点 P 的轨迹方程是_(2) 若动点 P 到点 F1(0，2) 、F 2(0，2)的距离之差为 2，则动点 P 的轨迹方程是_ (3)双曲线 的离心率为 ，则实数 k 的值为 _24xyk5(4)若双曲线的实轴长与虚轴长之比为 ，则双曲线的离心率为 _2(5)实轴长为 6，一条渐近线方程是 3x+2y=0 的双曲线的标准方程为 _三、课后巩固练习A 组1方程 ，化简
22、结果是_22(4)(4)6xyxy2在双曲线的标准方程中，已知 a=6，b=8，则其方程是_3焦点分别是(0，2)、(0 ，2) ，且经过点 P(3，2)的双曲线的标准方程是_4已知 F1( ，0) 、F 2( ，0)，若 PF1PF 2=6，则 P 点的轨迹方程是010_；若 PF1PF 2= ，则 P 点的轨迹方程是_5双曲线 的焦距是_24xym6双曲线 的焦点坐标为_2k7过点(1，1)且 的双曲线的标准方程为_ ba8若 P 是以 F1、F 2 为焦点的双曲线 上的一点，且 PF1=12，则2159xyPF2=_9设 P 是双曲线 上一点， 分别是双曲线的两个焦点若 ，则49xy12
23、F、 13PF等于_ 210双曲线 (a 0，b0) ，过焦点 F1 的弦 AB 长为 m，另一焦点为 F2，则21xyABF2 的周长为_ 11已知动点 P 满足 PAPB =8，A(0，5)、B(0 ，5)，则 P 的轨迹方程为_12双曲线 的实轴长为_，虚轴长为_，渐近线方程为2154xy_，离心率为_13双曲线 的渐近线方程是_ 2914双曲线的离心率为 ，则双曲线两条渐近线的倾斜角分别是_ 15双曲线的渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为_34yx16离心率为 的双曲线的焦点在 y 轴上，则它渐近线方程是_5317中心在原点，一个顶点为 A(3，0) ，离心率为 的双曲线方程是34_1
24、8以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是2169xy_ 19已知双曲线 C： - =1 的焦距为 10 ，点 P （2，1）在 C 的渐近线上，则 C 的方2ab程为_20中心在原点，实轴在 x 轴上，一个焦点在直线 3x4y+12=0 上的等轴双曲线方程是 _21求符合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点为 F1( ，0)、F 2( ，0) ，a+b=5；313(2)焦点在 y 轴上，焦距为 8，且经过点 M( ，6)222求符合下列条件的双曲线的标准方程：(1) ，经过点 A(2，5)；25a(2)经过点 M( ， )、N ( ， )315223求与双曲线 有相同的焦点，且经过点
25、 的双曲线的标准方程2164xy(32,)24双曲线 C1 与椭圆 C2： 有公共的焦点，且双曲线 C1 经过 M(4， )，试21936 372求双曲线 C1 的方程25求以椭圆 的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程58xy26求焦点在坐标轴上，过点 M(3，4)且虚轴长是实轴长的 2 倍的双曲线的标准方程27与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 M(3，2)的双曲线方程为2143_28焦点为(0，6)且与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程为 _21xy29求与双曲线 有共同渐近线且焦距为 12 的双曲线的标准方程254xy30已知双曲线的离心率为 2，且经过点 M(2，3)，求
26、双曲线的标准方程B 组31已知方程 表示双曲线，则 k 的取值范围是_211xyk32双曲线 2kx2ky 2=1 的一个焦点是 F(0，4)，则 k 的值为 _33在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则 的值为 xOy214xym5m_34已知 为双曲线 的左右焦点，点 在 上， ，则12,F2:CPC12|FP_ cosP35已知 F1、F 2 分别为双曲线 C： 的左、右焦点，点 AC ，点 M 的坐标为2197xy（2，0） ，AM 为F 1AF2的平分线则|AF 2| =_ 36设椭圆 和双曲线 的公共焦点分别是 ，P 是两个曲线的一26xy23xy12F、个交点，则 的值
27、为_ 12cosP37设 F1、F 2 是双曲线的两个焦点，且 F1F2=18，过 F1 的直线交双曲线的同一支于 M、N 两点，若 MN=10，MF 2N 的周长为 48，则满足条件的双曲线的标准方程是 _38过双曲线 的右焦点 作垂直于实轴的弦 PQ， 是左焦点，若xyab2 1，则双曲线的离心率为 016PQ39设双曲线的个焦点为 F，虚轴的个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 40过双曲线 (a0，b0) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 M、N 两21xy点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率是_41双曲线 上有动点 P，F 1、F 2 是曲线的两个焦点，求PF 1F2 的重心 M 的轨迹29y方程42求过点 E(5，0) 且与圆 F：(x+5) 2+y2=36 外切的圆的圆心轨迹43与两定圆(x+5) 2+y2=49， (x5) 2+y2=1 都外切的动圆圆心的轨迹方程是_ 44过双曲线 x2y 2=a2 的中心作直线 l 与双曲线交于两点，则直线 l 的倾斜角的范围 为_
