1、13 实数专题总结及应用一、知识性专题专题 1 无理数与有理数的有关问题【专题解读】 此类问题一般以填空题、选择题的形式出现，题型逐渐走向开放区分有理数和无理数的关键有两点：一是正确理解无限循环小数与无限不循环小数的意义；二是能写成分数形式的都是有理数，但 2， 53等不是分数例 1 在2，0， ，1， 4，0.4 中，正数有 ( )A2 个 B3 个 C4 个 D5 个例 2 请写出两个你喜欢的无理数，使它们的和为有理数，你写的两个无理数是 专题 2 平方根、立方根的概念【专题解读】 解答此类问题主要注意以下几点：一是开平方和开立方的区别；二是熟悉计算器的使用；三是看题目要求，弄清被开方数例
2、 3 要到玻璃店配一块面积为 121 m2的正方形玻璃，那么该玻璃的边长为 m例 4 计算 02)321(8例 5 已知 b a32 c，其中 b 的算术平方根为 19， c 的平方根是3，求 a 的值专题 3 实数的有关概念及计算【专题解读】本知识点是中考的热点，也是必考内容，主要考查实数的分类，实数的相反数、绝对值、倒数等性质，与数轴的对应关系及简单的计算，多以选择题、填空题的形式出现例 6 把下列各数分别填入相应的集合里： 38， ，3.14159， 3， 72， 3，87，0，0.2，1.414， 7，1.2112111211112(每两个相邻的 2 中间依次多 1 个1)(1)正有理
3、数集合： ；(2)有理数集合： ；(3)无理数集合： ；(4)实数集合： 例 7 如图 1313 所示，在数轴上点 A 和 B 之间的整数点有 _个例 8 已知 a， b 为数轴上的点，如图 1314 所示，求 ba的值专题 4 非负数的性质及其应用【专题解读】 解决有关非负数的问题的关键是灵活运用非负数的性质，如：若几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零；若两个非负数互为相反数，则这两个非负数分别为零等等另外，还要熟悉一些常见的非负数的形式，如偶次方、绝对值、算术平方根等例 9 若 2)3(a与 1b互为相反数，则 ba2的值为 例 10 已知 a， b， c 都是实数，且满足(2 a)2
4、 8c0，且ax bxc0，求代数式 3x26 x1 的值例 11 已知实数 x， y 满足 02yxy，求 yx54的平方根例 12 若 a， b 为实数 ，且 122a，求 3ba的值二、规律方法专题专题 5 实数比较大小的方法1平方法当 a0， b0 时， ab b例 13 比较 32和 的大小2移动因数法利用 a 2 (a0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小例 14 比较 34和 5的大小3作差法当 a b0 时，可知 a b；当 a b0 时，可知 a b；当 a b0 时，可知 a b例 15 比较 34与 6的大小4作商法若 1BA，则 A B；若 1则 A B；
5、若 1则 A B( A， B0 且 B0)例 16 比较 35和 的大小三、思想方法专题专题 6 分类讨论思想【专题解读】 当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，应按所有可能的情况分别讨论实数的分类是这一思想的具体体现要学会运用分类讨论思想对可能存在的情况进行分类讨论要不重不漏本章在研究平方根、立方根及算术平方根的性质以及化简绝对值时均用到了分类讨论思想例 17 已知数轴上有 A， B 两点，且这两点之间的距离为 24，若点 A 在数轴上表示的数为 23，则点 B 在数轴上表示的数为 专题 7 数形结合思想【专题解读】 实数与数轴上的点是一一对应的，实数在数轴上的表示是数形结合思想的
6、具体表现，通过把实数在数轴上直观地表示出来，可以形象、直观地感受实数的客观存在为理解实数的概念及其相关性质提供了有力的帮助例 18 a， b 在数轴上的位置如图 1315 所示，那么化简 2ab的结果是 ( )A2 a b B bC b D2 a b专题 8 类比思想【专题解读】 本章在学习实数的有关概念及性质、运算时，可以类比已学过的有理数加以理解和运用例 19 已知四个命题：如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是 0；若一个数的倒数等于它本身，则这个数是 1；若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是 1或 0；如果一个数的绝对值等于它本身那么这个数是正数其中真命题有 ( )A1 个
7、B2 个 C3 个 D4 个例 20 设 a 为实数，则 a的值 ( )A可以是负数 B不可能是负数C必是正数 D正数、负数均可中考真题精选一、选择题1.下列各数中，比 0 小的数是（ ）A1 B1 C 2 D 2.估计 值（ ）A、在 2 到 3 之间 B、在 3 到 4 之间 C、在 4 到 5 之间 D、在 5 到 6 之间3.在下列实数中，无理数是（ ）A2 B0C 5D 14.下列各数中，最小的是（ ）A.0 B.1 C.1 D. 25.下列各数中是无理数的是（ ）A. 40 B. 4 C. 4.0 D. 04.6.如图数在线有 O，A，B，C，D 五点，根据图中各点所表示的数，判断
8、 在数在线的位置会落在下列哪一线段上（ ）A、OA B、AB C、BC D、CD7.估计 10的值在（ ）A、1 到 2 之间 B、2 到 3 之间 C、3 到 4 之间 D、4 到 5 之间8.将( )0，( )3，(cos30) ，这三个实数从小到大的顺序排列，正确的顺序5 3是（ ）A、( )3( )0(cos30) B、(cos30) ( )3 5 50( )33C、( )0( )3(cos30) D、(cos30) ( )3(5 3 3)059.下列实数中，是无理数的为（ ）A、0 B、 72 C、3.14 D、 210.在 0，2，3， 四个数中，最小的数是（ ）A、0 B、2C、
9、3 D、11.下列各数中，是无理数的是（ ）A、0 B、2C、 D、12.在 3.14， ， 和 这四个实数中，无理数是（ ）A、3.14 和 B、 和C、 和 D、 和13.在实数 、 13、 2、sin30,无理数的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.414. 下列四个实数中，比-1 小的数 是（ ）A、-2 B、0 C、1 D、215.下列计算不正确的是（ ）A、 32+ =2 B、 （ 13） 2=9C、3=3 D、 12=2 316. 5， ，4，0 这四个数中，最大的数是 17. 设 19a，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）A、1 和 2 B、2 和 3 C、3 和
10、 4 D、4 和 518.在1、3、0、 12四个实数中，最大的实数是（ ）A、1 B、3C、0 D、19.四个数-5，-0.1， 21， 中为无理数的是（ ）A. -5 B. -0.1 C. D. 320.下列说法正确的是（ ）A a一定是正数 B 201是有理数C 2是有理数 D平方等于自身的数只有 121.下列各数中是正整数的是（ ）A、1 B、2 C、0.5 D、 222.下列说法正确的是( )A 0是无理数 B 3是有理数 C 4是无理数 D 38是有理数23.如图，数轴上 A、B 两点分别对应实数 a，b，则下列结论正确的是（ ）A、ab B、a=b C、ab D、ab024.下列
11、各数中，最小的是（ ）A.O B.1 C.-1 D. 225.下列各选项中，既不是正数也不是负数的是（ ）A、1 B、0 C、 D、26.下列整数中与 5最接近的数是（ ）A2 B4 C15 D1627.实数 的整数部分是（ ）A、2 B、3 C、4 D、528.下 列各选项中，既不是正数也不是负数的是（ ）A1 B0 C 2 D 29.计算（ 2） 0sin30=（ ）A B1 C 23D1 23二、填空题1.实数 12的倒数是 2.写出一个大于 1 且小于 2 的无理数 33.数轴上 A、B 两点对应的实数分别是 2和 2，若点 A 关于点 B 的对称点为点 C，则点 C 所对应的实数为
12、4.计算： 1826sin45_.5.计算： 3 = （结果保留根号）6.如图，数轴上 A，B 两点分别对应实数 a、 b，则 a、 b 的大小关系为 .7.实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则|a| |b|（填“” “”或“=” ） 8. （2011，台湾省，9,5 分）下列哪一选项的值介于 0.2 与 0.3 之间？（ ）A、 B、C、 D、9.计算： = 10.在2，2， 这三个实数中，最小的是 11.写出一个大于 3 且小于 4 的无理数 12.计算： 186sin513.对于两个不相等的实数 a、 b，定义一种新的运算如下，)0(*ba，如： 523*， 那么 )4*5(6
13、 。14.已知 a、 b 为两个连续的整数，且 8ab ，则 a+b= 15.计算 2)1(5 16.计算 = 17.比较大小：2 3（用“”或“”号填空） 18.写出一个比-4 大的负无理数 a0B1题 图19.对实数 a b，定义运算如下： a b= (,0a ） ） ，例如 23= 32 18算2（4）（4）（2）= 20. 计算：-2 9 = 三、解答题1.（1）计算：计算：2 2(1) 4( 52) 0 3；（2）先化简，再求值：（4 ab38 a2b2）4 ab(2 a b) (2a b)，其中 a2， b1.2.计算：219 3.计算：|2|+（2） 0+2sin30 4.计算：
14、 0(1)+| 2- 3|+2sin60 5.计算：（ 3） 0（ 21） 2 +tan45；6.计算： )2(16)(2； 7.计算：si n45 12 38；8.计算：2011 03tan30+（ 31） 2 | 2| 9.12(3.4)sin6210.计算： 02 333sin0180.125511.计箅： 1 02sin302312. 计算：|3|（ 5） 014 （1） 313.计算： 9 +|2|13+(1) 2011. 14.计算：|3|(1) 2011(3) 0 3272115.计算：（1） 2011|5| 1616.计算： 17.计算：（1） 2011+ 2sin60+|1|
15、18.计算：2011 0+（ ） 1 +4sin45| |19.计算：|10|34 1 + 20.计算： 21.计算： 22.计算：2 2（2） 0tan4523.计算： 24. 计算： 25.计算： 103-3cos12.226.计算： 0101()79()(527.计算： 2（4 ） 06 cos30+|2|；28. 已知 ab、 为有理数， mn、 分别表示 57的整数部分和小数部分，且21amnb，则 .29. 28)(4.3(20130.计算： 1032(3.4)sin6231.计算：(-3.14) 0 38+(sin30)1+|-2|32.计算：sin30+（ 21） 2 +（1）
16、+ 4133.计算： 203-1-8）（）（ 34.计算： 1023tan35.计算： 23860tan)21(336.计算： 02010si93 37.（ ） 24 1（2） 338.计算： 43)5()20139.计算： 40.计算： 4 0(3)241.计算： -201+1.5-x4（42.计算： 36243.计算：|2 2 |+4sin45 8+（ 2） 044.计算：1 2011+ 12+（ ） 1 2cos6045.计算： + 0 31+tan60；46.计算： 382 -1+ 147.计算：2011 0 4+|3|48. 已知 a 9， b2011 0， c(2)，求 a b c
17、 的值49计算：|- |- +(3-) 02 850.计算：（ 1） 1 （5） 0|3|+ 451. 02 )3(45sin52. co)01(0（1） 2011+|6|53.计算 23(s68)3sin60；54. 计算：|-3|+2011 0- 2+62-155.计算：1+3（2） 2 16；56. |3|+（ 1） 0（ ） 1 57.已知 是锐角，且 sin(+15)= 32.计算1084cos(3.14)tan的值.58.计算： 02932+-59.计算： 160.计算： 20()1 ;61.计算： 2(3962.计算： 10025(1)cos63.计算： 9()264.计算： 1
18、2cos6065.计算： 01(2)2452tan66.计算：I-3I- 029()367.计算 60cos|)201(1 68.计算： 65)(201.综合验收评估测试题(时间：120 分钟 满分：120 分)一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)1 9的平方根是 ( )A81 B3 C3 D32计算 2)(的结果是 ( )A9 B9 C3 D33与 10最接近的两个整数是 ( )A1 和 2 B2 和 3 C3 和 4 D4 和 54如图 1316 所示，数轴上的点 P 表示的数可能是 ( )A 5 BC3.8 D 105下列实数中，是无理数的为 ( )A3.14 B 31 C 3 D
19、 96 81的平方的立方根的相反数为 ( )A4 B 8 C 41 D7 的算术平方根是 ( )A8 B8 C 2 D8如图 1317 所示，数轴上 A， B 两点表示的数分别为1 和 3，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 所表示的数为( )A2 3 B1 3C2 D19已知 a， b 为实数，则下列命题中，正确的是 ( )A若 a b，则 a2 b2 B若 a b，则 a2 b2C若 b，则 a2 b2 D若 33，则 a2 b210下列说法中，正确的是 ( )A两个无理数的和是无理数B一个有理数与一个无理数的和是无理数C两个无理数的积还是无理数D一个有理数与一个无理数的积是无理
20、数二、填空题(每小题 3 分，共 30 分)11已知 a 为实数，那么 2a等于 12已知一个正数的两个平方根分别是 3x2 和 5x6，则这个数是 13若 x364，则 x 的平方根为 14若 5 是 a 的平方根，则 a ， a 的另一个平方根是 15 2的相反数为 16若 37x，则 x 17若 m0则化简 32m 18若 51x，则 x 19设 a， b 为有理数，且 23ba，则 ab的值为 20若 3对应数轴上的点 A， 5对应数轴上的点 B，那么 A， B 之间的距离为 三、解答题(每小题 10 分，共 60 分)21已知 x， y 满足 y 21x，化简 y22已知 9x2160，且 x 是负数，求 3的值23设 2 7的小数部分是 a，求 a(a2)的值24计算 2032 )1(2415.25用 48 米长的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种设计方案：一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地选用哪一种方案围成的场地的面积较大?并说明理由26已知 ABC 三边长分别为 a， b， c，且满足 0)2(1ba，试求 c 的取值范围
