1、课题：3.1 函数的变化率教学目标：1、 知识目标：通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念；掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用为下一节导数概念的学习打好基础。2、 能力目标：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景数学表示应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型 ，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力。3、 情感目标：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。并养成学生探究总结型的学习习惯。教学重点
2、：函数自变量的增量、函数值的增量的理解函数平均变化率和瞬时变化率的理解和简单应用。教学难点：函数平均变化率转化为瞬时变化率的理解。教学方法：例举分析归纳总结实际应用教学过程：一、 引入：1、 情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片2、 问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的 陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、 引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。二、 例举分析：（一）登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A 是登山者的出发点,H 是山顶,登山路线用 y=f(x)表示HxABCD1DFXk Xk+1
3、X0 X1 X2 X3yO才问题：当自变量 x 表示登山者的水平位置，函数值 y 表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？分析：1、选取平直山路 AB 放大研究若 ),(),(10yBA自变量 x 的改变量： 0x函数值 y 的改变量： 1y直线 AB 的斜率：xk01说明：当登山者移动的水平距离变化量一定（ 为定值）时，x垂直距离变化量（ ）越大，则这段山路越陡峭；y2、选取弯曲山路 CD 放大研究方法：可将其分成若干小段进行分析：如 CD1 的陡峭程度可用直线 CD1 的斜率表示。 （图略）结论：函数值变化量（ ）与自变量变化量 的比值 反映了山坡的陡峭程度。y)(xy各段的 不同反映了
4、山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的平均x变化量不同。当 越大，说明山坡高度的平均变化量越大，所以山坡就越陡；当越小，说明山坡高度的平均变化量小，所以山坡就越缓。xy所以， 高度的平均变化成为度量山的陡峭程度的量，叫kkxff1)(做函数 f(x)的平均变化率。三、 函数的平均变化率与应用。（一） 定义：已知函数 在点 及其附近有定义，)(xfy0令 ；0x。)()( 000xfxffyB ),(1yxA( ),0yx00 1x1Oyx则当 时，比值0x xyxff)(00叫做函数 在 到 之间的平均变化率。)(fy0（二）函数平均变化率的应用例 2. 某市 2004 年 4 月
5、20 日最高气温为 33.4，而此前的两天，4 月 19 日和 4 月 18 日最高气温分别为 24.4和 18.6，短短两天时间，气温“陡增”14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市 2004 年 3 月 18 日最高气温 3.5与 4 月 18 日最高气温 18.6进行比较，我们发现两者温差为 15.1，甚至超过了 14.8而人们却不会发出上述感叹。这是什么原因呢？原来前者变化得“太快” ，而后者变化得“缓慢” 。例 1 （1）求 在 到 之间的平均变化率。2xy0x解：当自变量从 变到 时，函数的平均变化率为 xxxff 0200 )()(。当 取定值，
6、取不同数值时，该函数的平均变0化率也不一样。可以由图看出变化。（2）求 在 到 之间的平均变化率。xy10x解：当自变量从 变到 时，函数的平均变化率为 00000 )(11)( xxxff 20 30 342102030A(1, 3.5)B(32, 18.6)0C(34, 33.4)T()t(天)2 10问题：当自变量 t 表示由 3 月 18 日开始计算的天数，T 表示气温，记函数 表示温)(tgT度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？分析：如图：1、选择该市 2004 年 3 月 18 日最高气温 3.5与 4 月 18 日最高气温 18.6进行比较， ，由此可知 ；C
7、t 01.5.3618,0 503.t2、选择该市 2004 年 4 月 18 日最高气温 18.60C 与 4 月 20 日 33.40C 进行比较，由此可知Tt 08.16.3, .7tT结论：函数值的平均变化率 反映了温度变化的剧烈程度。t各段的 不同反映了温度变化的剧烈程度不同，也就是气温在这段时间内的平均t变化量不同。当 越大，说明气温的平均变化量越大，所以升温就越快；当tT越小，说明气温的平均变化量小，所以升温就越缓。 tT（三）课堂练习：甲乙二人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图（1） （2）所示， 试问：（1）甲乙二人哪一个跑得快？（2）甲乙二人百米赛跑，快
8、到终点时，谁跑得比较快四、 瞬时变化率以及应用:甲3乙O(1)路程tyO甲乙t0 t100m(1) (2)例 3：已知函数 ，分别计算函数在下列区间上的平均变化率。2)(xf解：函数 的平均变化率计算公式为： xxxff 0200 )()(结论：当时间间隔越来越小（ 趋于）时，平均变化率趋于常数x例 4：一个小球自由下落，它在下落 3 秒时的速度是多少？解：自由落体的运动公式是 （其中 g 是重力加速度）.21ts当 时间增量 很小时，从 3 秒到（3 ）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. t因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落 3 秒时的速度.从 3 秒到（3 ）秒这段时
9、间内位移的增量：t 222 )(9.4.9.4)3(9.4)( tttss 从而， .tv2结论： 越小， 越接近 29.4 米/秒s当 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 29.4 米/秒.tts（一） 定义：设函数 在 附近有定义，当自变量在 附近改变 时，)(xfy0 0xx函数值相应地改变 )(0fxfy如果当时，平均变化率 趋近于一个常数 ，0 l变化区间 自变量改变量 平均变化率 xy（1，1.1） 0.1 2.1（1，1.01） 0.01 2.01(1,1.001) 0.001 2.001(1,1.0001) 0.0001 2.0001 则数称为函数 在点 处的瞬时变化率。)(xf0（二） 函数瞬时变化率的应用：例：设一个物体的运动方程是： ，其中 是初速度，时间单位为201)(atvts0v，求：时的瞬时速度（函数 s(t)的瞬时变化率） 。avst 220时 ， 瞬 时 速 度 是五、 课堂小结：六、布置作业：课本： 预习： 函数的平均变化率 函数的瞬时变化率xff)()(00 l趋近于xtatvtattvatttsts1 21)(2)(0 0020000解 ：
