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类型数学(华师大版)八年级上册学案:12.3乘法公式2.两数和(差)的平方 学案.doc

  • 上传人:HR专家
  • 文档编号:5328081
  • 上传时间:2019-02-21
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    数学(华师大版)八年级上册学案:12.3乘法公式2.两数和(差)的平方 学案.doc
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    1、12.3.2 两数和(差)的平方课前知识管理1、完全平方公式有两个:(a+b) 2=a2+2ab+b2,(a-b) 2=a2-2ab+b2.即,两数和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的 2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起,为(ab) 2=a22ab+b2.为便于记忆,可形象的叙述为:“首平方、尾平方,2 倍乘积在中央”. 几何背景:如图,大正方形的面积可以表示为(a+b) 2,也可以表示为 SS + S + S +S ,同时 Sa 2+ab+ab+b2a 2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式(a+b) 2a 2+2ab+b2.2、完全平方

    2、公式的特征:左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的 2倍.公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数) ,也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征,就可以运用这一公式. 3、在使用完全平方公式时应注意问题:(1)千万不要发生类似(ab) 2=a2b2的错误;(2)不要与公式(ab) 2=a2b2混淆;(3)切勿把“乘积项”2ab 中的 2漏掉;(4)计算时,应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件,如符合,则可以直接套用公式进行计算;如不符合,应先变形为公式的结构特点,再利用公式进行计算,如

    3、变形后仍不具备公式的结构特点,则运用乘法法则进行计算.名师导学互动典例精析:知识点 1:改变公式中 的符号:ba,例 1、运用完全平方公式计算: 25yx【解题思路】本例改变了公式中 的符号,处理方法之一:把两式分别变形为ba,2255yxyx再用公式计算(反思得: ); 方法2222;baab二:把两式分别变形为: 后直接用公式计算;方法三:把两式25xyx分别变形为 后直接用公式计算. 25yx【解】 = .2222 405xyxyx 【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用,套用的前提是确定是否具备使用公式的条件,关键是正确确定“两数”即“a”和“b”.对应练习: 2ba知识点 2:改

    4、变公式中的项数例 2、计算: 2c【解题思路】完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘,而本例中出现了三项,故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项,从而化解矛盾.所以在运用公式时, 可先变形为 或 或者 ,再进行计算2cba2cba2cba2bca【解】 = . ccc2222【方法归纳】运用整体思想可以使计算更为简便,快捷.对应练习:(2ab4) 2知识点 3:改变公式的结构例 3、运用公式计算: (1) ; (2) .yxba【解题思路】本例中所给的均是二项式乘以二项式,表面看外观结构不符合公式特征,但仔细观察易发现,只要将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】 (1) = ;yx22

    5、24yx(2) = .baba【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件.对应练习:计算: 知识点 4:利用公式简便运算 例 4:计算:999 2 【解题思路】本例中的 999 接近 1000,故可化成两个数的差,从而运用完全平方公式计算.【解】 998001. 120120109222【方法归纳】有些数计算时可拆成两数(式)的平方差、完全平方公式的形式,正用乘法公式可使运算简捷、快速.对应练习:计算:100.1 2知识点 5:公式的逆用 例 5、计算: 235xx【解题思路】本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐,仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式 的右

    6、边,不妨把公式倒过来用.22baba【解】 = .235xx4352x【方法归纳】解题中,若把注意力和着眼点放在问题的整体上,多方位思考、联想、探究,进行整体思考、整体变形,从不同的方面确定解题策略,能使问题迅速获解对应练习:化简 227aa知识点 6:公式的变形例 6、已知实数 a、b 满足 .求下列各式的值:(1) ; ,02b2ba(2) 2【解题思路】此例是典型的整式求值问题,若按常规思维把 a、b 的值分别求出来,非常困难;仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来,运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径. 【解】 (1) = ; (2) =6.2ba82ababba422

    7、【方法归纳】 ;4,4,2222熟悉完全平方公式的变形式,是相关整体代换求值的关键.对应练习:已知:xy1,x 2y 25,求 xy 的值.知识点 7:乘法公式的综合应用例 7、计算: zxy【解题思路】此例是三项式乘以三项式,特点是:有些项相同,另外的项互为相反数。故可考虑把相同的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公式计算后,再运用完全平方公式等计算.【解】.222 zyxzyxzyxzzyx 【方法归纳】灵活运用公式主要是指既要熟练地正用公式,又要掌握公式的逆用,还要根据题目特点善于对公式进行变式使用.在解题中充分体现应用公式的思维灵活性,综合并灵活地解决有关的不同类型的问题.对应练习

    8、: zyxzyx32易错警示例 8、(x+1) 2.错解:(x+1) 2=x2+1.错解分析:错解中漏掉了加上它们积的 2 倍,(x+1) 2x2+1,不能与积的幂 (ab)n =anbn混淆正解:(x+1) 2=x2+2x+1例 9、(x 2-y2)(x2-y2).错解:(x 2-y2)(x2-y2)=x4-y4错解分析:(x 2-y2)(x2-y2)=(x2-y2)2,错解中错误地运用平方差公式来计算了,(x2-y2)(x2-y2)(x2-y2)(x2+y2)x 4-y4正解:(x 2-y2)(x2-y2)=(x2-y2)2=x4-2x2y2+y4.例 10、(3x+2 y)2.错解:(3

    9、x+2 y)2=9x2+6xy+4y2错解分析:(3x+2 y)2展开式中“它们积的 2 倍”是 23x2y12xy,因为第二数 2y 有一个“2” ,所以很容易忘掉“2 倍” 正解:(3x+2 y)2=(3x)2+23x2y+(2y)2=9x2+12xy+4y2.例 11、 14错解:221xyxy错解分析: 展开式中 ,因此原来的系数 是完全平方数,因此,21422146x14也很容易忘了把它再平方正解:214xy2216xy课堂练习评测知识点 1:完全平方公式1、在 a24a4 的空格中,任意填上“+”或“” ,在所得到的这些代数式中,能构成完全平方式的有( )种A1 B2 C3 D42

    10、、图是一个边长为 的正方形,小颖将图中的阴影部分拼成图的形状,由图()mn和图能验证的式子是( )A B 22()n22()()mnmnC D3、若219x,则21x的值为 4、已知(a-b) 2=4,ab= ,则(a+b) 2= 。5、若将代数式中的任意两个字母交换,代数式不变,则称这个代数式为完全对称式,如就是完全对称式.下列三个代数式: ; ;abc 2)(baca其中是完全对称式的是 226、先化简,再求值: ,其中 a=3,b=10233ab知识点 2:开放型试题7、已知 是有理数, 是无理数,请先化简下面的式子,再在相应的圆圈内选择你喜欢的xy数代入求值: 2()()x课后作业练习

    11、基础训练:一、选择题1下列运算中,正确的是( )A3a+2b=5ab B (a1) 2=a22a+1 Ca 6a3=a2 D (a 4) 5=a92下列运算中,利用完全平方公式计算正确的是( )A (x+y) 2=x2+y2 B (xy) 2=x2y 2C (x+y) 2=x22xy+y 2 D (xy) 2=x22xy+y 23下列各式计算结果为 2xyx 2y 2的是( )A (xy) 2 B (xy) 2 C(x+y) 2 D(xy) 24若等式(x4) 2=x28x+m 2成立,则 m 的值是( )A16 B4 C4 D4 或4二、填空题5 (x2y) 2=_6若(3x+4y) 2=(

    12、3x4y) 2+B,则 B=_7若 ab=3,ab=2,则 a2+b2=_8 (_ y) 2= x2xy+_;(_) 2= a26ab+_1394916提高训练9、若(x+ ) 2=9,则(x ) 2的值为_110、化简:a(a 2b)(ab) 211、 (巧题妙解题)已知 x+y=1,求 x2+xy+ y2的值112、已知 a+ =5,分别求 a2+ , (a ) 2的值1a来源:学优高考网13、为了扩大绿化面积,若将一个正方形花坛的边长增加 3 米, 则它的面积就增加 39 平方米,求这个正方形花坛的边长来源:学优高考网 gkstk14、利用完全平方公式计算:(1)2008 2; (2)7

    13、8 215、先化简,再求值:(2x1) (x+2)(x2) 2(x+2) 2,其中 x= 1316、小明在计算 时,找不到计算器,去向小华借,小华看了220987看题说根本不需要用计算器,而且很快说出了答案你知道他是怎么做的吗?12.3.2 对应练习答案:1.解: = .2ba2222 baba2.解 原式(2ab)4 2(2ab) 28(2ab)164a 24abb 216a8b16.3.解: =4.答案:100.1 2=10020.01.5.答案: 168a6.解:由 xy , 得 xy 2.22)yx()y(251)(7.解: 22343332 zyxzyxzzzx .yyxy69434

    14、22课堂练习评测参考答案1、答案:B2、答案:B3、答案:54、答案:65、答案:6、解:2222 23333abbaabba 2当 a=3,b=10 时,原式=3310=337、解: = ,答案不惟一,比如选 ,则代数式的值为 1.2()()xyxy2 1x课后作业练习参考答案:1B2C 点拨:(x+y) 2=x2+2xy+y2,所以 A 不正确;(xy 2=x22xy+y 2,所以 B 不正确;(x+y) 2=(x) 2+2( x)y+y 2=2xy+y 2,所以 C 正确;(xy) 2=(x+y)2=x2+2xy+y2,所以 D 也不正确,故选 C3D4D 点拨:因为(x4) 2=28x

    15、+16,所以若(x4) 2=x28x+m 2成立,则 m2=16,从而得 m=4,故选 D二、5x 2+4xy+4y2 点拨:(x2y) 2=(x+2y) 2=(x+2y) 2=x2+4xy+4y2648xy 点拨:B= (3x+4y) 2(3x4y) 2=9x2+24xy+16y2(9x 224xy+16y 2)=9x2+24xy+16y29 2+24xy16y 2=48xy713 点拨:因为 ab=3,ab=2,所以 a2+b2=(ab) 2+2ab=32+22=9+4=138 x; y2; a4b;16b 231949、510、解:a(a2b)(a b) 2=a22ab(a 22ab+b

    16、 2)=a 22aba 2+2abb 2=b 211、解:因为 x+y=1,所以(x+y) 2=1,即 x2+2xy+y2=1所以x2+xy+ y2= (x 2+2xy+y2)= 1= 111点拨:通过平方将已知条件转化为完全平方公式,从而巧妙求值12、解:因为 a+ =5,所以 a2+ =(a+ ) 22a =522=23 ,所以(a ) 2=a2+112a =232=2121a点拨:注意公式的一些变形形式,例如:a 2+b2=(a+b) 22ab,a 2+b2=(ab)2+2ab, (a+b) 2=(ab) 2+4ab, (ab) 2=(a+b) 24ab 等等13、解:设这个正方形花坛的

    17、边长为 x 米,依题意列方程得, (x+3) 2x 2=39, 即x2+6x+9x 2=39,6x=30,x=5来源:gkstk.Com答:这个正方形花坛的边长为 5 米 点拨:适当引进未知数, 根据题中的相等关系得到方程,解方程即可14、解:(1)2008 2=(2000+8) 2=20002+220008+82=4000000+32000+64=4032064;(2)78 2=(802) 2=8022802+2 2=6400320+4=608415、解:(2x1) (x+2)(x2) 2(x+2) 2=2x2+4xx2(x 24x+4)(x 2+4x+4)=2x 2+3x2x 2+4x4x 24x4=3x 10当 x= 时,原式=3( )10=110=113316、解:知道,做法如下: =220987222098(21)(1)= = =220980981092812098 1点拨:由 200920072=(200920081) 2,20092009 2=(20092008+1) 2,运用完全平方公式化简即可全品中考网来源:学优高考网来源:学优高考网 gkstk全品中考网

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