1、概率统计解答题的背景分类例析湖南祁东育贤中学 周友良 421600衡阳县三中 欧阳志辉由于新课程强调数学教育的基础性、现实性、大众性，重视素质教育与高考的兼容性，概率统计在社会现实中具有很高的应用价值.在复习中要关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展等各个方面，平时多关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，并从中提炼出具有社会价值的数学应用背景。 应注意培养学生善于从普通语言中捕捉信息、将普通语言转化为数学语言的能力，使学生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流。在复习中，不能因为概率这部分是新增加的内容而加以忽视，也不能因为概率与排列、组合同在一个
2、章节，认为只可能出现填空、选择题的类别.因为从近几年的试卷看到，每年均有一个概率解答题，所以在复习中应引起足够的重视一、以球赛为背景的概率解答题。例 1某篮球职业联赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行，比赛采用五局三胜制，即哪个队先胜三场即可获得总冠军.已知在每一场比赛中，甲队获胜的概率均为 ，乙队获胜32的概率均为 .求：3（I）甲队以 3：0 获胜的概率；（）甲队获得总冠军的概率.解：（I）设“甲队以 3 : 0 获胜”为事件 A，则 278)3(P（II）设“甲队获得总冠军”为事件 B，则事件 B 包括以下结果：3:0；3:1；3:2 三种情况.若以 3:0 胜，则 ;278)3(1P若以
3、3:1 胜，则 ;2C若以 3:2 胜，则 .8163)(243所以，甲队获得总冠军的概率为 42PB例 2今有甲、乙两个篮球队进行比赛，规定两队中有一队胜 4 场，则整个比赛宣告结束，假设甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率都是 ，并记需要比赛的场数为 .（1）求 大于 5 的概率；（2）求 的分布列和数学期望.解：（1）依题意可知， 的可能取值最小为 4，当 =4 时，整个比赛只需比赛 4 场即结束，这意味着甲连胜 4 场，或乙连胜 4 场，于是由互斥事件的概率计算公式，可得3 分81)2()4(04CP当 =5 时，需要比赛 5 场整个比赛结束，意味着甲在第 5 场获胜前 4 场均有 3 场
4、获胜，或者乙在第 5 场获胜，前 4 场中有 3 场获胜，显然这两种情况是互斥的于是： 2)()(3 6 分8)41(51PP（2） 的可能值为 4，5，6，7，由（1）得 P（=6）=2 .1652)(1325C8 分.2)()7(336C 的分布列为： 4 5 6 7P 8115 的数学期望为： 12 分169364E例 3。 （本小题满分 12 分）在 2004 年雅典奥运会中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排在每一局中赢的概率为 ，已知比赛中，俄罗5斯女排先胜了第一局，求：（1）中国女排在这种情况下取胜的概率；（2）设比赛局数为 的分布列及 .（均用
5、分数作答）求,E20 （1）中国女排取胜的情况有两种，第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第 2 局到第4 局，中国女排赢了两局，第 5 局中国女排赢，中国女排取胜的概率为.62973)5()3(2C（2） 125)3()52()4(1CPP所以， 的分布列为6703)5()5( 2213 3 4 5P 241256270二、以射击为背景的概率解答题。10 分例 4甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随击变量 与 ，且 、的分布列为：（）求 的值； （2）甲、乙两名射手在一次射击中的得分均小于 3 的概率谁大？ba,（3）计算 、 的期望和方差，并以此分析甲乙的技术状况.解：（1）
6、 , , 同理 . -3 分16.0a3.0a40b（2） , , 4.3)(p 7.)(p -3 分)(（3） -82.0.2.1.2.2. EE分81.60)3.(.0)3.(.0)3.1( 222 D同理 -10 分4由计算结果 ，说明在一次射击中甲的平均得分比乙高，但 ，E D说明甲得分的稳定性比乙差，因而，甲乙两人的技术水平都不够全面. -12 分三、以游戏博彩为背景的概率解答题例 5、袋中装有 10 颗棋子，其中 5 颗白棋子，5 颗黑棋子，游戏规则规定：一次从中任取 5 颗，若 5 颗子颜色全相同，则主持者付给摸棋子者 5 元，否则摸棋子者付给主持者0.5 元.求主持者输掉 5
7、元的概率与赢得 0.5 元的概率.解：设 X 表示主持者的赢钱数，由古典概率得，输掉 5 元的概率 51026PxC赢得 0.5 元的概率 510.故可认为主持者在每局中必赢无疑。这就是对在街头上常见到的堵博游戏的解释。例 6、甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷 3 次，记正面朝上的次为 ；乙用这次枚硬币掷 2 次，记正面朝上的次为 .（）分别求 和 的期望；（）规定；若 ，则甲获胜，若 ，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率. 解：（）依题意 B（3， 0.5） ，B （2，0.5） ，所以E=3 0.5=1.5, E=20.5=1 4 分1 2 3p0.2 0.61 2 3p0.3 b0.31
8、 2 3pa0.2 0.61 2 3p0.3 b0.3（）P（=0）= 83)21()(,81)2(330 CPC)2( 33)()1(,4)(0227 分1)(2CP甲获胜有以下情形：=1，=0，=2 ，=0，1；=3 ，=0 ，1，2则甲获胜的概率为 )4(8)24(831 P乙获胜有以下情形：=1，=0，=2 ，=0，1则乙获胜的概率为 12 分63)(2例 7、箱内有大小相同的 20 个红球，80 个黑球，从中任意取出 1 个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出 1 个，记录它的颜色后又放回箱内搅拌，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题：（1）求事件 ：“第一次取出黑球，第
9、二次取出红球，第三次取出黑球”的概率；A（2）求事件 ：“三次中恰有一次取出红球”的概率.B解：(1)记事件 ：第 次取出黑球 ，则 .i )3,21(i )3,21(5408)(iAPi.6 分654)()(321APAP(2)记事件 ：任取一球，恰取得红球. .C1)(C.12 分128)(5)(133B四、以决策方案为背景的概率解答题例 8、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：排队人数 05 610 1115 1620 2125 25 人以上概 率 0.1 0.15 0.25 0.25 0.2 0.05（I）每天不超过 20 人排队结算的概率是多少？（）一周
10、 7 天中，若有 3 天以上（含 3 天）出现超过 15 人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？解：（I）每天不超过 20 人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是 0.75. 4 分（）每天超过 15 人排队结算的概率为：0.25+0.2+0.05= ， 6 分21一周 7 天中，没有出现超过 15 人排队结算的概率为 ；70)21(C一周 7 天中，有一天出现超过 15 人排队结算的概率为 ；617)2(C一周 7 天中，有二天出现超过 15 人排队结算的概率为 ；9 分5所以有
11、3 天或 3 天以上出现超过 15 人排队结算的概率为：，7.01289)()21()(15276707 CC所以，该商场需要增加结算窗口.五、以交通管理为背景的概率解答题例 9、 （2004 重庆理 18） 设一汽车在前进途中要经过 4 个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为 ，遇到红灯（禁止通行）的概率为 。假定汽车只在遇到红灯或34到达目的地才停止前进， 表示停车时已经通过的路口数，求：（1） 的概率的分布列及期望 E ;(2 ) 停车时最多已通过 3 个路口的概率。解：（I） 的所有可能值为 0，1，2，3，4 用 AK 表示“汽车通过第 k 个路口时不停（遇绿灯） ”，则
12、 P（A K）= 独立.故 4321,),(k且 ,41)(0(AP2568)3()(,25674)3()3( 693)1 443214321 221 P从而 有分布列：0 1 2 3 4P 46349567281210 E（II） 18)()3( 答：停车时最多已通过 3 个路口的概率为 .567六、以生产加工为背景的概率解答题例 10、甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零41件不是一等品的概率为 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 .12 92（）分别求甲、乙、丙三
13、台机床各自加工零件是一等品的概率；（）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.解：（）设 A、B、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.由题设条件有 .92)(,14)()(.92)(,14)( CPABCAPB即由、得 代入得 27P(C)251P(C)+22=0.(8解得 （舍去）.将 分别代入 、 可得 13)(或 3)(即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是.4,1)(BPA.324,（）记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则 故从甲、.653142)(1)()(1)(1)( CPBAP乙、丙
14、加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为 .65七、以股市投资为背景的概率解答题例 11、设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分别为0.8、0.6、0.5，求（1)任两种股票至少有一种获利的概率；(2)三种股票至少有一种股票获利的概率.解：设 A、B、C 分别表示三种股票获利，依题意 A、B、C 相互独立，P(A)=0.8，P(B)=0.6，P(C)=0.5，则由乘法公式与加法公式(1) 任两种股票至少有一种获利等价于三种股票至少有两种获利的概率0.26.508.450.80.65.87PABPC(2) 三种股票至少有一种股票获利的概率110.24.50.96PAB
15、PAB计算的结果表明，投资于多支股票获利的概率大于每支股票的概率，这就是投资决策中分散风险的一种策略。由于篇幅的限制，更多的应用举例在这里就不再介绍了，请同学们在学习过程中注意总结，值得推荐的是同学们可以考察体育彩票与福利彩票的中奖概率大小。八、以气象为背景的概率解答题例 12、气象预报提示，A 、B 两城市在未来 24 小时有强降雪的概率分别为 、65.（假设 A、52B 两地相距较远，是否降雪相互独立）.（）求 A、B 两市在未来 24 小时均有强降雪的概率 P1；（）若有强降雪，其城市的机场将关闭.求在未来 24 小时，往返于 A、B 两市的航班被延误的概率 P2.解：（） 5 分315
16、61（）航班被延误，至少 A、B 一个城市有强降雪，因此12 分09)(2例 13、在同一时间段里，有甲、乙两个天气预报站相互独立地对天气进行预测，根据以往的统计规律，甲预报站对天气预测的准确率为 0.8，乙预报站对天气预测的准确率为0.75，求在同一时间段内：1）甲、乙两个天气预报站同时预报准确的概率；2）至少有一个预报站预报准确的概率；3）如果甲站独立预报三次，其中恰有两次预报准确的概率.解：设甲预报站预测准确为事件 ，乙预报站预测准确为事件 ，AB1）甲、乙两个天气预报站同时预报准确的概率为：； 4 分6.075.8)()( BPP2）至少有一个预报站预报准确的概率 )(1)(PA=8
17、分)75.0)(8.1)()(1A9.3）如果甲站独立预报三次，其中恰有两次预报准确的概率为12 分34.).0(8.)2(2233CP九、以实际操作为背景的概率解答题例 14、质点 位于数轴 处，质点 位于 处，这两个质点每隔 1 秒就向左或向A0xB2x右移动 1 个单位，设向左移动的概率为 ，向右移动的概率为 .133（1）求经 3 秒后，质点 在点 处的概率；（2）求经 2 秒后，质点 同时在点 处的概率；、 x（3）假若质点 在 和 两处之间移动，并满足：当质点 在 处时，经C0xC0x1 秒后必移到 处；当质点 在 处时，经 1 秒后分别以 的概率停留在1C2处或移动到 处.今质点
18、 在 处，求经 8 秒后质点 在 处的x x1概率. 解：（1） ； （2）21349P 1632)(1P（3）设质点 C 经 秒后，在 处的概率为 （ ） ，则由题意得 .n1xnPN01P则 ,解得 . 时， .122nnP2()387256例 15、从原点出发的某质点 M，按向量 ，按向量 移动3,0移 动 的 概 率 为a ),(b的概率为 ，设 M 可到达点（0，n）的概率为 Pn.3（1）求 P1 和 P2 的值；（2）求证： ；)(31nn（3）求 Pn 的表达式.解：（1） 97)2(1（2）M 到达（0，n+2 ）有两种情况 .)2,0(),(1移 动按 向 量点 移 动按
19、向 量点 n3311122 nnnnn PPPP （3）数列 为公比的等比数列,)(11为 首 项是 以 nnnnnn P)31(4)31()()3()( 21112! 总之，在复习中，应充分研究大纲、考纲，使学生做到：（1）五个了解，即了解随机事件的统计规律性；随机事件的概率；等可能事件的概率；互斥事件；相互独立事件.（2）四个会，即会用排列组合基本公式计算等可能事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率；会用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率；会计算事件在 次独立重复试验中恰发生 次的概率只要考生理解了相关概念及相关概率、期望、方差计算公式，确定好考查的概率类别，认真领会几类常见概率统计题的特点，概率统计这方面的考题还是比较容易得分的。电子邮箱 ,手机号码 13037341167；电话 07342518006
