1、3.2.2一、选择题1l，m 是两条直线，方向向量分别为 a(x 1，y 1，z 1)，b(x 2，y 2，z 2)，若 lm ，则( )Ax 1x 2，y 1y 2，z 1z 2Bx 1 kx2，y 1py 2，zqz 2Cx 1x2y 1y2 z1z20Dx 1x 2，y 1y 2，z 1z 2答案 D解析 由向量平行的充要条件可得2设 M(3，1,4) ，A(4,3， 1)若 ，则点 B 应为( )OM AB A(1，4,5) B(7,2,3)C(1,4，5) D( 7，2，3)答案 B解析 ，OM AB OB OA (7,2,3) 故选 B.OB OM OA 3平面 的一个法向量为 v
2、1(1,2,1)，平面 的一个法向量为 v2(2，4，2)，则平面 与平面 ( )A平行 B垂直C相交 D不确定答案 A解析 由 v1v 2故可判断 .4设平面 的法向量为(1,2，2) ，平面 的法向量为( 2，4，k)，若 ，则k( )A2 B4C4 D2答案 C解析 ， ，1 2 2 4 2kk4，故选 C.二、填空题5若 u (，u R)，则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是_AB CD CE 答案 AB平面 CDE 或 AB平面 CDE6已知 A、B 、C 三点的坐标分别为 A(1,2,3)，B (2，1,1)，C(3，)，若 ，AB AC 则 等于_ 答案 145三、解答题7
3、如图，已知 P 是正方形 ABCD 平面外一点，M、N 分别是PA、 BD 上的点，且 PMMABN ND58.求证：直线 MN平面 PBC.证明 MN MP PB BN PM PB BN 513PA PB 513BD ( ) ( )513BA BP PB 513BA BC ，513BP BP 513BC 513BC 813BP 与 、 共面，MN BC BP 平面 BCP，MN MN平面 BCP，MN平面 BCP.8用向量证明两个平面平行的性质定理证明 如图 ， 与 、 分别相交于直线 a、b.设 a、b 的方向向量为 a、b，设平面 的法向量为 n， n ，由条件知，na 0，nb0，若
4、a、b 不共线，则 n，这样 矛盾， a、b 共线， ab.9已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF，AD 为公共边，它们不在同一平面上，点 M、N 分别为对角线 BD、AE 上的点，且 AN AE，BM BD.证明：直线 MN平面 CDE.25 25证明 ( )MN AN AM 25AE AB BM ( ) 25AD DE DC 25BD ( )25AD 25DE DC 25CD CB 25AD 25DE DC 25DC 25CB ， 与 、 共面，25DE 35DC MN DE DC MN平面 CDE，MN平面 CDE.10在底面是菱形的四棱锥 PABCD 中，ABC60，PA ACa，PB
5、PD a，F 为 PC 的中点，点 E 在 PD 上，且 2，求证：BF平面2PEEDAEC.解析 BF BC 12CP ( ) AD 12CD DP AD 12CD 32DE ( ) ( ) ，AD 12AD AC 32AE AD 32AE 12AC 、 、 共面BF AE AC 又 BF平面 AEC，从而 BF平面 AEC.11已知三棱锥 PABC，D、E、F 分别为棱 PA、PB、PC 的中点，求证平面 DEF平面 ABC.证明 证法一：如图设 a， b， c，则由条件知， 2a， 2b， 2c，PD PE PF PA PB PC 设平面 DEF 的法向量为 n，则 n 0，n 0，DE
6、 DF n(ba)0，n( ca)0，n n( )n(2 b2a) 0，n n( )n(2c2a)AB PB PA AC PC PA 0，n ，n ，AB AC n 是平面 ABC 的法向量，平面 DEF平面 ABC.证法二：设 a， b， c，则 2a， 2b， 2c，PD PE PF PA PB PC ba， c a， 2b2a， 2c2a，DE DF AB AC 对于平面 ABC 内任一直线 l，设其方向向量为 e，由平面向量基本定理知，存在惟一实数对( x， y)，使 ex y x(2b2a)y(2 c2a) 2x (ba)2y( ca)AB AC 2x 2y ，e 与 、 共面，DE
7、 DF DE DF 即 e平面 DEF，l平面 DEF， l平面 DEF.由 l 的任意性知，平面 ABC平面 DEF.12如图，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F 、G、H、 M、N 分别是正方体六个表面的中心，证明平面EFG平面 HMN.证明 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体的棱长为 2，易得 E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H (1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1) (0 ，1,1)， (1,0,1)，EF EG (0,1， 1)， (1,0，1)HM HN 设 m(x 1，y 1，z 1)，n(x 2，y 2，z 2)分别是平面 EFG、平面 HMN 的法向量，由Error! Error!，令 x11，得 m(1 ，1，1)由Error! Error!.令 x21，得 n(1，1， 1)mn，即平面 EFG平面 HMN.高考试题库
