1、第 2 章 2.4.2 第 1 课时一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1已知抛物线 y22 px(p0)的准线与圆 x2 y26 x70 相切，则 p 的值为( )A. B112C2 D4解析： 圆的标准方程为( x3) 2 y216，圆心(3,0)到抛物线准线 x 的距离为p24， 1， p2，故选 C.p2答案： C2边长为 1 的等边三角形 AOB， O 为原点， AB x 轴，以 O 为顶点且过 A、 B 的抛物线方程是( )A y2 x B y2 x36 36C y2 x D y2 x36 33解析： 当抛物线开口向右时，可设抛物线方程为 y22 px(p0) A ， p，即
2、 p . y2 x.(32， 12) 14 3 312 36同理，当抛物线开口向左时，抛物线标准方程为 y2 x.36答案： B3已知抛物线 y22 px(p0)，以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与 y 轴的位置关系是( )A相交 B相离C相切 D不确定解析： 如图，| PP2| PP1| P1P2| (|MM1| FF1|)| P1P2|12 (|MM2| M1M2| FO| OF1|) P1P212 (|MM2| OF|)12 |MM1| |MF|，12 12该圆与 y 轴相切答案： C4设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2 ax(a0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若OAF(
3、O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为( )A y24 x B y28 xC y24 x D y28 x解析： y2 ax(a0)的焦点坐标为 .(a4， 0)过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y2 ，(xa4)令 x0，得 y . 4，a2 12 |a|4 |a|2 a264， a8，所以抛物线方程为 y28 x，故选 B.答案： B二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5抛物线的焦点与双曲线 1 的焦点重合，则抛物线的准线方程是_x216 y29解析： 在双曲线 1 中， a216， b29，x216 y29 c 5，a2 b2 16 9焦点坐标是 F1(5,0)， F2(5,0
4、)当抛物线焦点是 F1(5,0)时， 5，p2准线方程是 x5；当抛物线焦点是 F2(5,0)时， 5，p2准线方程是 x5，所以应填 x5 或 x5.答案： x56已知以 F 为焦点的抛物线 y24 x 上的两点 A、 B 满足 3 ，则弦 AB 的中点到准线AF FB 的距离为_解析： 如图，设 A(xA， yA)， B(xB， yB)，由题意设 AB 的方程为y k(x1)( k0)，由Error!，消去 y 得 k2x2(2 k24) x k20， xAxB1，又 3 ，AF FB xA3 xB4，解得 xA3， xB ，13 AB 的中点 M 到准线的距离| MN| .xA xB 2
5、2 83答案： 83三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7设 O 为坐标原点， F 为抛物线 y24 x 的焦点， A 为抛物线上一点，若O A 4，求点 A 的坐标A F 解析： 由 y24 x，知 F(1,0)点 A 在 y24 x 上，不妨设 A ，(y24， y)则 O ， A .A (y24， y) F (1 y24， y)代入 O A 4 中，A F 得 y( y)4，y24(1 y24)化简得 y412 y2640. y24 或16(舍去)， y2.点 A 的坐标为(1,2)或(1，2)8已知抛物线的顶点在原点， x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 的直线，被抛物线 4所
6、截得的弦长为 6，求抛物线方程解析： 当抛物线焦点在 x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程是 y22 px(p0)，则焦点 F ，直线 l 为 y x .(p2， 0) p2设直线 l 与抛物线的交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，过 A、 B 分别向抛物线的准线作垂线AA1、 BB1，垂足分别为 A1、 B1.则| AB| AF| BF| AA1| BB1| x1 x2 p6，(x1p2) (x2 p2) x1 x26 p.由Error!消去 y，得 22 px，(xp2)即 x23 px 0.p24 x1 x23 p，代入式得：3 p6 p， p .32所求抛物线标准方程是 y
7、23 x.当抛物线焦点在 x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是： y23 x.综上，抛物线方程为 y23 x. 尖子生题库9(10 分)已知直线 l 经过抛物线 y24 x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、 B 两点(1)若| AF|4，求点 A 的坐标；(2)求线段 AB 的长的最小值解析： 由 y24 x，得 p2，其准线方程为 x1，焦点 F(1,0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)(1)由抛物线的定义可知|AF| x1 ，从而 x1413.p2代入 y24 x，解得 y12 .3点 A 的坐标为(3,2 )或(3，2 )3 3(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k(x1)与抛物线方程联立，得Error!，消去 y，整理得 k2x2(2 k24) x k20，因为直线与抛物线相交于 A、 B 两点，则 k0，并设其两根为 x1， x2，则 x1 x22 .4k2由抛物线的定义可知，|AB| x1 x2 p4 4，4k2当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，与抛物线交于 A(1,2)， B(1，2)，此时| AB|4.所以| AB|4，即线段 AB 的长的最小值为 4.
