1、命题及其关系、充分条件与必要条件导学案命制学校： 沙市五中 命制教师： 范卫华学习目标：1、理解命题的概念；2、了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。学习重点： 充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；学习难点： 分析四种命题的相互关系；学法指导：多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。知识链接1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题
2、，判断为假的语句叫做假命题。2、四种命题及其关系（1）四种命题命题表述形式原命题若 p，则 q 逆命题若 q，则 p 否命题若，则逆否命题若，则（2）四种命题间的相互关系（3）四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。3、充分条件与必要条件（1）“若 p，则 q”为真命题，记，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。（2）如果既有，又有，记作，则 p 是 q 的充要条件，q 也是 p 的充要条件。新
3、建 学 案自主学习1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。合作探究例 1设原命题是“已知 p、q、m、n 是实数，若 p=q，m=n，则 pm=qn”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假逆命题：“已知 p、q、m、nR，若pm=qn，则 p=q，m=n(假)原命题：“已知 p、q、m、
4、nR，若 pq，mn，则pmqn”(假)逆否命题：“已知 p、q、m、nR，若 pmqn，则 pq 或 mn”(真)注，否命题“若 pq，mn”应理解为“pq 或 mn”即是指：pq，但m=n，p=q 但 mn，而不含 pq 且 mn因为原命题中的条件：“若 p=q，m=n”应理解为“若 p=q 且 m=n，”而这一语句的否定应该是“pq 或 mn”内接于圆的四边形的对角互补；已知 a、b、c、d 是实数，若 ab，cd，则 acbd；分析：首先应当把原命题改写成“若 p 则 q”形式，再设法构造其余的三种形式命题解析：对：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互
5、补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”对：原命题：“已知 a、b、c、d 是实数，若 ab，cd，则 acbd”，其中“已知 a、b、c、d 是实数”是大前提，“ab，cd”是条件，“acbd”是结论所以：逆命题：“已知 a、b、c、d 是实数，若 acbd，则 ab，cd”；否命题：“已知 a、b、c、d 是实数，若 ab 或 cd，则 acbd”(注意“ab，cd”的否定是“ab 或 cd”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知 a、b、c、d 是实数，若 acbd 则 ab 或 cd”逆否命题还可
6、以写成：“已知 a、b、c、d 是实数，若 acbd 则 ab，cd 两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理试一试：写出命题“当 c0 时，若 ab，则 acbc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假二、充分条件与必要条件的判定1、相关链接（1）利用定义判断来源:学优高考网 gkstk若，则 p 是 q 的充分条件；来源:gkstk.Com注：“p 是 q 的充分条件”是指有 p 就有 q，但无 p 也可能有 q如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角
7、形面积相等”的另一个充分(不必要)条件，则 p 是 q 的必要条件；注： “q 是 p 的必要条件”是指有 q 才能有 p，但有 q 未必有 p如，一个偶数未必能被 6 整除(q：为偶数，p：能被 6 整除)若且，p 是 q 的充要条件；p 是 q 的必要而不充分条件（2）利用集合判断记条件 p、q 对应的集合分别为 A、B，则：若来源:学优高考网 gkstk若，则 p 是 q 的充分不必要条件；若若，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 A=B，则 p 是 q 的充要条件；注：p 与 q 之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。2、例题解析例 1 “”是“直线相互垂直”
8、的（ ）来源:学优高考网A充分必要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件答案：B；来源:学优高考网 gkstk解析：当时两直线斜率乘积为从而可得两直线垂直,当时两直线一条斜率为 0 一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。注：对于两条直线垂直的充要条件都存在时中有一个不存在另一个为零对于这种情况多数考生容易忽略。例 2已知 p：x1，x2 是方程 x25x60 的两根，q：x1x25，则 p 是 q 的 A充分但不必要条件 BC充要条件 D分析：利用韦达定理转换解析：x1，x2 是方程 x25x60 的两根，x1，x2 的
9、值分别为 1，6，x1x2165因此选 A说明：判断命题为假命题可以通过举反例三、充要条件的证明例 1（12 分）求证方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个负数根的充要条件为 a0 或 a=1.分析：（1）讨论 a 的不同取值情况；（2）利用根的判别式求 a 的取值范围. 解答：充分性：当 a=0 时，方程变为 2x+1=0,其根为 x=,方程只有一个负根；当 a=1 时，方程为 x2+2x+1=0.其根为 x=-1,方程只有一个负根。当 a0,方程有两个不相等的根，且0,方程有一正一负根。必要性：若方程 ax2+2x+1=0 有且仅有一个负根。当 a=0 时，适合条件。当 a0 时，方程
10、ax2+2x+1=0 有实根，则 =4（1-a）0，a1,当 a=1 时，方程有一个负根 x=-1.若方程有且仅有一负根，则 a0综上方程 ax2+2x+1=0 有且仅有一负根的充要条件为 a0 或 a=1注：（1）条件已知证明结论成立是充分性，结论已知证明条件成立是必要性；（2）证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性。证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件下的两次证明；（3）证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论。例 1给出下列各组条件：(1)p：ab0，q：a2b20；(2)p：xy0，q：|x|y|xy|；(3)
11、p：m0，q：方程 x2xm0 有实根；(4)p：|x1|2，q：x1其中 p 是 q 的充要条件的有 A1 组 B2 组 C3 组 D4 组分析：使用方程理论和不等式性质解析： (1)p 是 q 的必要条件(2)p 是 q 充要条件(3)p 是 q 的充分条件(4)p 是 q 的必要条件选 A说明：ab0 指其中至少有一个为零，而 a2b20 指两个都为零【感悟高考真题】例 1（2011安徽高考理科7）命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是（A）所有不能被 2 整除的整数都是偶数（B）所有能被 2 整除的整数都不是偶数（C）存在一个不能被 2 整除的整数是偶数（D）存在一个不能被
12、2 整除的整数不是偶数【思路点拨】此命题为全称命题，全称命题的否定为相应的特称命题.【精讲精析】选 D. 全称命题的否定为相应的特称命题，即将所有变为存在，并且将结论进行否定.例 2（2011理科2）若 aR，则“a=2”是“（a-1）（a-2）”=0 的( )A).充分而不必要条件 B)必要而不充分条件C).充要条件 .既不充分又不必要条件【思路点拨】解决本题的关键是判断 a=2”与（a-1）（a-2）=0 两者之间满足怎样的推出关系.【精讲精析】选 A 由得或，所以而，故是的充分不必要条件.是三个相互平行的平面，平面之间的距离为，平面之前的距离为，直线与分别相交于.那么“”是“”的( )A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件【思路点拨】先根据面面平行的性质定理得出，线线平行，再根据平行线分线段成比例这一性质，易得两者之间的关系.【精讲精析】选 C.附件 1：律师事务所反盗版维权声明附件 2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）学校名录参见：http:/
