1、1 机械波的形成及描述一机械波的产生二描述波的物理量2 平面简谐波一波函数二波动曲线三波动方程 作业：2.3、 2.6、2.7,第二章 波动学基础,振动在空间的传播过程叫做波动,第二章 波动学基础,机械振动在媒质中的传播称为机械波。,如声波、水波、地震波等,变化电场或变化磁场在空间的传播称为电磁波。,如无线电波、光波等,虽然各类波的本质不同，各有其特殊的性质和规律， 共同的特征和规律： 都以振动作为波源; 都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播； 都能产生反射、折射、干涉或衍射等现象。,机械波（需要媒质作为载体） 电磁波（无须媒质作为载体）,（简称波）,一. 机械波的产生,1 机械波的形成及
2、描述,机械波产生的条件,振源,作机械振动的物体波源,媒质,传播机械振动的物体,在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的， 因此这样的媒质又称弹性媒质。,什么是物质的弹性？,机械振动是如何靠弹性来传播呢？,物质的弹性,形变:物体包括固体、液体和气体，在受到外力作 用时，形状或体积都会发生或大或小的变化。,当外力不太大因而引起的形变也不太大时， 去掉外力，形状或体积仍能复原。 这个外力的限度称作弹性限度。,在弹性限度内，外力和形变具有简单的关系， 由于 外力施加的方式不同，形变可以有以下 几种基本方式：, 长变,一段固体棒，当在其两端加以方向相反大小相等的外力时，其长度会发生改变。,以F 表示
3、力的大小，以S 表示棒的横截面积， 则叫FS 叫做应力，以 l 表示棒的长度，,实验表明：在弹性限度内，应力和应变成正比。,以 l 表示在外力 F 作用下的长度变化。 则 ll 叫相对长度变化，又叫应变, 长变,胡克定律,在弹性限度内，应力和应变成正比。,为关于长度的比例系数，它随材料不同而不同，叫杨氏模量。, 切变,一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的 大小相等方向相反的力作用时，形状就要发生改变， 如图，,外力F 和施力面积 S 之比，为切变的应力 施力面积相互错开而引起的材料角度的变化 ， 叫切变的应变。,这种形式的形变叫切变。, 切变,在弹性限度内，切变的应力也和应变成正比。,
4、称作切变弹性模量。由材料的性质决定。, 体变,一块物质周围受到的压强改变时， 其体积也会发生改变，如图，,以 V 表示原体积，P 表示压强的改变， 以 V V 表示相应体积的相对变化， 即应变，则有,叫体变弹性模量它由物质的性质决定,“”表示压强的增大总导致体积的减小,机械波的传播,纵波和横波,按质元振动方向与波传播的方向之间的关系波划分为,横波,纵波,振动方向与波传播方向垂直的波。,振动方向与波传播方向在一条直线上的波。,如弹簧中传播的波以及声波,如细绳中传播的波,对横波、纵波来说， 质元发生形变情形是什么样的呢？,仅产生于固体中,可产生于固体、流体中,横波,从图上可以明显看出在横波中各质元
5、发生切变， 外形有波峰波谷之分,纵波,在纵波中，各质元发生长变或体变， 因而媒质的密度发生改变，各处疏密不同， 所以纵波也叫疏密波。,纵波在气体、液体、固体媒质中都可以传播,振动与波动,波动与振动密不可分。任何波都是以振动作为波源的。,区别,振动研究一个质点的运动,波动研究大量有联系的质点振动的集体表现,联系,振动是波动的根源,波动是振动的传播,振动是波动的基础，同时，波动又发展了振动,把振动个体的运动扩展、传播出去，成为集体运动。,波的特征,媒质中各质元均在各自的平衡位置附近振动，质元本身并不迁移，质元并未“随波逐流”。,(2)后面质点重复前面质点的振动状态，有相位落后。,(3) 波是振动状
6、态的传播过程,波形、能量向前传播。,(4) 在媒质中沿波传播方向，相隔一定距离存在同相质元-质元的振动状态相同,波的几何描述,波的传播可以用位相的传播来说明。,各质元的位相的关系以及波传播的方向， 常用几何图形加以描述。,波线：,用带箭头的线表示波传播的方向。,波面：,媒质中振动位相相同的质元组成的曲面。,波前：,(同位相面)由于这一波面在波传播方向的 最前方，所以又叫做波前或波阵面。,根据波前的形状不同， 波可分为平面波，球面波，柱面波。,二描述波的物理量,周期 T、频率 ,波是机械振动的传播， 由于振动具有时间上的周期性， 所以波也具有时间上的周期性，,媒质中质元完成一次全振动的时间， 也
7、即传过一个完整的波经历的时间叫波的周期， 周期的倒数叫频率。,在媒质中沿波传播方向，每隔一定距离， 媒质的质元的振动状态在各时刻都相同-质元的振动同相,表明波具有空间上的周期性。,引入波长的概念来描述波在空间上的周期性。,波长 ,在波的传播方向上两个相邻的同相(相位差为)质元之间的距离叫做波长。记作 ,相邻两个波峰或波谷之间的距离等于一个波长,纵波的一个波长内有一个疏部和一个密部。 相邻两个密部或疏部之间的距离等于一个波长,横波中的一峰一谷和纵波的一疏一密构成了 一个“完整波”包含了全部振动状态， 因此 一个波长就是一个“完整波”的长度。,周期 T、频率 与波长 的关系,在一个周期内，某一确定
8、的振动状态， 所传播的距离正好是一个波长。,u 表示振动状态(或振动相位)的传播速度， 则描述波动的三个特征物理量的之间的关系,T反映波的时间周期性,反映波的空间周期性,媒质定,改写,表明：波的频率等于单位时间内通过媒质某一点的“完整波”的个数。,波速 u,波速的大小决定于媒质的性质，,振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度,Y 杨氏弹性模量 体密度,(2) 固体棒中的纵波,(1) 固体中的横波,G 切变模量,G Y, 固体中 横波 纵波,(3) 弹性绳上的横波,T 绳的初始张力, 绳的线密度,(4) 流体中的声波,k体积模量, 0 无声波时的流体密度,= Cp/Cv , 摩尔质量,理想气体
9、:,2 平面简谐波,如果媒质中所传播的是简谐振动， 则媒质中各质元均作简谐振动， 则相应的波称作简谐波，又叫正弦波。,平面简谐波：波面是平面的简谐波。 球面简谐波：波面是球面的简谐波。,任何形式的波都是由简谐波（或谐波）组成的,最基本、最简单、最重要的是平面简谐波！,一平面简谐波的波函数（波的表达式）,波函数的含义：,与简谐振动表达式对比说明,x =Acos ( t o ),表示时刻 t 质点离开平衡位置 的位移，取决于位相 t o,一平面简谐波的波函数（波的表达式）,波函数 波的表达式,应表示出中所有质元在时刻 t 的位移， 除了取决 t o 外， 还应与质元的位置坐标有关,平面简谐波的表达
10、式,假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的 均匀无限大媒质中传播。,波传播的速度为 ，方向如图,选择平行波线方向的直线为 x 轴。,研究波动抓住一条波线研究即可,在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同）， 它们在同一时刻对各自的平衡位置有相同的位移。 因此，对于平面波来说只需知道 x 轴上各质元的 振动状态就可以了。,换句话说，平面波的波函数给出的是 x 轴上各质元 的振动表达式,已知平面简谐波沿 x 轴正向传播，x 轴上质元离开平衡位置的位移用 y 表示,设 t 时刻位于原点 o 的质元的振动表达式为：,假设在振动传播过程中，媒质并不吸收 振动的能量，所以各质元的振动的振幅相等。,
11、当 o 点质元的振动以波速 u 传到任一点P 时,P 点质元重复 o点质元的振动， 但 P 点振动的位相要比 o 点落后。,由于沿波传播方向每隔一个波长 ， 位相就要落后 2 ，每隔单位长度位相落后 2,设 P 点距 o 点的距离为 x， P 点振动的位相要比 o 点落后 x 2 ,P 点振动的位相要比 o 点落后 x2 ,t 时刻o 点质元的振动位相：,t 时刻 P 点质元的振动位相：,结果：,t 时刻 P点质元振动的振幅和频率与o 点相同，P 点振动的位相,t 时刻 P点质元振动的表达式：,因为P点是任选的，上式就是 x 轴上任意质元 的振动表达式，即平面简谐波的波函数,波函数还有其它形式
12、,.,1、波函数表达式的建立,波函数,1）建立坐标,2）写出参考点在t 时刻的振动方程：,求波函数的步骤及方法,3）求波动方程,从时间落后角度推出x处质元的振动方程波函数,由波动的特点，我们知道任意质元P重复O点的振动， 即P点比O点晚 t=x/u 时间振动，所以,P点在t时刻的振动 = O点在（t - x/u）的振动,p点质元的振动方程,令,波数,是 、 的函数，分三种情况讨论：,.,1）当 x 一定时（观察一个定点 xx1 ）,看到（ xx1 ）处的质元作简谐振动,xx1 处的质元作简谐振动的表达式,2）当 t 一定时，即锁定某一时刻（ t t1），则,看到的是锁定时刻（ t t1 ）的“
13、快照”波形,给定时刻（ t t1）的波形,给出了t1 时刻各个质元振动离开平衡位置,t, 波是振动状态的传播,继续分析,表明：（t+t ）时刻在（x+ x ）处的质点振动状态与t 时刻在 x 处的质点的振动状态相同,表明： t 时刻 x 处的质元振动状态经过了t+ t 时间后传到了 x+x 处了,3）当x、t 变化时，,行波,不同的时刻对应不同的波形,波形的传播,考察下一时刻各个质元振动情况，,可得另一时刻的波形,波函数给出了不同时刻的波形,沿负向传播的平面简谐波的表达式,求波动表达式（波函数)？,解：,由题意可知：,求波动表达式（波动方程)为,关键是求t,二波动曲线,根据波动表达式 以 t
14、时刻，质元的平衡位置 x 为横坐标， 以质元离开平衡位置的位移y 为纵坐标， 画出的曲线，叫t 时刻波形曲线。,波长:波形曲线上两相邻波峰或波谷之间的距离表示一个周期内波传播的距离。,波的振幅:波形曲线上波峰或波谷的纵坐标的绝对值表示质元离开平衡位置的最大位移。,不同时刻对应有不同的波形曲线,例1., o 点振动表达式；, P 点振动表达式；, Q，P 点的位相差, 波函数, Q 点振动方向, P 点振动方向；, o 点振动表达式；,解：,设 o 点振动表达式,由波形图, o 点振动表达式；,解：,解：, 波函数,解：, P 点振动表达式；,解：, Q，P 点的位相差, Q 点振动方向, P
15、点振动方向,向上,向下,例2., 波的周期、角频率和波数, 波函数,某平面简谐波在 t=0 和 t=1s 时的波形如图 （ t=1s 时的波形对 t=0 的波形图向右移过 /4,解：,比较两图可知在 1s 内波沿 x 正方向移动 /4,波的周期, 波的周期、角频率和波数,波长,解：, 波函数,设 o 点振动表达式,解：, 波函数,三波动方程,将平面简谐波的波函数分别对 t 及 x 求两次偏导数,比较两式,波动方程的运动学推导,波动方程,注意：,波动方程是由平面简谐波推导出的， 但对其它平面波仍然成立， 从数学上，平面简谐波波函数 只是上述波动方程的一个特解。,波动方程,波动方程的动力学推导,以
16、平面波在固体细长棒中的传播为例,以上是按运动学的观点来讨论波动过程的传播规律， 还可以进一步从动力学的观点，更本质地分析 波动方程的意义,设有一截面积为S ，密度为 的固体细棒， 一平面纵波沿棒长方向传播。,当有纵波传播时，该体积元发生长变， 设 t 时刻体积元正被拉长，,这一体积元的长度为 dx，体积,选棒长的方向为 x 轴，在棒上距 o 点 x 处附近 取一体积元 ab ，,左端受到应力为，方向向左； 右端受到应力为 d ，方向向右；,应力是 x 和 t 的函数,t 时刻体积元所受合力,体积元质量为,根据牛顿第二定律有,在应力作用下体积元发生长变,a 端发生的位移为 y ， b 端发生的位移为 y dy,由图上几何关系，体积元长度变化为 dy,t 时刻,由图上几何关系，体积元长度变化为 dy,体积元的原长dx,体积元的应变为,体积元的应变为,由胡克定律,杨氏模量。,式中 是一个常量,上式表示棒中各点振动的位移满足的微分方程,称为细棒中平面波的波动方程,这就是固体细棒中传播的纵波的波速,将平面简谐波的表达式代入方程求导，可得,求下面 4 种情况的波动表达式以及B点的振动方程,课堂练习：已知波沿 x 轴传播，波速为u ，A 点的振动规律为：,（1）,（2）,（3）,（4）,
