1、序偶与集合的笛卡尔积 第 1页 目标： 计算集合的笛卡尔积。 要求： 1、理解概念； 2、掌握序偶和笛卡尔积的定义和性质。 第 2页 一、序偶与有序 n元组 两个具有固定次序的客体 x、 y组成序偶，也称为有序二元组，记作 ； 称 x、 y分别为序偶 的第一，第二元素。 固定次序 是指调换第一和第二元素位置后，含义不同。 注意， 第一、 二元素 未必不同 。 1.定义 ： 说明 第 3页 序偶的性质 （ 1） 当 xy时 ， 。 x,y=y,x （ 2）序偶二个元素可以重复，即 也是序偶。 无 x,x （ 3） 序偶中两个元素可以来自不同的集合 。 ： x A, y B x,y A （ 4）
2、序偶与集合的统一： = x,x,y （ 5） 序偶相等的定义： (x,y=u,v)(x=u) (y=v) 由 序偶 相等的定义有 x+2 5 2x+y 4 解得 x 3,y -2。 解答 例 已知 ，求 x和 y。 第 4页 序偶的推广： 有序 N元组 定义 由 N个元素 x1,x2, xn-1,xn按照一定的次序组成的 N元 组称为 有序 N元组 ，记为 。 xi叫做该 n元组的第 i个分量 i=1, n。 有序 N元组与序偶的关系： =x1,x2, xn-1,xn 三元组 x1, x2, x3 =x1, x2, x3 四元组 x1, x2, x3, x4=x1, x2, x3, x4 =,
3、 x3, x4 注意： x1, x2, x3 x1, x2, x3 x1, x2, x3, x4 x1,x2, x3, x4 x1, x2, x3, x4, x5 x1,x2, x3, x4, x5 例如： a年 b月 c日 d时 e分 f秒 ， 可用六元组表示 第 5页 定义： 两个 n元组相等 设 x1,x2, xn与 y1,y2,y n是两个 n元组，如果 xi=yi， i=1,n ，则称这两个 n元组相等，记为 x1,x2, xn=y1,y2, yn。 用逻辑的方法表示为 (x1,x2, xn=y1,y2,y n) (x1= y1) (x2= y2) (xn= yn)。 第 6页 二、
4、集合的笛卡尔积 引例 “斗兽棋” 虎 象 狮 豹 狼 鼠 猫 狗 虎 象 狮 豹 狼 鼠 猫 狗 每个棋子可以看成一个序偶 : , , , , 可看成是由 两种颜色的集合 A和 8种动物的集合 B做运算得到的 。 A=红 ,蓝 B=象 ,狮 ,虎 ,豹 ,狼 ,狗 ,猫 ,鼠 斗兽棋可记成集合： 斗兽棋可记成集合： 第 7页 补充的 定义 : A和 B的 笛卡尔积 或 直积 设 A、 B是集合，由 A的元素为第一元素， B的元素为第二元素组成的 所有 序偶的集合 ，称为 A和 B的笛卡尔积 或 直积 ， 记作 A B， 即 AB=|xA yB AB xA yB AB xA yB 例如： A表示
5、某大学所有学生的集合， B表示大学开设的所有课程的集合。 则 A B可以用来表示该校学生选课的所有可能情况。 1、集合的笛卡尔积的定义 第 8页 AB=, BA=, AA=, , 可见 A BB A 集合的笛卡尔积运算不满足交换律。 例： A=0,1， B=a,b， C=z (AB)C=, z =, A(BC)=0,1 , =, (AB)C=,z|AB zC A(BC)=|xA BC, 可见 (AB)CA(BC)。 集合的笛卡尔积运算 也不满足结合律。 例： 设 A=0,1,2， B=a,b，求 AB ， BA， AA 。 |AB |=6= |BA | |A A |=9 第 9页 1) 如果
6、A、 B都是有限集，且 |A|=m, |B|=n， 则 |AB |=mn. 证明：由笛卡尔积的定义及排列组合中的乘法原理，直接推得此定理。 2) A=B= 3) 对 和 满足分配律。 设 A,B,C是任意集合，则 A(B C)= (AB) (AC)； A(BC)= (AB)(AC)； (A B)C= (AC) (BC)； (AB)C= (AC)(BC) 4) 若 C,则 AB(ACBC) (CACB)。 5) 设 A,B,C,D为 非空集合 ，则 ABCDAC BD。（两个笛卡尔积具有包含关系，则相应的分量也具有包含关系） 2、集合的笛卡尔积的性质 第 10页 2、集合的笛卡尔积的性质 （续）
7、 求证： A(B C)= (AB) (AC) 分析： A(B C) ?(AB) (AC) 证明： 任取 A(B C) xA y(B C) xA (yB yC) (xA yB) (xA yC) AB AC (AB) (AC) 所以 A(B C)= (AB) (AC) 其余可以类似证明 。 A(B C) A(B C) (AB) (AC) (AB) (AC) A=a, B=1,2, C=2,3 A(B C)= a 1,2,3 =, AB= a 1,2 =, AC= a 2,3 =, (AB) (A C) =, A(B C) = (AB) (A C) 第 11页 即 AB(ACBC) 类似可以证明 A
8、B (CACB)。 4) 若 C,则 AB(ACBC) (CACB). 证明 : 证 AB(ACBC) 证： AB ACBC 设 AB, 任取 AC xA yC (由 AB) xB yC BC 即 BC 所以 , ACBC。 2、集合的笛卡尔积的性质 （续） 证： (ACBC) AB 若 C, 任取 yC, 任取 xA xA yC AC (由 ACBC) BC xB yC xB 所以 , AB。 AB xA yB AB (x)(x A x B) 第 12页 5) 设 A,B,C,D为 非空集合 ，则 ABCDAC BD。 证明 : 证：由 ABCD AC BD。 任取 xA，任取 yB， xA
9、 yB A B (由 ABCD )C DxC yD 即 xC yD 所以 , AC BD. 证：由 AC BD ABCD。 任取 A B A B xA yB (由 AC， BD) xC yDC D 即 C D 所以 , ABCD 因此， ABCDAC BD。 2、集合的笛卡尔积的性质 （续） 第 13页 注意： 两集合的笛卡尔积仍是一个集合 ，故对于有限集合可进行多次笛卡尔积运算。 A B C=(A B) C A B C D =(A B C) D =(A B) C) D A1 A2 An=(A1 A2 An-1) An =|x1 A1,x2 A2, xn An A A =A2, A A A=A3, A A A= An 第 14页 例： 令 A1=x|x是 学号 A2=x|x是 姓名 A3=男 ,女 A4=x|x是 出生日期 A5=x|x是 班级 A6 =x|x是 籍贯 则 A1A2A3 A4A5 A6中一个元素： 是学生档案数据库的一条信息，所以 学生的档案就是 A1A2A3 A4A5 A6的一个子集。 3、 集合的笛卡尔积的 应用 作业 第 105页 第 15页
