1、第一专题 质点运动学,知识与方法研究,例题7,例题8,例题9,疑难题解答研究,三、两平面运动曲线的交点的运动,一、运动分解的任意性,二、曲率半径的物理求法,一、运动分解的任意性,不限于正交分解，更不限于沿水平、竖直方向的正交分解. 可以根据解题需要沿选 定方向分解.,知识与方法研究,运动的分解与合成是不同于参照系变化时（KK）对运动描述的伽利略或洛仑兹 变换, 是在一个参照系中进行的.,例1 足球运动员在球门正前方距离球门S远处的O点踢出一球，球从球门高为h的横梁下边沿射入球门. 问球以怎样的角度 射出，才能使射出的初速度v0最小？,O,C,B,S,h,解一,建立如图的坐标系，,则有,消去t
2、得：,进而得：,所以,将v0做水平、竖直的正交分解.,v0,O,C,B,S,h,v0,解二,如图，建立坐标系.,则有,将v0、g均沿x、y方向进行分解.,足球到达B时，,所以有,消去t 得：,所以,此时,O,C,B,S,h,v0,解三,建立如图的坐标.,据图中的几何关系，,由正弦定理有：,即,由左边的等式得：,将此代入右边的等式：,所以,此时,则x方向为匀速直线运动，y方向为自由落体运动.,现在足球在x轴方向、y轴方向的分运动各是什么运动？,O,C,B,S,h,v0,题后总结与思考 本题充分说明运动分解的任意性. 如果愿意，还有一种如图的有效分解方式！,例2 弹性小球从高h处自由落下，落到与水
3、平面成角的足够长的斜面上，碰撞 后以同样大小的速度弹回来.（1）求每个弹回点（第一点和第二点，第二点和第三点，第n点和第（n+1） 点）间的距离x1-2、x2-3、x3-4、x n-(n+1).（2）求当斜面以匀速度u沿竖直方向向上运动时的x1-2的数值.,解,小球第一次与斜面相碰（前、后）的速度大小为,则小球在两个碰点之间的在x、y方向的分 运动均是匀变速直线运动.,于是,以斜面为参照系.,建立如图所示的坐标系.,第一次碰后（第二次碰前）的运动方程为：,令 y 1=0，可得第一与第二次碰撞的时间间隔为,代入x1的计算式后可得,第二次碰后瞬间的速度大小等于第 二次碰前瞬间的速度大小：,显然，,
4、进而可知每相邻两次相碰的时间间隔均相等，,以此类推，,碰后瞬间在y方向的速度大小均相等.,于是,可知在每次碰前,为,小球每一次碰后瞬间的x方向分速度 将比前一次增加,因而每接连两次相碰的间距将比相邻的两次接连相碰的间距增加,所以第n次碰撞与第(n+1)次碰撞之间的间距为,题后思考能否建立水平方向的 x 坐标与竖直方向的y 坐标解本题？ 能否建立斜面方向的x坐标与竖直方向的y坐标求解？,（2）求当斜面以匀速度u沿竖直方向向上运动时 的x1-2的数值.,此时，仍以斜面为参照系. 则小球第一次与斜 面相碰时速度大小便由（1）中的v10变成了(v10+u).,所以将（1）中相关式子中的v0代换为（v0
5、+u），,于是,让质点的做某种轨迹为给定的曲线的运动 确定质点在运动轨迹上各处的v和a心 由向心加速度公式求 在选择质点的运动时，尽量考虑如何方便得到曲线各处的v和a心,二、曲率半径的物理求法,1、从曲率圆的角度看平面光滑曲线运动的速度和加速度,表示速度大小的变化快慢,表示速度方向的变化快慢,y,o,p1,p,x,2、由物理运动学求曲率半径思路：,例3 试求椭圆 的顶点处的曲率半径.,解,椭圆的参数方程为,可以选择质点沿椭圆轨道的运动为：,在x方向和y方向的分运动为简谐振动的运动.,(其简谐振动方程即为以上椭圆的参数方程),于是有,在图中顶点A处：,x,y,0,A,B,所以,同理可得,例4 求
6、滚轮线的最高点的曲率半径和1最低点的曲率半径2.,解,o,P,为方便计，设轮子做匀速的纯滚动.,设轮心O相对地面的速度为v0 .,P在最高点处相对于地面的速度大小为,P在最低点处相对于地面的速度大小为,故,则,P,P,P,o,o,o,o,P,v0,滚轮线最低处的曲率半径为,P,P,P,在滚轮线的最高点处和最低点处，,故,o,o,o,题后总结 此两题的解法属于物理运动学的求法; 曲率半径还有物理动力学的求法这将在以后研究.,三、两运动曲线（包括直线）的交点的运动,注 意交点并非曲线上的一个固定点，而是两条曲线相交而成的几何点. 两曲线并非均作平动.,1、几种交点的运动情况,（1）直线与直线的交点
7、,（2）曲线与曲线的交点,（3）直线与曲线的交点,2、如何求交点的速度,决不能 ！,（1）由速度的定义出发求.,（2）从相对运动出发求.,例5 如图，一平面内有l1、l2两细杆，相交成角. 细杆分别以垂直于自身杆长的速度匀速运动. 求两杆的交点P相对于纸面的速率.,解一,由定义出发求速度,在图中：,由余弦定理有,所以,（求出交点相对某一曲线的速度，再叠加上此曲线的速度）,l1,l2,P,v1,v2,P1,A,B,P2,P3,解二,由相对运动出发求速度,先求出交点相对于杆l1的速率v1：,在图中：,所以,进一步得交点P相对于地面的速率：,例6 如图, 在o-xy平面内有一个圆, 在y轴上放一根细
8、杆,从t=0开始, 细杆以速度v0朝 x轴正方向匀速平动. 试求细杆与第一象限内的圆弧的交点的向心加速度与时间t的关系.,x,y,O,v0,解一,交点的运动方向总是沿圆的切线方向.,设在t 时刻交点在P点，经过小量时间t， 交点由P点运动到P1点.,P0,则,而,由、消去 ：,将,代入即得,所以,（其中 ）,由速度定义出发解答.,所以,x,y,O,v0,P,P0,解二,由相对运动出发解.,P3,则,所以便有,进一步便可得到交点 P 的向心加速度.,v0,（3）两平面光滑曲线交点速度的最简求法研究,如图，L1、L2的交点P相对地面的速度为 .,分别作L1、L2的切线l1、l2.,则,则,在地面参
9、照系中沿l1、l2方向分解,在地面参照系中沿l1、l2方向分解,重解例5：,l1,l2,P,v1,v2,由余弦定理求合：,重解例6：,所以,进一步便可得到交点 P 的向心加速度.,题后总结与思考 该方法仅局限于光滑平面运动曲线的交点！ 此方法是否仅限于两曲线作平动的情况？请论证.,疑难题目解答研究,例7 如图，光滑水平面上两根刚性细杆OM、ON成15夹角交于O点，小球在OM 的内侧与O相距l=20cm的P点处，以与MO成30角方向的初速朝ON杆运动，初速度大 小为v0=10cm/s. 试问小球能否回到P处？若能，则须经多少时间回到P处？,解,小球作的是匀速折线运动.,M,N,P,O,l,300
10、,150,而光线经镜面反射后的行进等效 于光线沿原入射方向的行进.,因此光线在两平面镜之间的不断 反射可等效为光线沿PP直线传播.,可将小球的运动类比为光线在平 面镜M、N之间的反射.,由于,因此光线能够沿原路返回到P点.,M,N,P,O,l,P,300,150,P,所以小球从P点出发到又回 到P点，总的路程即为PP=2PP.,所经历的时间为,S,S,（a）,（b）,取t = 0时白色点在A位置.,A,B,C,（K=0、1、2、3、）,解,例8 图（a）中的黑色圆盘上有白色点S，盘绕中心轴以 f0= 50He的频率旋转，如 果用频率为 f 的频闪光去照射该盘，在盘上能看到稳定地出现如图（b）的
11、三个白色 点. 请算出两种可能的 f 值，其一大于f0，其二小于f0 . 又若取f = 51He，那么在盘上能 观察到什么现象？,则白点在B位置的时刻：,（K=0、1、2、3、）,白点在C位置的时刻：,1200,1200,1200,则白点在A位置的时刻：,（K=0、1、2、3、）,（1）若白点在B处,这要求频闪周期为,白点在C位置.,白点在A位置.,则频闪光第二次照亮圆盘时：,即有,S,S,（a）,（b）,A,B,C,1200,1200,1200,设t = 0时频闪光第一次照亮圆盘（即看见白色点在A）.,如此重复，便能在圆盘上到三个稳定的白点.,（K 1=0、1、2、3、）.,（b）,A,B,
12、C,（2）若频闪光第二次照亮时，白点在C处,这要求频闪周期为,（K2=0、1、2、3、）,白点在 B位置.,白点在 A位置.,综上可知，频闪光的可取频率范围为：,其中，大于f0 的 f 有：,小于f0 的 f 有：,如此重复，便能在圆盘上到三个稳定的白点.,即有,图（c）,A,若f 稍大于f0 (如f =51He)，则T 稍小于T0 ，这意味着白点 在A位置被照亮后，经过时间T 顺时针将转过大半周（T/T0周）.,白点倒退一周所需的时间为,倒退的频率为,这相当于逆时针转过小半周即（1-T/T0 ）周又被照亮， 故会看见白点逆时针倒退.,题后总结 通过该题知道了： 为什么看电影时，有时看见汽车前
13、进 而车轮却反转？,例9 如图，OABC是一桌球台面. 取OA为 x 轴，OC为y 轴，P是红球，坐标为 (x, y), Q是白球，坐标为（x, y ), (图中未画出Q球在台面上的位置）. 已知OA=BC=25分米，AB=OC=12分米.,A,B,C,O,P,Q,x,y,(x, y),解,（1）若P球的坐标为：x=10分米，y=8分米. 问 Q球的位置在什么范围内时，可使击出的Q球顺次与 AB、BC、CO和OA四壁碰撞反弹，最后击中P球？,（2）P球有没有一些位置是Q球无论在什么位置 出发，按上述次序从四壁反弹后都无法击中的？如 没有，加以证明；如有，找出这些位置的范围. （白球Q同四壁的碰
14、撞均为弹性碰撞，两球体积很 小，可看作质点.）,如右图，你能不能让白球与桌璧N M 弹性相碰后击中红球?,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),(25,12),(25,0),(10,8),给球桌各顶点及红球的位置标注上坐标,(0,0),（1）,如果白球对着镜像点P2击在CO上就能射向P1;,如果白球对着镜像点P3击在OC上就能射向P2；,如果白球对着镜像点P4击在BA上就能射向P3.,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),(25,12),(25,0),(10,8),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),2、为了保证白球能
15、对着P4点且击在BA上，白球应该放在什么区域？,3、白球放在该区域是否能保证经BA反弹后能击在BC上？,4、白球是否击在BC上任何地方都能反弹后又击在CO上？比如放在图中所示的点处？,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),（25,12),(25,0),(10,8),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),E,5、白球应该对着P3击在BC上的什么地方才能保证经BC反弹后能击在CO上？,E点坐标为(15,12).,(15,12),A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),（25,12),(25,0),(10,8),(0,0),P1
16、(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),E (15,12),D,(25,4),6、白球应该对着P4击在BA上的什么地方才能保证经BA反弹后能击在EC上？,D点坐标为(25,4).,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),（25,12),(25,0),(10,8),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),E(15,12),Q,D,(25,4),(20,0),7、白球应该放在什么区域才能保证对着P4击在DA上？,H点的坐标(20,0).,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),（25,12)
17、,(25,0),(10,8),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),E(15,12),D,H,(25,4),(20,0),最终结论：,白球应放在三角形DAH以内的区域.,（但不能放在HD、DA边上）,（2）P球有没有一些位置是Q球无论在什么位置出发，按上述次序从四壁反弹后都 无法击中的？如没有，加以证明；如有，找出这些位置的范围.,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),(25,12),(25,0),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),E,D,H,(12.5,12),连接
18、P3、A点，交BC于E点，,当红球P放在三角形CEO以内的区域以及其边上时，无论白球从何处开始击出，不可 能击中红球.,E,若P点左移，,D点下移，,三角形DAH的面积就会缩小,则E点左移，,E点的坐标为(12.5,12).,最终结论：,连接E、O.,A,B,C,O,P,x,y,(0,12),（25,12),(25,0),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),E,D,H,(12.5,12),x,y,O,v0,P,P1,P2,P0,P3,如图，,在PP1P2中，,有,于是有,镜面反射后的光线的行进可等效处理为在 虚像空间中光线沿原入射方向
19、的直线行进,P1,M,N,P2,P3,P4,M ,N,M ,P2,P3,P4,P3,P4,P4,（1）光线1在镜面N的P1点发生反射,其 反射光线2的行进等效于在虚像空间中光 线2的行进.,1,2,3,4,2,3,3,4,4,4,（2）光线2在镜面M的P2点发生反射后 得到反射光线3，相应地光线2在虚镜面 M 上的P2点发生反射后得到反射光线3， 反射光线3的行进等效于在虚像空间中 光线3的行进.,N ,（3）光线3在镜面N的P3点反射后得到光 线4，相应地光线3在虚镜面N的P3点发 生反射得到光线4，相应地光线3在虚镜 面N的P3点发生反射得到光线4，反射 光线4的行进等效于在虚像空间中光线 4的行进.,
