1、第二节,自然坐标系切向加速度,法向加速度,问题的提出：,在直角坐标系中，加速度公式无法看出哪一部分是由速度大小变化产生的加速度，哪一部分是由速度方向变化产生的加速度，所以引入自然坐标系来描写。,1.自然坐标系,自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的，有两个坐标轴，切向坐标和法向坐标。,2切向加速度、法向加速度/一、自然坐标系,切向坐标 沿运动轨迹的切线方向；,法向坐标 n 沿运动轨迹的法线方向。,物体沿平面作曲线运动，速度变化为 建立自然坐标系。,2切向加速度、法向加速度/二、a、an,其中,切线方向的单位矢量；,法线方向的单位矢量。,（1）,为速度增量在切线方向的分量；,为速度增量在法线方向的
2、分量；,A,B,vA,vB,vA,2切向加速度、法向加速度/二、a、an,有,即,其中：,由于速度大小变化产生的加速度；,由于速度方向变化产生的加速度。,2切向加速度、法向加速度/二、a、an,由加速度的定义有,对任意曲线，有：,对于平面曲线运动,大小,2切向加速度、法向加速度/二、a、an,为运动轨迹的曲率半径。,挑战：证明以上两式,例：一质点作半径为R的圆周运动，其速率满足 ， k为常数，求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。,解：,切向加速度,法向加速度,加速度,2切向加速度、法向加速度/二、a、an,讨论下列几种运动情况：,1.,匀速直线运动；,2.,匀变速直线运动；,3.,匀速率
3、圆周运动；,4.,变速曲线运动；,2切向加速度、法向加速度/二、a、an,解：,例：手球运动员以初速度v0与水平方向成0 角抛出一球，如图所示。当球到达M点处，与水平线夹角为，求(1)球在M点速度的大小；(2)球在M点处的切向加速度和法向加速度大小；(3)M点处的曲率半径。,想一想：何处曲率半径最大？何处最小？,二. 圆周运动的角量描述,设质点在oxy平面内绕o点、沿半径为R的轨道作圆周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的,角位置为 ,角位移为 规定反时针为正,平均角速度为,角速度为,角加速度为,为何不用矢量？,角 速 度 的 单位： 弧度/秒(rads-1) ； 角加速度的单位： 弧度/
4、平方秒(rad s-2) 。,讨论：(1) 角加速度对运动的影响：等于零，质点作匀速圆周运动；不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动；随时间变化，质点作一般的圆周运动。,(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加速度的关系式为,与匀变速直线运动的几个关系式,比较知：两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。,三、 线量与角量之间的关系,圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。,0,0+,图示 一质点作圆周运动：,在t 时间内，质点的角位移为，则A、B间的有向线段与弧将满足下面的关系,两
5、边同除以t，得到速度与角速度之间的关系：,将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：,将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：,法向加速度也叫向心加速度。,例题 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。,解：地球自转周期T=246060 s，角速度大小为：,如图，地面上纬度为的P点，在与赤道平行的平面内作圆周运动,其轨道的半径为,P点速度的大小为,P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为,方向：与过P点运动平面上半径为R的圆相切。,P点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。,例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬3957、3112和 2300，则三地的v 和 an分别为：,北京：,上海：,广州：,在t 时刻，质点运动到位置 s 处。,s,s,解：先作图如右，t = 0 时，质点位于s = 0 的p点处。,P,（1） t 时刻质点的总加速度的大小；（2） t 为何值时，总加速度的大小为b ；（3）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行了多少圈。,例题 一质点沿半径为R的圆周按规律 运动，v0、b都是正的常量。求：,（2）令a = b ，即,R,o,s,（1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:,（3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经的弧长为,它与圆周长之比即为圈数：,R,o,s,得,
