1、第 2章 2.4.2 第 2课时一、选择题(每小题 5分，共 20分)1过抛物线 y24 x的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、 B两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线( )A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在 解析： 由定义| AB|527，| AB|min4，这样的直线有且仅有两条答案： B2在同一坐标系中，方程 a2x2 b2y21 与 ax by20( ab0)的曲线大致为( )解析： 方法一：将方程 a2x2 b2y21 与 ax by20 转化为 1， y2 x.因为 ab0，所以 0.x21a2y21b2 ab 1b1a所以椭圆的焦点在 y轴上；抛物线的焦
2、点在 x轴上，且开口向左故选 D.方法二：方程 ax by20 中，将 y换成 y，其结果不变，即 ax by20 的图形关于 x轴对称，排除 B、C，又椭圆的焦点在 y轴上，排除 A.故选 D.答案： D3已知直线 y k(x2)( k0)与抛物线 C： y28 x相交于 A、 B两点， F为 C的焦点，若|FA|2| FB|，则 k( )A. B.13 223C. D.23 23解析： 过 A、 B作抛物线准线 l的垂线，垂足分别为 A1、 B1，由抛物线定义可知， AA1 AF， BB1 BF，又2| BF| AF|，| AA1|2| BB1|，即 B为 AC的中点从而 yA2 yB，联
3、立方程组Error!消去 x得 y2 y160，8kError!Error! ，消去 yB得 k .故选 B.223答案： B4已知直线 l1：4 x3 y60 和直线 l2： x1，抛物线 y24 x上一动点 P到直线l1和直线 l2的距离之和的最小值是( )A2 B3C. D.115 3716解析： 直线 l2： x1 恰为抛物线 y24 x准线， P到 l2的距离 d2| PF|(F(1,0)为抛物线焦点)，所以 P到 l1、 l2距离之和最小值为 F到 l1距离2，故选 A.|41 30 6|32 42答案： A二、填空题(每小题 5分，共 10分)5已知直线 x y10 与抛物线 y
4、 ax2相切，则 a_.解析： 由Error! ，得 ax2 x10， 14 a0，得 a .14答案： 146直线 y x b交抛物线 y x2于 A、 B两点， O为抛物线的顶点，且 OA OB，则 b的12值为_解析： 由Error! ，得 x22 x2 b0， (2) 28 b0，设直线与抛物线的两交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)由根与系数的关系，得 x1 x22， x1x22 b，于是 y1y2 (x1x2)2 b2，14由 OA OB知 x1x2 y1y20，故 b22 b0，解得 b2 或 b0(不合题意，舍去)b2 适合 0.答案： 2三、解答题(每小题 10分
5、，共 20分)7设过抛物线 y22 px的焦点且倾斜角为 的直线交抛物线于 A、 B两点，若弦 AB的中4垂线恰好过点 Q(5,0)，求抛物线的方程解析： 弦 AB中点为 M， MQ为 AB的中垂线，AB的斜率为 1，则 lMQ： y x5.设 lAB： y x .p2联立方程组Error!得 x23 px 0，p24 x1 x23 p.联立方程组Error! ，得 2x5 ，则 x1 x25 p2 p2联立，解得 p2，抛物线方程为 y24 x.8已知抛物线 C： y22 px(p0)过点 A(1，2)(1)求抛物线 C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于 OA(O为坐标原点)的直线
6、 l，使得直线 l与抛物线 C有公共点，且直线 OA与 l的距离等于 ？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由55解析： (1)将(1，2)代入 y22 px，得(2) 22 p1， p2，故所求的抛物线方程为 y24 x，其准线方程为 x1；(2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y2 x t，由Error!得 y2 2y2 t0，因为直线 l与抛物线 C有公共点，所以 48 t0，解得 t .12另一方面，由直线 OA与直线 l的距离等于 可得 ，55 |t|5 55 t1，由于1 ，1 ，12， ) 12， )所以符合题意的直线 l存在，其方程为 y2 x1. 尖子生题库9(
7、10 分)已知抛物线 C1： y24 px(p0)，焦点为 F2，其准线与 x轴交于点 F1；椭圆C2：分别以 F1、 F2为左、右焦点，其离心率 e ；且抛物线 C1和椭圆 C2的一个交点记为 M.12(1)当 p1 时，求椭圆 C2的标准方程；(2)在(1)的条件下，若直线 l经过椭圆 C2的右焦点 F2，且与抛物线 C1相交于 A， B两点，若弦长| AB|等于 MF1F2的周长，求直线 l的方程解析： (1) 1；x24 y23(2)若直线 l的斜率不存在，则 l： x1，且 A(1,2)， B(1，2)，| AB|4又 MF1F2的周长等于| MF1| MF2| F1F2|2 a2
8、c6| AB|.直线 l的斜率必存在设直线 l的斜率为 k，则 l： y k(x1)，由Error!，得 k2x2(2 k24) x k20，直线 l与抛物线 C1有两个交点 A， B， (2 k24) 24 k416 k2160，且 k0设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则可得 x1 x2 ， x1x212k2 4k2于是| AB| |x1 x2|1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 (2 4k2)2 4 ， 1 k2 (16k2 16k4) 4 1 k2k2 MF1F2的周长等于| MF1| MF2| F1F2|2 a2 c6，由 6，解得 k .4 1 k2k2 2故所求直线 l的方程 y (x1)2
