1、,3.3 平衡原理与机理模型,3.3 平衡原理与机理模型,一. 平衡原理 自然界任何物质在其运动变化过程中一定受到某种平衡关系的支配。 二. 机理模型 在一定的假设下，根据主要因素相互作用的机理，对它们之间的平衡关系的数学描述,关于假设是对实际问题的抽象、化简和规范是组建数学模型的基础和前提。假设较强，模型简单易分析和操作但与实际差距大。假设较弱，模型比较接近实际。但模型复杂不易操作。,关于平衡关系 1.平衡关系是数学模型的核心，建模的关键。 2.有些平衡关系是明显的。有些平衡关系隐藏在问题的背后 需要在化简之后逐渐明确出来。 3.有些平衡关系本身就直接构成了模型。有些平衡关系还需要经过数学上
2、的加工整理才能得到理想的模型。,三.简单的机理模型 例1 买房贷款：银行可以向购房人提供个人住房贷款的业务。 偿还贷款时要求借款人在借款期间内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。 试组建计算月均还款额的数学模型。假设: 1. 每月月底还款；2. 每月还款金额相等；3. 按月计算利息；4. 到期欠款全部还清。,参量、变量 贷款额：A(万元)，贷款期限：N年(n=12N月) ,月利率：r，月均还款额：x。,模型 平衡关系：相邻两月欠款余额之的关系 本月月底还款后的欠款余额等于上月欠款余额的本利和扣除月还款后的金额。令Ck表示第k月月底还款后的欠款余额，则有Ck= (1+r)Ck-1-x,
3、令 C*= (1+r)C* - x, 则有 C*= x/r.可得 Ck-C* = (1+r) (Ck-1-C*) = (1+r)k(C0-C*) 利用 C0=A, Cn=0 和 C*=x/r 可得(1+r)n(A-x/r)-x/r=0(1+r)nA-(1+r)n-1/rx = 0,例 : 一位教师筹措月利息为0.3675%的15年公积金贷款20万元买房。 1. 每月等额偿还贷款。计算它的月均还款额。 2. 他已经还款20个月，想知道他还欠多少贷款？,月均还款额,k月后的欠款余额,练习：一项买房贷款期限15年，每月支付0.51%利息的20万元商品房贷款，每月应还款额是多少？ 1 试组建计算等额本
4、息（等额月均）还款的数学模型。 2 如果每月偿还当月利息后，再以每月相等的额度偿还本金（等额本金还款）。试组建等额本金还款的数学模型。 比较 2种还款方式的优劣。,例2. 录音机的运行建模分析磁带录音机的运行规律(计数器的读数与运行时间的关系)。数据：I. 读数与时间 t 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 31 - n 9 18 28 37 47 97 151 211 280 362 382 385 数据：II. 读数与转数k 2 4 10 14 18 22 26 31 35 41 60 1 2 5 7 9 11 13 15 17 20 29,背景1. 磁带盒内有二个磁带轮：送
5、带轮和收带轮 放音时送带轮上的磁带减少，缠于收带轮上2. 计数器只记录某个磁带轮转动的情况。 计数器的读数不刚好是磁带轮的转数。3. 磁带轮在放音时转动不是匀速的，送带轮加速，收带轮减速。,假设1. 计数器记录了送带轮的转数。2. 计数器的读数与送带轮的转数成正比。3. 磁带运行的线速度定常。4. 磁带厚度均匀，缠绕松紧一致，无空隙5. 磁带缠绕一圈的周长等于缠绕的圆周长 参量、变量读数：n，带轮转数：k, 运行时间：t(k)磁带厚度：d，带芯轮半径：r，磁带速度：v, 磁带最多圈数：N第 k 圈磁带的半径：Rk，第k圈磁带长度：Lk,平衡关系运行k圈磁带的时间等于磁带的长度与运行速度之商。
6、模型：t=0 时 n=0，送带轮缠满磁带并开始转动由假设1，送带轮计数从外圈数起。由假设5，Lk=2Rk由假设4，Rk=r+(N-k+1)d,由假设2, k = c n则有得模型 t(n) = a n + b n2, 其中,参数 a, b, c 的估计1. 最小二乘法估计 a, b正规方程组,方程290942 a + 83322472 b=2582783322472 a + 2.591711010 b=7237447 有解 a = 0.11095，b = -7.744510-5 模型 t(n) = 0.11095 n 7.4475 10-5 n2 检验n 9 18 28 37 47 97 15
7、1 211 280 t 1 2 3 4 5 10 15 20 25 t .99 1.97 3.05 4.00 5.04 10.03 14.99 19.96 24.99,分析根据假设2：k = c n, 利用数据II可以给出参数 c 的最小二乘估计。可得 c = 2.04。又可测得 r = 1.1 cm，N=3852.04 由可以求出d = 0.001628cm，v =2.75m/min，L=85.25m。,直接根据数据的散点图的几何特征也可以得到上面的模型。 但是不可能对录音机进行深入的分析。 模型所反映的录音机的运行规律也是肤浅的。 另外由于缺乏录音机运行的更多的信息， 我们也可能会选择指数
8、函数或幂函数来拟合这组数据。 这时，虽然也可能得到较好的拟合效果， 但它并没有真实地反映出录音机运行的机制。 这就是直接利用数据建模的不足之处。,这是一个非常成功的模型。 它不仅有好的拟合效果，而且能够给人们以更深入的认识。 原因主要在于建模所做的几条假设对于录音机实际的运行规律是十分接近的，没有多少过分牵强之处。 因此如果问题的模型不需要附加过强的假设， 那么机理模型将是十分理想的数学模型。,四 动态系统模型描述状态变量随时间变化的模型 离散动态系统的模型在离散的时间点上状态变量的动态行为 例3. 兔子的繁殖 I 由一对兔子开始，一年可以繁殖成多少对兔子？ 假设兔子的生殖力是这样的： 一对兔
9、子每一个月可以生一对兔子， 兔子在出生两个月以后就具有繁殖后代的能力。,假设：1. 每对兔子每一个月定生一对兔子。2. 兔子出生两个月后都具有繁殖能力。3. 兔子每经过一个月底就增加一个月令。4. 兔子不离开群体（不考虑死亡）。 变量、参量月份：n，幼兔：a0(n)，成兔: a1(n) 平衡关系：本月初(一月龄)的幼兔是上月成兔繁殖的后代本月的成兔是上月的成兔和上个月(一月龄)的 幼兔发育结果的总和。,相邻两月兔群数量的变化,模型 Ia0(n) = a1(n-1)a1(n) = a0(n-1) + a1(n-1)a0(1)=1 a1(n) = 0 1. 模拟. a0(1)=1, a1(1)=0
10、n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12a0(n) 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55a1(n) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89a (n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144斐波那契数列(黄金数)a(n+1) = a(n) + a(n-1),2. 证明斐波那契数列(黄金数) 的性质a(n+1) = a(n) + a(n-1)因为 a0(n+1)=a1(n) a1(n+1)=a0 (n)+a1 (n)=a(n) 所以 a (n+1) = a (n)+a1 (n) = a(n) +a(n-1)于是 a(n) /
11、a(n+1)= 1/a(n-1)/a(n)+1记 xn= a(n) /a(n+1), 则 xn=1/1+xn-1可以证明xn 收敛，记其极限为x0，则由 x0=1/1+x0 得到 x0=0.618,3. 模型的作用机理令 a(n) = (a0(n), a1(n), 则模型为a(n) = A a(n-1)a11幼兔的繁殖能力，a12成兔的繁殖能力，a21幼兔的发育为成兔的比例，a22成兔存活的比例。,4. 群体的渐近性质A 有主特征值 1=1.618 , 2=-0.618 相应的特征向量 记U=(u1，u2), 有A=UUT, =diag(1 ,2)群体的渐进增长速率为1.618 幼兔将占群体总
12、数的 0.382 成兔将占群体总数的 0.618 称向量 u1为亚种群的稳定分布。,兔子的繁殖II 一对兔子每月可生一对幼兔， 幼兔出生二个月后就具有繁殖能力， 三个月后就离开群体。 问一对幼兔一年后繁殖的群体多大？ 求这个种群的稳定分布。,假设 1. 2. 3 同上 假设4. 兔子在三个月 后生完一对幼兔就离开群体。 参量、变量月份: n, 幼兔: a0(n), 成兔: a1(n), 老兔: a2(n) 平衡关系本月初的幼兔是上月成兔老兔繁殖的后代。本月初的成兔是上月幼兔发育的结果。本月初的老兔是上月成兔发育的结果。,模型a0(n+1)=a1(n)+a2(n)a1(n+1)=a0(n)a2(
13、n+1)=a1(n) 令 a(n) = (a0(n), a1(n), a2(n), 则a(n) = A a(n-1) 其中,分析1. 模拟. a0(1)=1, a1(1)=0, a2(1)=0n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a0(n) 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 a1(n) 0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 a2(n) 0 0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 a(n) 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 212. 证明 a(n+1) = a(n-1) + a(n-2)a(n+1) = a(n) + a(n-4)Pa
14、dovan 数列(塑料数),矩阵A的特征方程为31=0 有特征值（渐进增长率）=1.3247 特征向量（稳定的年龄结构）（0.4302，0.3247，0.2451）,离散模型（差分方程）的组建 利用平衡原理， 找出每一步对前一步或前几步的依赖关系， 得到以差分方程的形式描述的数学模型。,问题 P131 10，11，12,2. 连续系统的动态模型 例5. 人口的自然增长. 建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。 即只考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。假设1. 时间连续变化令N(t)表示t时刻的人口数。假设2. 人群个体同质。N(t) 连续可微.假设3. 群体规模大。,平衡关系
15、：人口数在区间t，t+t内的改变量等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。 假设4. 群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。 令B(t, t, N), D(t, t, N) 分别表示生育数和死亡数, 则有,假设5. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响（生育率和死亡率）生育率 b(t,t, N)= B(t,t, N)/ N死亡率 d(t,t, N)= D(t,t, N)/N 则有,由于R(t, t,N)|t=0=0， 将R(t,t,N) 关于t展开,令 t0 取极限可得,假设6. 群体增长恒定. 则 r(t, N) = r( N),假设7. 个体增长独立. 则 r(N)=r.,
16、在离散时间点k=0, 1, 2, , 上有N(k+1) = er N(k) = N(k) Marthus 模型 “若我的两个假设是成立的,那么,我认为人口繁殖的能量是无限地大于自然界为人类提供资料的能量的。 人口如果不受控制，它会以几何比率增长。而生活资料只能以算术比率增长。” Marthus:论人口原理(1798年),给定初值 N(0)=N0，可得,假设1. 时间连续变化 假设2. 人群个体同质。 假设3. 群体规模大。 假设4. 群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。 假设5. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率） 假设6. 群体增长恒定。 假设7. 个体增长
17、独立。,模型的讨论 1.作为人口自然增长，模型与实际经常是不一致的。许多地区人口增长不符合这个模型。 2.只考虑物质的百分增长或衰减时，模型是正确的。作为基础模型，它表明的规律是不容忽视的 3.模型是可以改进的。,草履虫实验室种群的动态(Gause, 1934),酵母细胞20小时内的动态(Pearl),例6. Logistic 模型模型: 在有限的资源内生物种群不可能无限增长. 存在有饱和水平, 种群增加接近饱和时增长速度减慢而趋于零.假设 7 需要修改: r = r(N), r(N)0 且存在K, r(K) = 0 .假设7: r为 N的线性减函数, 有零点 K .则有r(N) = r (1
18、 N / K)模型: N = r (1 N / K) N logistic 模型,分析 N = r ( 1 N / K ) N10. 模型的参数: N K, N0K : 环境承载力或饱和水平.K 时，模型退化为 Malthus 模型，r ：内禀增长率20. 模型的解：分离变量法,递增，有极限 K，依赖于三个参数。,30. 模型的动态特征平衡解：模型不依赖于时间的解N0*=0，N1*=K。平衡解的稳定性：N*是模型的平衡态(equilibrium, steady state)当N0, NN*时NN*时N0，称N*是不稳定的当N0, NN*时N0，或NN*时N0，称N*是半稳定的,N0* 不稳定，
19、N1* 稳定,例3.3.5 具有年龄结构的人口增长连续模型 研究人口增长时随着年龄的不同， 不同年龄的个体将具有明显不同的生育能力和存活率。 引进一个变量 a 来刻画个体的年龄，称为年龄结构变量 假设1. 年龄 a 与时间 t 都是连续的变量， 假设 2 考虑具有年龄结构的女性人口群体的动态。 也就是要求生育和死亡是随年龄的不同而异的。 其他的假设将没有本质的改变。 令 u (a, t) da 表示时间 t 年龄在 (a, a + da) 之间的人口数 (a) da 表示人群中 年龄在（a, a +da）内个体的死亡率 (a) da 表示 年龄 在 (a, a+da) 内个体的生育率。,计量单
20、位相同,平衡关系存活者与新生儿数量的平衡t 时刻年龄为a 的个体到 t +h 时刻年龄也增加到 a +h 在 t 时刻年龄为 a 的个体中到 t +h 时刻除去死亡者外都将存活到年龄 a +h。有t 时刻的新生儿的数量应该是t 时刻各年龄的妇女生育的婴儿的总合。,模型：利用积分中值定理可以得到：D u(a, t) = (a) u(a, t) 一阶双曲型偏微分方程 边界条件初始条件u(a, 0) = u0 (a) 它与边界条件和初始条件一起就构成了 具年龄结构的人口群体动态的数学模型。 一般称之为 McKendric 模型。,模型的转化 从边界点M0=(a0, t0)沿直线t=a-a0 , (a
21、t), 或t=a+t0 ,(at)到点M=(a,t) 积分模型 可得记B(t)=u(0,t),带入边界条件，有令 有Lotka模型,例7 池水含盐问题池中有一定体积的盐水， 从池的上部向池中注入一定浓度的盐水 混合后的盐水将从池的下部流出。 建模描述池中盐水浓度的动态。 假设：1. 盐水注入池中后迅速混合2. 池中盐水浓度均匀。,平衡关系 在时间段t+t内, 池中盐水体积的改变量等于这段时间内流入盐水的体积与流出盐水体积之差； 在时间段t+t内, 池中(纯)盐的改变量等于 这段时间内流入的(纯)盐的量与流出的(纯)盐的量之差。 变量、参量：池中盐水体积 V(t), 池中盐水浓度 p(t);流入
22、盐水速度 rI(t), 流入盐水浓度 pI(t);流出盐水速度rO(t), 流出盐水浓度 p(t).,模型 池中盐水的改变量 V(t+t)-V(t) 流入盐水量流出盐水量池中盐的改变量 p(t +t)V(t +t) - p(t)V(t) 流入盐量流出盐量,利用积分中值定理可得,类似地有,模型,连续模型（微分方程）组建的微元法 在自变量的微小的区间内以简单的形式描述有关变量之间的平衡关系, 再利用微积分学的思想进一步处理它,得到以微分方程的形式描述的数学模型。,问题：大江截流1997年11月8日电视正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况。 截流8：55开始，水面宽40 m，水深60m。到1
23、1：50时， 水面宽34.4m到13：00时， 水面宽31 m。 这时电视机旁的小明说， 现在可以估算下午几点合龙。 8：55到11：50，进展的速度为40-34.4=5.6m， 平均每小时宽度减少1.9m。 从11：50到13：00，宽度减少34.4-31=3.4m， 平均每小时减少2.9m,小明认为回填速度是越来越快的，近似地每小时速度加快1m。从下午1：00起，大约要5个多小时，即到下午6点多才能合龙。 但到了下午3点28分，电视里传来了振奋人心的消息：大江截流成功！ 小明后来想明白了，他估算的方法不好 现在请你根据上面的数据设计一种合理的估算方法（建立一种合理的数学模型）进行估算，使你
24、的计算结果更切合实际。,3. 连续模型的离散化 (1) 离散模型与连续模型 离散模型在便于理解和易于计算等方面有优势 如果动态过程的时间变量通常是连续变化的。 组建连续的动态模型更加接近实际的情况。 当模型比较复杂时，特别是对于非线性的情况， 使得模型的处理增加了很大的困难。 将连续模型转化为离散模型不失为研究和分析模型的一个重要的手段。,(2) 连续模型的离散化 离散模型连续化 在时间段t, t+t 上组建了一个离散模型， 在t 充分小的前提下 使用微分学的思想形成了连续时间模型（微分方程） 这表明连续模型与离散模型存在着密切的联系。 这个过程的逆过程一般是不成立的， 因为离散模型中的t 可
25、能不是充分地小。 许多离散模型的动态行为与连续模型并不完全相同。 这表明两类模型建模的基础是不完全相同的。 为深入了解它们之间的区别， 进一步讨论连续模型离散化的问题是必要的。,(3) Marthus 模型的离散化 考虑Malthus 模型 在离散时间点 k = 0, 1, 2, 上的变化 分离变量将模型 变为N-1dN = r dt, 将等式两端在时间区间 k, k+1上分别对 t 和 N(t) 积分可得N(k+1)=er N(k)=N(k), = er 是种群在时间区间 k,k+1 内变化的比率(百分率) 它描述了指数增长种群在离散时间点 t=k 上的离散动态 它是以几何的比率增长的。,由
26、于这个离散模型在从连续模型转化的过程中没有附加任何新的限制， 因此它完全描述了连续模型在给定的离散时间点上的动态， 没有新的变化。 （2）连续模型的离散化 例7 logistic 模型的离散化 考虑种群增长的 logistic 模型N = r (1 N / K) N 由于模型的非线性的特征 在不同的假设下就可以离散化为不同形式的模型。,10. 类似于前面Malthus模型离散化的方法 将模型作分离变量的处理，得到将等式两端在时间区间 k, k+1上分别对 t 和 N(t) 积分 可得可得在离散时间点 t =k ,(k = 1,2,)上的模型值,若设 ，由于这个模型在转化的过程中也没有附加任何新
27、的限制 因此它仅仅描述了连续的logistic模型 在给定的离散时间点上的动态， 它具有与连续模型同样的动态特征 称之为离散的logistic模型。,则模型可以简化为,20. 一般的非线性动态模型 直接使用上面的求积分的方法将模型离散化是困难的 对于一般的时间连续的动态模型dN/dt = F(N)N 在时间点 t = k，(k=1,2,)上进行离散化， 可以假设在每个时间区间 k, k+1) 上状态变量的变化率dN/dt是保持定常不变的，即 F(N(t) = F(N(k)N(k), tk, k+1) 这时，时间区间 k, k+1）上分别对 t 和 N(t) 积分（3.3.17）的两端，就得到N
28、(k+1) = N(k) + F(N(k)N(k) 由此，对于logistic模型（3.3.9）就可以得到,如果令 ，其中= r + 1。 这个模型的右端是X(t)的二次函数， 因此它实现了X(t)到X(t+1)的一个二次映射。 我们不妨称这个模型为二次映射模型。 它仅仅依赖于一个参数。 将在一定的条件下呈现类似于logistic型饱和增长的动态特征。 但后面我们将会看到有时也会呈现出更复杂的动态特。,模型可以简化为,30. 如果我们假设在每个时间区间 k, k+1) 上状态变量的百分变化率 是保持定常不变的F(N(t) = F(N(k), tk, k+1) 在时间区间 k, k+1）上分别对 t 和 N(t) 积分 得到N(k+1) = eF(N(k) N(k) 由此，就可以得到N(k+1) = e r(1-N(k)/K)N(k) = eN(k)N(k) 其中= er，= r / K。 许多鱼类种群的增殖行为基本上符合这个假设。 因此渔业中经常使用这个模型描述鱼群的动态变化，并称之为Ricker模型。,如果令X(k)=N(k), 模型可化简为X(k+1) = eX(k)X(k) 模型也仅依赖于一个参数 。 它将在一定的条件下呈现类似于logistic 型饱和增长的动态特征。 后面我们将会看到有时也同样会呈现出更复杂的动态行为。,
