1、3.2.4 坐标法中解方程组求向量的有关问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，并且对坐标法也有一定的认识，本节课是进一步通过坐标法来解决立体几何的一些问题。我们可以将这些问题，转化为空间向量的代数运算和方程组来解决。【教学目标】：（1）知识与技能：能根据图形的特点建立合适的空间坐标系并用坐标表示点和向量；对某个向量能用解方程组的方法求其坐标.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
2、【教学重点】：解方程组求向量的的坐标.【教学难点】：解方程组求向量的的坐标.【课前准备】：Powerpoint 课件【教学过程设计】：教学环节 教学活动 设计意图一、复习引入1 单位向量，平面的法向量（1）单位向量模为 1 的向量。（2）平面的法向量垂直于平面的向量。2 坐标法。为探索新知识做准备.二、探究与练习一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲” ，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运
3、算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形问题）二、例题例 1：如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，棱长为 1，求证：平面A1BC1 的法向量为直线 DB1 的方向向量.D1 C1DB1A1CDA B分析：（1）建立空间坐标系； （2）用坐标表示向量（3）设平面 A1BC1 的方向向量为 n=(x,y,z)，由下列关系列方程组求 x,y,z.让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。例 1 在建立坐标系后，比较简单，容易把握。分析中的方法是为配合本次课的课题而设计的。1,
4、0,11BCnA（4）证明向量 n/（解略）思考：有更简单的方法吗？向量 与 、 的数量积为零即可。BA11C例 2，ABCD 是一个直角梯形，角 ABC 是直角，SA 垂直于平面ABCD，SA=AB=BC=1,AD=0.5,求平面 SCD 与平面 SBA 所成二面角的余弦。DB CSA分析：求二面角的余弦，可以转换为求它们的方向向量夹角的余弦。所以本题关键是求平面的法向量。解：以 A 为原点建立空间直角坐标系，使点 A、C、D、S 的坐标分别为 A（0，0，0） 、C（1，1，0） 、D（0，0.5、0） 、S（0， 0，1） 。设平面由学生回答本例的简便解法。例 2 是一个典型的通过解方程
5、组求法向量的问题，这类问题可以不用作出二面角的平面角就求出结果。取 y2，因为只要向量的方向。例 3 是数学与物理的综合应用问题，求合力转化为向量的加法。1DD1(,)2SBnA二2,Dxyz二2,S02yxz2y(1,)n二1226cos3|nA二？时 ， 才 能 提 起 这 块 钢 板 少动 ？ 这 三 个 力 最 小 为 多力 的 作 用 下 将 会 怎 样 运 这 块 钢 板 在 这 些， 且是 角 形 的 两 边 之 间 的 角 都每 个 力 与 同 它 相 邻 的 三 力， 在 它 的 顶 点 处 分 别 受质 量 为 角 形 面 的 钢 板 的如 图 ， 一 块 均 匀 的 正
6、三例 .2060 ,53321 321kgFFkgF1 F2F3ACO500kgB分析：建立坐标系，将向量坐标化，然后进行坐标形式下的向量运算。为简化运算，可以选择以三角形的一个顶点为原点、一条边所在直线为一条轴、三角形所在平面为坐标平面的坐标系。 ),01(,2160cos, ,1 zyxACBF的 数 量 积 运 算 ， 得 ， 利 用 向 量的 夹 角 均 为与由 于 为方 向 上 的 单 位 向 量 坐 标设 力 23(.,1yx解 得 3,22zz因 此又 因 为 )1(01F所 以 )32,0(32类 似 地帮助学生理解如何建立坐标系。单位向量的模为1。).0213(),0,(xy
7、zABABxyC坐 标 分 别 为 则 正 三 角 形 的 顶 点建 立 空 间 直 角 坐 标 系 轴 的 单 位 长 度为轴 正 方 向 ，方 向 为平 面 ， 坐 标为为 原 点 ， 平 面解 ： 如 图 ， 以 点)6,0(2 )32,01()32,1(12F它 们 的 合 力探究：不建立坐标系，如何解决这个问题？求每个力向上的分力。开拓学生思维。三、拓展与提高1，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P 在 A1B1上，Q 在 BC 上，且A1P=QB，M、N 分别为 AB1、PQ 的中点。求证：MN/平面 ABCD。 证明：建立如图所示的空间直角坐标系 o-xyz设正方形边长为
8、2，又设 A1P=BQ=2x则 P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)，故 N(2-x, 1+x, 1),而 M(2, 1, 1)所以向量 =(-x, x, 0)，又平面 AC 的法向量为 =(0, 0, 1)，MNn=0 nnN又 M 不在平面 AC 内，所以 MN平面 AC。 M NCD BACDA ByxzPQ2，课本 P122 第 11 题。答案：3/8.学生进行提高训练应用.四、小结 1 根据图形特点建立合适的空间直角坐标系，用坐标表示点和向量，通过向量解决问题。2 个别点和向量的坐标先假设，再列方程组来求出。反思归纳五、作业 课本 P121 ，第 6 题 和 P122 第 10
9、 题。练习与测试：（基础题）所 以 钢 板 仍 静 止 不 动 。由 于 作 用 点 为大 小 为的 合 力 方 向 向 上 ，这 说 明 ， 作 用 在 钢 板 上,5062.Okg1，已知 S 是ABC 所在平面外一点，D 是 SC 的中点，若 ，则 xyz 答：02，把边长为 的正三角形 沿高线 折成 的二面角，点 到 的距离是（ ）aABCD60ABCAB CD62a3a154a答：D3，若 a=(2x,1,3),b=(1,2 y,9),如果 a 与 b 为共线向量，则A.x=1,y=1 B. x= ,y= C.x= ,y= D. x= ,y=解析：因为 a=(2x,1,3)与 b=(
10、1,2 y,9)共线，故有 = = , x= ,y= ,应选 C.答案：C4，若空间三点 A(1，5，2)、 B(2，4，1)、 C(p,3,q+2)共线，则 p=_,q=_.解析： A、 B、 C 三点共线，则 = ,即(1，1，3)= (p1,2, q+4)， = ，代入得 p=3,q=2.答案：3 2（中等题）5，棱长为 a 的正方体 OABCO1A1B1C1 中，E、F 分别为棱 AB、BC 上的动点，且AE=BF=x（0xa）. 如图，以 O 为原点，直线 OA、 OC、OO 1 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系， 求证：A 1FC 1E； 当BEF 的面积取得最大值时，求二
11、面角 B1EFB 的正切值.证明：（1）A 1（a，0a） ，F（a-x，a，0） ，C 1（0，a， a） ，E（a，x，0）所以 ，由此得 =0，),(),(1xx CFA1A1FC 1E（2）当BEF 的面积取得最大值时，E、F 应分别为相应边的中点，可求得二面角 B1EFB 的正切CBAOC1B1O1A1E Fyxz值 .26，如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点.试确定点 F 的位置，使得 D1E平面 AB1F；解：以 A 为坐标原点，建立下图所示的空间直角坐标系.设 DF=x，则 A(0，0，0)， B(1，0，0)， D(0，1，0), A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1), E(1, ,0),F(x,1,0). =(1， ，1)， =(1，0，1)， =(x,1,0). =11=0，即 D1E AB1. 于是 D1E平面 AB1F D1E AF =0 x =0，即 x= .故当点 F 是 CD 的中点时， D1E平面 AB1F.
