1、数学物理方程,第一章方程的一般概念,第一节方程的基本概念,定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为偏微分方程。一般形式：其中u 为多元未知函数，F是 以及u的有限个偏导数的已知函数。 注意：在偏微分方程中可以不含未知函数u，但必须含有未知函数u的偏导数。,定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶。 定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是一次的，及其系数仅依赖于自变量，就称为线性偏微分方程。 二阶线性偏微分方程的一般形式：,波动方程 热传导方程位势方程,第二节二阶线性偏微分方程的分类,一、方程的分类一般形式其中u(x,y)是未知函数， 都是x,y的
2、已知函数，且 不同时为零。称 为方程的判别式。,定义:(1)若在 处 称方程（1）在点处为双曲型方程；(2)若在 处 称方程（1）在点处为抛物型方程；(3)若在 处 称方程（1）在点处为椭圆型方程。,例：波动方程 双曲型热传导方程 抛物型位势方程 椭圆型,二、方程的标准形式,定义：方程 分别称为双曲型方程的第一标准形和第二标准形。方程 称为抛物型方程的标准形。方程 称为椭圆型方程的标准形。,三、方程的化简,步骤：第一步：写出判别式 ，根据判别式判断方程的类型； 第二步：根据方程（1）写如下方程称为方程（1）的特征方程。方程（2）可分解为两个一次方程称为特征方程，其解为特征线。 设这两个特征线方
3、程的特征线为 令,第三步(1)当 时，令 以 为新变量方程（1）化为标准形其中A,B,C,D都是 的已知函数。(2)当 时，特征线 令其中 是与 线性无关的任意函数，这样以 为新变量方程(1)化为标准形其中A,B,C,D都是 的已知函数。 (3)当 时，令 以 为新变量方程（1）化为标准形 其中A,B,C,D都是 的已知函数。,例1.化标准形式并求通解 例2.化标准形式 例3.化标准形式 注意：二阶偏微分方程含有两个任意函数，二阶常微分方程含有两个任意常数。,第二章 行波法,第一节 定解问题,一、定义1.我们把描述一个物理过程的偏微分方程称为泛定方程。2.一个过程中发生的具体条件称为定解条件。
4、3.泛定方程带上适当的定解条件，就构成一个定解问题。4.用来表示初始状态的条件称为初始条件；用来描述边界上的约束情况的条件称为边界条件。 注意：初始条件的个数与方程中出现的未知函数u对时间变量t的导数的阶数有关。,二、定解问题,1.初值问题（Cauchy问题）只有泛定方程和初始条件的定解问题。 2.边值问题泛定方程加上边界条件的定解问题。 注意：位势方程只有边值问题（位势方程与时间无关，所以不提初始条件）。 3.混合问题既有初始条件又有边界条件的定解问题。,三、叠加原理,原理： 线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程 如：L u1
5、= f1L u2 = f2 则：L (au1+ bu2)= af1 + bf2,四、弦的振动方程的导出,（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧）考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。 设弦在xu平面内振动，在某一时刻t，弦的瞬时状态以给出，此时x点弦的位移为u(x,t). 考察原长为dx的一小段弦（x,x+dx）.在振动时这小段弦的长度为,由于只考虑微小振动，略去 ，所以 即弦的长度变化忽略不计。而在弦上x及x+dx点弦的张力为 与x轴夹角为 用 表示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为。 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外
6、力大小为F(x,t).,则根据牛顿第二定律，有对微小振动， 都很小，故即 并且 的值不随时间变化，为常数。 同样 都很小，有 根据导数的几何意义:,这样方程变为则为一维波动方程。,第二节一维齐次波动方程的cauchy问题,一、DAlembert公式考虑无界弦的自由振动（cauchy问题即初值问题）解:(1)化标准形，然后求通解故原方程化为,则(2)由初始条件确定F,G,解得 则为DAlembert公式。,二、解的物理意义,说明 的物理意义。 设且考察 对于固定时刻 只是自变量x的函数。 考虑时刻 由于,这说明弦上点x在时刻 的振幅和弦上点x+a在时刻 的振幅相同，或者说，弦上点x在时刻 的振幅
7、在时刻传到了x+a.由于此关系对弦上的全体点x都成立。这说明在时刻 时的波形 经过单位时刻以后，向右平移了 a，即 表示以速度a向右传播的行波称之为右行波。同样， 称之为左行波。左右行波统称为行波。因此，解可以表示成左右行波的叠加。这种用左右行波叠加来构造解的方法，称为行波法。,三、其他cauchy问题,例1.解：令故有,所以定解问题的解为,例2.求解特征初值问题解：方程的通解为当 时，当 时，且故,无界弦的强迫振动问题（A） 解记为（B） 解记为由叠加原理可知,第三节一维非齐次波动方程的cauchy 问题,对于问题（B），指弦在初始时刻静止于平衡位置，受外力作用而振动。f(x,t)表示时刻t
8、在x处单位质量所受外力，是连续的力。从时刻0延续到时刻t，t时刻后的力对弦在时刻t振动没影响，不必考虑。把0，t分成若干小时间段，设 是其中一段，在时间 内把力近似地看成常力，以 表示，由Newton第二定律，常外力 使单位质量产生加速度 ，所以弦上x点在时间段 内产生的速度改变量为 把这个改变量看作是 时刻的初始速度，这种把外力化成初始速度的原理称为Duhamel原理。由初始速度 所产生的振动可由下面齐次方程的Cauchy问题描述。,（c）则（D）,显然则（E）其解为故（D）的解为,定理（齐次化定理）设 是问题（D）的 解，则 是问题（B）的解。,证明：所以又 故满足（B）的初始条件。而满足
9、 满足,第四节 三维波动方程的cauchy问题,一、三维齐次波动方程的cauchy问题对一维波动方程的cauchy问题公式,是初始位置f与初始速度g在以x为中心，以at为半径的区域x-at，x+at上的算术平均值。考虑f(x,y,z)和g(x,y,z)在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上的平均值,于是（*）问题的解为该公式称为poisson公式（球面均值法） 其中 是以M(x,y,z)为中心，以r=at为半径的球面。,将公式在球坐标下化为累次积分 球面 的方程为 则有,故,例：解：,二、三维非齐次波动方程的cauchy问题,第五节 二维波动方程的cauchy问题,一、二维齐次波动方
10、程（降维法）令,利用三维波动问题的poisson公式 1)上、下半球面在坐标平面上的投影为上、下半球面的面积元素相同,二、二维非齐次波动方程的cauchy问题,例：,第三章 固有值问题与特殊函数,第一节二阶常微分方程的级数解,求解固有值问题时，经常遇到二阶线性齐次常微分方程的求解问题。二阶齐次常微分方程的一般形式：,定义：在方程（1）中，若p(x),q(x)在 处解析，则称 点为方程（1）的正常点；若 是p(x),q(x)的孤立奇点，则称 点为方程（1）的奇点；若 是p(x)的不超过一级的极点，并且是q(x)不超过二级的极点，则 为方程（1）的正则奇点；否则称 为方程（1）的非正则奇点。,定理
11、（cauchy定理）设 是方程（1）的正常点，则 在 的某邻域内存在形如的解，且满足初始条件 的解存在、唯一。,作法（待定系数法）：先将p(x),q(x)在点 展成Taylor级数，然后将展开式和（2）代入（1）。满足等式来确定 若 是方程（1）的正则奇点，则p(x),q(x)可展开成Laurent级数此时设方程（1）有广义幂级数解,最低幂的系数，即 ，其系数为,定理：设 是方程（1）的正则奇点 （1）若判定方程的两根之差不是整数，则s取这两个根构造的形如（3）的两个广义幂级数均是（1）的解（且两个解线性无关）； （2）若判定方程的两根之差是整数，则相对于较大的根所对应的形如（3）的广义幂级数
12、仍是（1）的解，另一个解形式如其中 为较大根对应解， 是判定方程相对较小的根，且 和 线性无关。,方程的通解情况：设 为判定方程的两个根。 （1）若 则通解为 （2）若 则通解为,第二节 正交函数系及广义Fourier级数,一、正交函数系的概念 1.定义：设函数 在区间a,b上有定义，积分称为函数 的内积，记作函数 与自身的内积的开方称为该函数的范数（模），记作 ，即,2.定义：设一族定义在a,b上的函数若满足则称函数系（1）是a,b上的正交函数系，简称正 交系，记为,例： 若（1）还满足 则称函数系（1）是a,b上的标准正交系。 一切正交函数系都可标准化，即可取适当常数使 成为标准正交系，取
13、,3.定义：若函数系 在a,b上满足其中 为权函数，则称函数系 在a,b上关于权函数 正交，或称按权函数 构成正交系。,二、广义Fourier级数,设 是定义在a,b上的一个正交函数系，f(x)是a,b 上给定的函数，设f(x)可以写成的形式，其中 确定 ，将（1）式两端同乘 ，在a,b上积分且假设级数（1）可逐项积分，则由 的正交性，有,第三节 Sturm-Liouville问题,常微分方程,方程（2）称为Sturm-Liouville方程，简记S-L方程， 其中 是与x无关的参数，p(x),q(x),s(x)都是实值且假 设q(x),s(x)连续， p(x)连续可微。若函数p(x)和s(x
14、)在a,b上为正，S-L方程称为a,b 上正则，当区间是无穷或半无穷，或当p(x)或s(x)在有限 区间的一个或两个端点处为零时， S-L方程称为奇异的。,1.S-L方程（2）+端点条件 一起称为S-L问题，其中对于使S-L问题有非零解的 值称为固有值，相应的 固有值 的非零解称为固有函数，因而， S-L问题有时 也称为固有值问题。,3.定理 设S-L问题中的函数p,q,s在a,b上连续，对应于不同固有值 的固有函数 连续可微，则 在a,b上关于权函数s(x)正交。 证明：因为 是对应于 的方程的解，则,4.推论 区间a,b上的周期S-L问题，属于不同固 有值的固有函数在a,b上关于权函数s(
15、x) 正交。,例1.求解S-L问题解：p=1,q=0,s=1,例1.求解周期S-L问题,第四节 Bessel函数,二、Bessel方程和Bessel函数,Bessel方程的标准形式：,下面求判定方程：,根据定理，分两种情况讨论,三、Bessel函数的递推公式,四、Bessel函数的正交性及模,第五节 Legendre函数,二、Legendre多项式,三、连带的Legendre多项式,第四章 分离变量法,第一节 波动方程,第二节 热传导方程,第三节 非齐次问题,将(1),(2)代入泛定方程得,四、边界齐次化,第五章 积分变换法,第一节,第二节 Fourier变换,第三节 Fourier变换的应用,步骤：1.根据自变量的变化范围选取一个变量，两边关于该变量取Fourier变换，将其余变量看做参变量，得到关于像函数的常微分方程，再对定解条件取Fourier变换得到像函数满足的定解条件： 2.解常微分方程定解问题，求的解为像函数； 3.对像函数取Fourier逆变换得到原定解问题的解。,第四节 Laplace变换,第五节 Laplace变换的应用,第六章 Green函数法,第一节 Green函数,
