1、第一章 质点运动学,运动函数,质点在运动时，它的位矢是随时间改变的，这一改变可以用函数:,来表示,式中等号右侧各项分别是位矢沿各个坐标轴的分矢量，i, j, k 分别表示沿x, y, z 轴正方向的单位矢量，x(t), y(t), z(t)分别表示了各坐标值随时间t的变化情况，这样一组函数叫做质点的运动函数(运动方程)，质点运动时经过的路线叫轨道,从运动方程消去时间 t 得到 轨道方程。,.平均速度,.瞬时速度,速 度,描述质点位置变化快慢的物理量。,例：下列表达式正确与否？,错,错,对,错,对,平均加速度：,大小：,加速度,是描述质点速度变化快慢的物理量。,例：一质点运动轨迹为抛物线,=,(
2、z=0),求：x= -4时（t0) 粒子的速度、速率、 加速度。,分析：当 x= -4时，时间 t=2,轨道方程,运动方程,解：,（逐渐熟悉利用微积分的方法解决实际问题）,加速度大小和方向都不随时间改变的运动,由：,有：,又由于：,匀加速运动,写成各个分量形式：,典型的匀加速运动：,初始条件分析：,抛体运动,依照匀加速运动公式：,有：,轨道方程：,抛物线,1、角量和线量,角位移：,线位移：,角加速度：,线加速度：,，若 方向不变,角速度：,线速度：,与 成右手螺旋,称为切向加速度,称为法向加速度,例,已知收绳的速率,解：,求：船靠岸的速率,由：,得：,解：,人的位置坐标,点的位置坐标：,影子速
3、度为：,第二章 牛顿运动定律,惯性参考系（惯性系）： 在这样的参考系中观察，一个不受力作用的物体将 保持静止或匀速直线运动状态不变。,2.1 牛顿运动定律,第一定律：任何物体都将保持静止的或作匀速直线运动的状态, 除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。,第二定律：运动的“变化”与所加动力成正比，并发生在力的方向上,第三定律：对于每一个作用，总有一个相等的作用力与之相反。意味着：两个物体之间作用力与反作用力沿同一直线，方向相反，大小相等，分别作用于两个物体。,例2. 一质量为m 、速度为 的摩托车，在关闭发动机后沿直线滑行，它所受到的阻力为 ，其中k 为大于零的常数. 试求：（1）关闭发动机后
4、t 时刻的速度； （2）关闭发动机后t 时间内摩托车所走路程.,解 （1）关闭发动机后，由牛顿第二运动定律可得摩托车的动力学方程为,所以关闭发动机后t 时刻的速度,（2）,因此关闭发动机后t 时间内摩托车所走的路 程为,第三章 动量与角动量,冲量与动量定理,力的时间积累称为冲量（impulse）：,物理意义：冲量是描写力对时间的积累作用的物理量。是一个过程量。 注意：冲量是矢量，方向与动量增量相同,碰撞过程中相互作用力往往很大而且随时间改变。这种力通常叫冲力,二、质点系的动量定理,：总动量,：合外力,应用质点系动量定理不必考虑内力。,内力可改变各质点的动量， 但合内力为零，对总动量无影响。,动
5、量守恒定律,！3、外力内力时，动量近似守恒。例如碰撞和爆炸。,1、只适用于惯性系。,2、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量守恒。,3.5 质心（center of mass）,质点系的质心（质量中心），是一个以质量为权重取平均的特殊点,1、质心的位置,【思考】写出上式的分量形式,质心位矢是和坐标系的选择有关的，但是可以证明质心相对于质点系内 各质点的相对位置时不随坐标系的选择而变化的。,利用分量形式很容易求得一些几何形状对称和结构均匀物体的质心位矢，例如：均匀直棒、 均匀圆盘、均匀球体等 其质心就在几何对称中心上,对连续分布的物质，分成N 个小质元计算,例：一段均匀铁丝完成半圆，半径，求质心
6、。,建立坐标系，由于半圆对轴对称，所以 分析质心应该在轴上。任取一小段铁丝， 长度 质量 ，以 代表铁丝线密度（单位长度质量）,有：,据质心坐标公式：在y轴上,由于：,又：,最后有：,质心运动定理,和内力为零！,冲量矩，力矩的时间积累。,角动量守恒定律,【例】证明开普勒第二定律：行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。,和动量守恒定律一样，角动量守恒定律也是自然界的一条最基本的定律。,【例】有心力作用下的质点角动量守恒,例: 如图所示, 一绳拉小球在桌面上作圆周运动, 初始角速度和初始位置分别为1 和 r1 ; 现用力拉绳使小球至 r2 处作 圆周运动, 求2 。,0,r1,1,r2,
7、拉力,解:,绳给小球的拉力过0点, 对0点力矩为零.,所以, 小球对0点的角动量守恒.,方向,末：,方向,第四章 功和能,2. 力沿曲线所做的功,质点在曲线上运动，所受的力随质点位置变化，这种情况下，质点沿路经从点到点力对它做的功等于对各点元功之和。,简单情况，质点直线运动，受与速度夹角为 的恒力作用,动能定理,若是N 个质点构成的质点组, 则,一力学系统所有外力作的功所有内力作的功系统总动能的增量,质点系的动能定理,例题2：一质量为10kg的质点，沿x 轴无摩擦的运动. 设t =0时，质点位于原点，速度为零（即初始条件为： ）。问：,(1)设质点在F =3+4t 牛顿力的作用下运动了3秒（t
8、 以秒计），它的速度和加速度增为多大？,(2)设质点在F =3+4x 牛顿力的作用下移动了3米（x 以米计），它的速度和加速度增为多大？,解:(1) 设t 时刻质点速度为v ,则由动量定理得,代入数据t =3s、m =10kg可得速度和加速度分别为,(2)设移动到x 位置时质点速度为v ，则由动能定理，得,代入数据x =3m、m =10kg可得速度和加速度分别为,4.3 势能,4.3.1 保守力及保守力的功 若某种力做功与路径无关，只决定于系统的始末位置则这种力称之为保守力； 另一个等价定义：如果力作用在物体上，当物体沿闭合路径移动一周，做功为零则此力为保守力。,势能 功是能量改变的量度，把保
9、守力做功所改变的能量称之为势能（这种能量仅与位置有关，所以也称位能）.,机械能和机械能守恒定律,若外力和非保守内力均不做功，或质点组在只有保守内力做功的条件下，质点组内部的机械能相互转化，但总的机械能守恒. 这就是机械能转化和机械能守恒定律.,如果只有保守力做功，系统的机械能不变，例如自由落体。 如果有非保守力做功，则系统机械能会变化，例如炸弹爆炸。 注意！ 合外力为零并不一定合外力做功为零！,例2,（2）如果 和 交换位置，结果如何？,（1）对上面的木板必须施加多大的正压力 ，以便在力 突然撤去而上面的木板跳至最高点时，恰好使下面的木板提离地面？,1.如图所示，用一弹簧把质量分别为 和的两块
10、木板连接在一起，放在地面上，弹簧的质量可忽略不计，且 . 问：,解 设弹簧的弹性系数为k ,上面的木板处于最低状态时的位置为重力势能零点，弹簧处于自然长度时的位置为弹性势能零点 , 如图所示.,则 上跳使弹簧必须伸长， 才能使下面的木板恰能提起，,正压力 压上面的木板时，弹簧压缩量 ，突然撤去外力 后，上面的木板由这一位置从静止开始向上运动，因为系统（两块木板、弹簧、地球）只有重力、弹性力做功，所以系统遵守机械能守恒定律.,把 和 代入上式，化简可得,所得结果具有对称性，因此 和 交换位置结果是不会改变的.,例3 如图所示质量为 M 的物块A在离平板 h 的高度处自由下落，落在质量也是 M 的平板 B 上。已知轻质弹簧的倔强系数为 k，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量。,解： 从物块A自由下落到弹簧压缩到最大限度可分为三个物理过程：(1) 物块A作自由落体运动，到B时速度为v1;,(2) 物块A和平板B作完全非弹性碰撞，碰后速度为v2;,(3) 碰撞后弹簧继续被压缩到最大压缩量x2。,对每个物理过程列出方程：,第三过程只有重力弹力作功，机械能守恒。取弹簧自然状态时其上端点为坐标原点。取x2位置为重力势能零点，则第三过程方程为,在A、B未碰撞前，B的重力跟所受弹力平衡，因此有kx1 = mg ,解式可得弹簧的最大压缩量x2,
