1、1.6.1 微积分基本定理【 学 情 分 析 】 ：学 生 已 经 在 高 一 学 习 了 物 理 中 的 匀 速 直 线 运 动 的 速 度 与 位 移 的 关 系 ， 并 且 在 前 一节 课 通 过 学 习 了 “已 知 物 体 的 速 度 与 时 间 的 关 系 ， 求 其 在 一 定 时 间 内 经 过 的 路 程 ”， 得到 定 积 分 的 概 念 以 及 求 法 学 生 必 然 会 提 出 ： 如 果 每 次 求 定 积 分 都 按 “四 部 曲 ”求 解是 一 件 很 麻 烦 的 事 情 利 用 学 生 的 疑 问 ， 激 发 他 们 的 探 究 精 神 学 习 微 积 分 基
2、 本 定理 以 学 生 现 有 的 知 识 水 平 对 于 微 积 分 基 本 定 理 的 严 密 证 明 是 存 在 着 一 定 难 度 的 ， 而 突 破 难点 在 于 让 学 生 主 动 去 探 索 ， 体 会 微 积 分 基 本 公 式 的 导 出 以 及 利 用 它 来 计 算 简 单 的 定 积 分 ， 这样 才 能 从 真 正 意 义 上 把 握 该 定 理 的 含 义 ， 提 高 学 生 的 能 力 ， 体 现 学 生 的 主 体 地 位 【 教 学 目 标 】 ：（ 1） 知 识 与 技 能 ： 了解微积分基本定理的含义（ 2） 过 程 与 方 法 ： 运用基本定理计算简单的
3、定积分（ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 通 过 微 积 分 基 本 定 理 的 学 习 ， 体 会 事 物 间 的 相 互 转 化 、 对 立 统一 的 辩 证 关 系 ， 培 养 学 生 辩 证 唯 物 主 义 观 点 ， 提 高 理 性 思 维 能 力 【 教 学 重 点 】 ：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分【 教 学 难 点 】 ：了解微积分基本定理的含义【 教 学 过 程 设 计 】 ：教 学 环 节 教 学 活 动 设 计 意 图一、提出问题(1) 你 能 用 定 义 计 算 吗 ?21
4、dx师 :我 们 首 先 回 忆 昨 天 怎 样 计 算 ?130dx提 示 :快 速 阅 读 课 本 P52 例 题 1.生 :利 用 定 义 进 行 计 算 ,分 四 步 : 分 割 ; 近 似 代 替 , 作 和 ; 取 极 限 .师 :利 用 定 义 计 算 时 ,需 要 使 用 这 一 结 果 ,130dx321(1)4ni技 巧 性 较 强 .师 :能 否 按 照 定 义 计 算 ?21x生 (或 师 ):需 要 求 的 和 ,而 这 个 “和 ”是 “求nn不 出 ”的 ， 因 此 用 定 义 就 算 不 出 的 结 果 21dx师 ： 从 这 个 事 实 我 们 有 这 样 一
5、 个 感 觉 ， 尽 管 我 们 的 被 积 函 数 简 单（ 如 ） ， 但 是 利 用 定 义 求 它 们 的 定 积 分 依 然 会31(),()fxfx很 困 难 ， 甚 至 “求 ”不 出 师 ： 我 们 知 道 加 法 的 逆 运 算 是 减 法 乘 法 的 逆 运 算 是 除 法 ，而 两 向 量 的 加 法 运 算 和 减 法 运 算 是 互 为 逆 运 算 类 似 地 提 出问 题 ： 求 定 积 分 运 算 有 没 有 逆 运 算 ， 如 果 有 ， 它 的 逆 运 算 我引 导 学 生 思 考 用 定义 计 算 定 积 分 的 困难 及 其 原 因 类 比 启 发们 如
6、何 去 定 义 ？师 ： 数 学 也 是 一 门 应 用 的 科 学 ， 如 果 微 积 分 难 以 在 实 际 中 应 用 ，那 么 欧 洲 的 十 七 世 纪 的 科 学 也 不 会 得 到 那 么 快 的 发 展 我们 的 前 辈 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 分 别 独 立 有 效 的 创 立 了 微 积 分 的 基 本 定理 和 运 算 法 则 ， 从 而 使 微 积 分 能 普 遍 应 用 于 科 学 实 践 师 ： 前 辈 们 是 如 何 发 现 微 积 分 基 本 定 理 呢 ？ 现 在 我 们 不 妨 循 着 前辈 足 迹 走 一 走 前 辈 经 过 思 考 ， 发 现 导 数
7、 和 定 积 分 有 某 种 联系 师 ： 我 们 可 以 看 看 下 面 的 一 些 事 实 ：我 们 知 道 ， 如 果 是 匀 速 直 线 运 动 速 度 函 数 ， 那 么 在 直0()vt线 下 方 的 面 积 S 就 是 位 移 ； 如 果 匀 变 速 直 线 运 动0()vt0St速 度 函 数 为 ， 同 样 在 直 线 下 方 的 面 积 S 就 是()vta()vta位 移 。201S t0Sv(t)O tvSv(t)t0O tv我 们 又 知 道 ， 位 移 函 数 ， 曲 线 下 的 面 积 可 以 用 定 积 分()stv进 行 计 算 。 你 能 从 上 面 的 找
8、 到 规 律 吗 ？0()dtv生 ： 00()()dttsvs（ 2） 师 ： 那 么 ， 导 数 和 定 积 分 到 底 有 何 内 在 联 系 ?能 否 从 这种 联 系 中 找 出 求 定 积 分 的 简 便 、 有 效 的 方 法 ?生 ： 阅 读 P57 的 探 究师 ： 你 能 说 说 解 决 书 本 第 57 页 的 “探 究 ”的 基 本 思 路 吗 ?生 ： 思 考 ， 讨 论 ， 探 究 ， 并 尝 试 提 出 解 决 问 题 的 思 路 引 导 学 生 大 胆 尝 试激 发 寻 求 计 算 定 积分 新 方 法 的 认 知 需要 渗 透 数 学 史 ， 让 学生 认 识
9、 到 历 史 上 数学 光 辉 的 一 页 二 、探索新知师 ： 为 了 解 决 一 个 一 般 性 的 问 题 我 们 可 以 先 把 问 题 分 解 一下 （ 3） 师 ： 如 果 做 直 线 运 动 的 物 体 的 运 动 规 律 是 ， 那()st么 它 在 时 刻 的 速 度 是 什 么 ?t生 ： ()vs（ 4） 师 ： 如 何 用 表 示 物 体 在 内 的 位 移 S?()t,ab教 师 引 导 学 观 察 函 数 的 图 象 （ 图 1.6-1） ， 观 察 图()st象 （ 或 根 据 位 移 的 定 义 ） 得 出 S s(b) s(a)（ 图 1.6-1）（ 5） 师
10、 ： 如 何 用 表 示 物 体 在 内 的 位 移 S？()vt,ab（ 图 1.6-2）教 师 引 导 学 生 利 用 导 数 的 几 何 意 义 ， 从 图 形 上 直 观 的 观 察 近似 值 的 意 义 ， 并 从 图 形 上 直 观 地 观 察 近 似 值 的 意 义 ， 并 用 定 积 分得 出 ()dbaSvt（ 6） 由 上 面 的 讨 论 你 能 得 到 什 么 结 论 ?教 师 引 导 学 生 小 结 ： 物 体 在 上 的 位 移 就 是 在 区,ab()vts间 上 的 定 积 分 ， 等 于 函 数 在 区 间 端 点 b， a 处 的 函 数 值 之()st差 ，
11、 从 而 ()sbad()bbaavtts(7)给 出 微 积 分 基 本 定 理 的 一 般 形 式 一 般 地 ， 如 果 是 区 间 上 的 连 续 函 数 ， 并 且()fx,， 那 么 这 个 结 论 叫 做 微 积 分()Fxfd()bafFa基 本 定 理 （ fundamental theorem of calculus） ， 又 叫 做 牛 顿复 习 路 程 与 速 度 之间 的 关 系 得 到 基 本 定 理 中 右端 的 雏 形 ()sba得 到 基 本 定 理 中 左端 的 雏 形 ()dbavt得 出 微 积 分 基 本 定理 的 一 个 特 例 ， 为得 出 微 积
12、 分 基 本 定理 奠 定 基 础 莱 布 尼 茨 公 式 （ Newton Leibniz Formula） 为 了 方 便 ， 我 们 常 常 把 记成 ，即()a()bx()d()bbaafxFF（ 8） 从 微 积 分 基 本 定 理 看 ， 运 用 定 理 求 定 积 分 的 关 键 是 什 么 ?如 何 求 F(x)?生 （ 或 师 ） ： 关 键 是 求 出 满 足 的 函 数 F(x)()Fxf教 师 引 导 学 生 得 出 求 函 数 F(x)的 方 法 ： 运 用 基 本 初 等 函 数 的求 导 公 式 和 导 数 的 四 则 运 算 法 则 从 反 方 向 上 求 出
13、F(x)明 确 运 用 定 理 的 关键 三 ：实践新知（ 9） 计 算 130dx以 学 生 练 习 、 讨 论 为 主 ， 让 学 生 与 上 一 节 例 题 比 较 ， 得 出 结论 ： 结 果 相 同 ， 但 比 用 定 义 计 算 定 积 分 简 单 教 师 给 出 规 范 的 书写 格 式 （ 10） P59 例 题 1计 算 （ 1） ； （ 2）2dx321dx生 ： 解 题 ， 讨 论 师 ： 板 书 （ 投 影 ） ， 注 意 解 题 的 书 写 格 式 附 板 书 ：解 ： （ 1） ， 1lnx2211dlnlnl2x（ 2） ，22,333322 1111dd(9)x
14、xx ， 初 步 展 示 利 用微 积 分 基 本 定 理 求定 积 分 的 优 越 性 第 （ 1） 题 与 本 节引 言 中 的 讨 论 过 的问 题 相 呼 应 ； 第（ 2） 题 的 解 题 过 程中 利 用 了 定 积 分 的性 质 2， 以 说 明 利用 定 积 分 的 性 质 可以 间 或 求 解 过 程 规 范 书 写 格 式 四 、巩 固新 知1 练 习 ： 计 算 （ 1） 20sindx（ 2） （ n 为 正 整 数 ）dbax解 ： (1) ，cos)ix 2020sindcso01x （ 1） 注 意 三 角 函 数的 导 数（ 2） 第 （ 2） 小 题中 的 结
15、 果 可 以 作 为结 果 记 忆 （ 2） 1nnx11dnnbbaa2 P61 练 习 （ 1） （ 3） （ 5） （ 7）五 、总 结归 纳（ 1） 微 积 分 基 本 定 理 （ 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 ） ： 一 般 地 ，如 果 是 区 间 上 的 连 续 函 数 ， 并 且 ， 那 么()fx,ab()Fxfd()baafFF（ 2） 运 用 微 积 分 基 本 定 理 求 定 积 分 的 关 键 是 求 出 满 足的 函 数 F(x)； 运 用 基 本 初 等 函 数 的 求 导 公 式 和 导 数()xf的 四 则 运 算 法 则 从 反 方 向 上 求 出 F(x
16、)教 师 引 导 学 生 概括 微 积 分 基 本 定 理的 思 想 方 法 布 置作 业课后作业：书本：练习 （）（）（6）（8）2P62 习题 A 组 13P62 习题 A 组 1（思考）为 下 一 节 课 准 备设 计反 思特 色 班 应 该 注 意 以 教 师 启 发 ， 学 生 的 探 究 为 主 ， 充 分 让 学 生 体会 得 到 微 积 分 基 本 定 理 的 过 程 。同步练习基础题：1. 下列值等于 1 的积分是（ ）(A) (B) (C) (D)10dx0)dx10dx10d2x答案：C解释： 11002. 计算：(1) ；（2） ；（3）31dx20(5)dx183dx
17、解释：（1） 34411（2） 2200(5)d()xx（3）81483313. 已知自由落体速度为 ，则落体从 到 所走过的路程为（ ）vgt0t0t(A) (B) (C) (D)2013gt20t201214g答案：C解释：00t22dtxg4. 若 ，则 10(2)kk答案：1解释： ， ，11200()d()xx 12k1（难题）5. 已知函数 ，若 成立，则 2()3f 1()d()fxfa答案：1 或 1解释： ， ，即 ，解得 或1321()d)4fxx 2(31)4a2310a1a36、计算下列定积分（1） （2）20(3sin)x 26cosxd解：（1） ，32cosinx 332320 0(sin) 0188xd （2） ，且 ，21coscx1cos2(sin2)xx 2266 63os(i)28xdd
